Кольцо Горенштейна

В коммутативной алгебре локальное кольцо Горенштейна — это коммутативное нётерово локальное кольцо R с конечной инъективной размерностью как R -модуль . Существует много эквивалентных условий, некоторые из которых перечислены ниже, часто утверждающих, что кольцо Горенштейна является самодвойственным в некотором смысле.

Кольца Горенштейна были введены Гротендиком на его семинаре 1961 года (опубликованном в (Hartshorne 1967)). Название происходит от свойства двойственности особых плоских кривых , изученного Горенштейном (1952) (который любил утверждать, что не понимает определения кольца Горенштейна ^{[ требуется ссылка ]} ). Нульмерный случай был изучен Маколеем (1934). Серр (1961) и Басс (1963) опубликовали концепцию колец Горенштейна.

Кольца Фробениуса — некоммутативные аналоги нульмерных колец Горенштейна. Схемы Горенштейна — геометрическая версия колец Горенштейна.

Для нётеровых локальных колец имеет место следующая цепочка включений.

Универсально цепные кольца ⊃ Кольца Коэна–Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ Кольца полного пересечения ⊃ Регулярные локальные кольца

Определения

Кольцо Горенштейна — это коммутативное нётерово кольцо, такое что каждая локализация в простом идеале является локальным кольцом Горенштейна, как определено ниже. Кольцо Горенштейна — это, в частности, кольцо Коэна–Маколея .

Одна из элементарных характеристик такова: нётерово локальное кольцо R размерности ноль (эквивалентно, с R конечной длины как R -модулем) является горенштейновым тогда и только тогда, когда Hom _R ( k , R ) имеет размерность 1 как k -векторное пространство , где k - поле вычетов R . Эквивалентно, R имеет простой цоколь как R -модуль. ^[1] В более общем случае нётерово локальное кольцо R является горенштейновым тогда и только тогда, когда существует регулярная последовательность a ₁ ,..., a _n в максимальном идеале R такая , что фактор-кольцо R /( a ₁ ,..., a _n ) является горенштейновым размерности ноль.

Например, если R — коммутативная градуированная алгебра над полем k, такая, что R имеет конечную размерность как k -векторное пространство, R = k ⊕ R ₁ ⊕ ... ⊕ R _m , то R является горенштейновой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет двойственности Пуанкаре , что означает, что верхняя градуированная часть R _m имеет размерность 1, а произведение R _a × R _{m − a} → R _m является совершенным сопряжением для любого a . ^[2]

Другая интерпретация свойства Горенштейна как типа двойственности, для не обязательно градуированных колец , заключается в следующем: для поля F коммутативная F -алгебра R конечной размерности как F -векторное пространство (следовательно, размерности нуль как кольцо) является Горенштейновой тогда и только тогда, когда существует F -линейное отображение e : R → F такое, что симметричная билинейная форма ( x , y ) := e ( xy ) на R (как F -векторном пространстве) невырождена . ^[3]

Для коммутативного нётерова локального кольца ( R , m , k ) размерности Крулля n следующие условия эквивалентны: ^[4]

R имеет конечную инъективную размерность как R -модуль;
R имеет инъективную размерность n как R -модуль;
Группа Ext для i ≠ n, пока $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ для некоторого i > n ;
$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ для всех i < n и $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
R — n -мерное кольцо Горенштейна.

Кольцо R (не обязательно коммутативное) называется горенштейновым, если R имеет конечную инъективную размерность и как левый R -модуль, и как правый R -модуль. Если R - локальное кольцо, то R называется локальным горенштейновым кольцом.

