В математике H -пространство [1] представляет собой гомотопически-теоретическую версию обобщения понятия топологической группы , в которой аксиомы ассоциативности и обратных пространств удалены.
H-пространство состоит из топологического пространства X вместе с элементом e из X и непрерывным отображением μ : X × X → X , таким, что μ( e , e ) = e и отображения x ↦ μ( x , e ) и x ↦ μ( e , x ) оба гомотопны тождественному отображению посредством отображений, отправляющих e в e . [2] Это можно рассматривать как топологическое пространство с точкой вместе с непрерывным умножением, для которого базисная точка является тождественным элементом с точностью до гомотопии, сохраняющей базисную точку.
Говорят, что топологическое пространство X является H-пространством, если существуют e и μ, такие, что тройка ( X , e , μ) является H-пространством, как в приведенном выше определении. [3] В качестве альтернативы, H-пространство может быть определено без требования гомотопий для фиксации базовой точки e или путем требования, чтобы e было точным тождеством, без какого-либо рассмотрения гомотопии. [4] В случае комплекса CW все три этих определения фактически эквивалентны. [5]
Стандартное определение фундаментальной группы , вместе с тем фактом, что это группа, можно перефразировать так, что пространство петель топологического пространства с указанными точками имеет структуру H-группы, снабженной стандартными операциями конкатенации и инверсии. [6] Более того, непрерывное отображение, сохраняющее базовую точку топологического пространства с указанными точками, индуцирует H-гомоморфизм соответствующих пространств петель; это отражает гомоморфизм групп на фундаментальных группах, индуцированный непрерывным отображением. [7]
Легко проверить, что при наличии точечной гомотопической эквивалентности из H-пространства в точечное топологическое пространство на последнем пространстве существует естественная структура H-пространства. [8] Таким образом, существование структуры H-пространства на данном пространстве зависит только от точечной гомотопической эквивалентности.
Мультипликативная структура H-пространства добавляет структуру к его группам гомологии и когомологии . Например, кольцо когомологий линейно -связного H-пространства с конечно порожденными и свободными группами когомологий является алгеброй Хопфа . [9] Также можно определить произведение Понтрягина на группах гомологии H-пространства. [10]
Фундаментальная группа H-пространства абелева . Чтобы увидеть это, пусть X будет H-пространством с тождеством e , а f и g будут петлями в точке e . Определим отображение F : [0,1] × [0,1] → X формулой F ( a , b ) = f ( a ) g ( b ). Тогда F ( a ,0) = F ( a ,1) = f ( a ) e гомотопно f , а F (0, b ) = F (1, b ) = eg ( b ) гомотопно g . Ясно, как определить гомотопию из [ f ][ g ] в [ g ][ f ].
Теорема Адамса об инварианте Хопфа один , названная в честь Фрэнка Адамса , утверждает, что S 0 , S 1 , S 3 , S 7 являются единственными сферами , которые являются H-пространствами. Каждое из этих пространств образует H-пространство, рассматривая его как подмножество элементов нормы один действительных чисел , комплексов , кватернионов и октонионов , соответственно, и используя операции умножения из этих алгебр. Фактически, S 0 , S 1 , и S 3 являются группами ( группами Ли ) с этими умножениями. Но S 7 не является группой в этом смысле, потому что умножение октонионов не ассоциативно, и ему нельзя задать никакое другое непрерывное умножение, для которого оно является группой.