Примеры

Каждое локальное кольцо полного пересечения , в частности каждое регулярное локальное кольцо , является горенштейновым.
Кольцо R = k [ x , y , z ]/( x ² , y ² , xz , yz , z ² − xy ) является 0-мерным кольцом Горенштейна, которое не является кольцом полного пересечения. Более подробно: базис для R как k -векторного пространства задается следующим образом: R является Горенштейновым, поскольку цоколь имеет размерность 1 как k -векторное пространство, натянутое на z ² . С другой стороны, можно заметить, что R удовлетворяет двойственности Пуанкаре, когда его рассматривают как градуированное кольцо с x , y , z одинаковой степени. Наконец. R не является полным пересечением, поскольку имеет 3 образующих и минимальный набор из 5 (а не 3) соотношений. $\{1,x,y,z,z^{2}\}.$

Кольцо R = k [ x , y ]/( x ² , y ² , xy ) является 0-мерным кольцом Коэна–Маколея, которое не является кольцом Горенштейна. Более подробно: базис для R как k -векторного пространства задается следующим образом: R не является Горенштейновым, поскольку цоколь имеет размерность 2 (а не 1) как k -векторное пространство, натянутое на x и y . $\{1,x,y\}.$

Характеристики

Нётерово локальное кольцо является горенштейновым тогда и только тогда, когда его пополнение является горенштейновым. ^[5]

Канонический модуль локального кольца Горенштейна R изоморфен R. В геометрических терминах отсюда следует, что стандартный дуализирующий комплекс схемы Горенштейна X над полем — это просто линейное расслоение (рассматриваемое как комплекс степени −dim( X )); это линейное расслоение называется каноническим расслоением X . Используя каноническое расслоение, двойственность Серра принимает ту же форму для схем Горенштейна, что и в гладком случае .

В контексте градуированных колец R канонический модуль кольца Горенштейна R изоморфен R с некоторым сдвигом степени. ^[6]

Для локального кольца Горенштейна ( R , m , k ) размерности n локальная двойственность Гротендика принимает следующий вид. ^[7] Пусть E ( k ) — инъективная оболочка поля вычетов k как R -модуля. Тогда для любого конечно порождённого R -модуля M и целого числа i локальная группа когомологий двойственна в том смысле, что: $H_{м}^{я}(М)$ $\operatorname {Ext} _{R}^{ni}(M,R)$

H_{m}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Ext} _{R}^{ni}(M,R),E(k)).

Стэнли показал, что для конечно порождённой коммутативной градуированной алгебры R над полем k, такой что R является областью целостности , свойство Горенштейна зависит только от свойства Коэна–Маколея вместе с рядом Гильберта

f(t)=\sum \nolimits _{j}\dim _{k}(R_{j})t^{j}.

А именно, градуированная область R является горенштейновой тогда и только тогда, когда она является областью Коэна–Маколея, а ряд Гильберта симметричен в том смысле, что

f\left({\tfrac {1}{t}}\right)=(-1)^{n}t^{s}f(t)

для некоторого целого числа s , где n — размерность R. ^[8 ]

Пусть ( R , m , k ) — нётерово локальное кольцо вложения коразмерности c , что означает, что c = dim _k ( m / m ² ) − dim( R ). В геометрических терминах это справедливо для локального кольца подсхемы коразмерности c в регулярной схеме. Для c не более 2 Серр показал, что R является горенштейновым тогда и только тогда, когда оно является полным пересечением . ^[9] Существует также структурная теорема для горенштейновых колец коразмерности 3 в терминах пфаффианов кососимметричной матрицы, полученная Буксбаумом и Айзенбудом . ^[10] В 2011 году Майлз Рид распространил эту структурную теорему на случай коразмерности 4 . ^[11]

Примечания

^ Эйзенбуд (1995), Предложение 21.5.
^ Хунеке (1999), Теорема 9.1.
^ Лэм (1999), Теоремы 3.15 и 16.23.
^ Мацумура (1989), Теорема 18.1.
^ Мацумура (1989), Теорема 18.3.
^ Эйзенбуд (1995), раздел 21.11.
^ Брунс и Герцог (1993), Теорема 3.5.8.
^ Стэнли (1978), Теорема 4.4.
^ Эйзенбуд (1995), Следствие 21.20.
^ Брунс и Герцог (1993), Теорема 3.4.1.
^ Рид (2011)

Ссылки