Взаимность Гельмгольца

Принцип в оптике, связывающий световые лучи и их обратные лучи

Принцип взаимности Гельмгольца описывает, как луч света и его обратный луч сталкиваются с соответствующими оптическими приключениями, такими как отражения, преломления и поглощения в пассивной среде или на границе раздела. Он не применим к движущимся, нелинейным или магнитным средам.

Например, входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсии друг друга, ^[1] не влияя на результат функции распределения двунаправленного отражения (BRDF) ^[2] . Если бы свет измерялся датчиком и этот свет отражался от материала с BRDF, который подчиняется принципу взаимности Гельмгольца, можно было бы поменять датчик и источник света, и измерение потока осталось бы тем же.

В компьютерной графической схеме глобального освещения принцип взаимности Гельмгольца важен, если алгоритм глобального освещения меняет пути света на противоположные (например, трассировка лучей по сравнению с классической трассировкой пути света).

Физика

Принцип реверсии-взаимности Стокса-Гельмгольца ^{[3] [4] [5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [1] [14] [ 15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ чрезмерное цитирование ]} был частично сформулирован Стоксом (1849) ^[3] и со ссылкой на поляризацию на странице 169 ^[4] « Справочника по физиологической оптике» Германа Гельмгольца 1856 года, цитируемого Густавом Кирхгофом ^[8] и Максом Планком . ^[13]

Как цитировал Кирхгоф в 1860 году, этот принцип можно перевести следующим образом:

Луч света, исходящий из точки 1, достигает точки 2, претерпев любое количество преломлений, отражений и т. д. В точке 1 возьмем любые две перпендикулярные плоскости a ₁ , b ₁ в направлении луча; и разделим колебания луча на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Возьмем подобные плоскости a ₂ , b ₂ в луче в точке 2; тогда можно продемонстрировать следующее предложение. Если, когда количество света i, поляризованного в плоскости a _{1 ,} исходит из 1 в направлении данного луча, та часть света k , поляризованного в a _{2 ,} достигает 2, то, наоборот, если количество света i, поляризованного в a _{2 ,} исходит из 2, то же самое количество света k , поляризованного в a ₁ [опубликованный текст Кирхгофа здесь, исправленный редактором Википедии для соответствия тексту Гельмгольца 1867 года] достигнет 1. ^[8]

Проще говоря, в подходящих условиях принцип гласит, что источник и точка наблюдения могут быть переключены без изменения измеряемой интенсивности. Интуитивно, «Если я могу видеть вас, вы можете видеть меня». Как и принципы термодинамики, в подходящих условиях этот принцип достаточно надежен, чтобы использоваться в качестве проверки правильности проведения экспериментов, в отличие от обычной ситуации, в которой эксперименты являются проверкой предлагаемого закона. ^{[1] [12]}

В своем авторитетном доказательстве ^[23] справедливости закона Кирхгофа о равенстве излучательной и поглощательной способности [ ^24] Планк неоднократно и существенно использовал принцип взаимности Стокса-Гельмгольца. Рэлей сформулировал основную идею взаимности как следствие линейности распространения малых колебаний, света, состоящего из синусоидальных колебаний в линейной среде. ^{[9] [10] [11] [12]}

При наличии магнитных полей на пути луча этот принцип не применяется. ^[4] Отклонение оптической среды от линейности также вызывает отклонение от взаимности Гельмгольца, как и наличие движущихся объектов на пути луча.

Взаимность Гельмгольца изначально относилась к свету. Это особая форма электромагнетизма, которую можно назвать излучением в дальнем поле. Для этого электрические и магнитные поля не нуждаются в отдельных описаниях, поскольку они распространяются, питая друг друга равномерно. Таким образом, принцип Гельмгольца является более просто описанным частным случаем электромагнитной взаимности в целом , которая описывается отдельными описаниями взаимодействующих электрических и магнитных полей. Принцип Гельмгольца основывается в основном на линейности и суперпозиции светового поля и имеет близкие аналоги в неэлектромагнитных линейно распространяющихся полях, таких как звук. Он был открыт до того, как стала известна электромагнитная природа света. ^{[9] [10] [11] [12]}

Теорема взаимности Гельмгольца была строго доказана несколькими способами, ^{[25] [26] [27]} в основном с использованием квантово-механической симметрии обращения времени . Поскольку эти более математически сложные доказательства могут умалить простоту теоремы, AP Pogany и PS Turner доказали ее всего за несколько шагов, используя ряд Борна . ^[28] Предполагая источник света в точке A и точку наблюдения O с различными точками рассеяния между ними, уравнение Шредингера может быть использовано для представления результирующей волновой функции в пространстве: ${\displaystyle r_{1},r_{2},...r}$

${\displaystyle (\bigtriangledown ^{2}+4\pi K^{2})\Psi (\mathbf {r,r_{A}} )=-4\pi K^{2}V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r,r_{A}} )+\delta (\mathbf {r-r_{A}} )}$

Применив функцию Грина , приведенное выше уравнение можно решить относительно волновой функции в интегральной (и, следовательно, итеративной) форме:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r,r_{A}} )=G(\mathbf {r,r_{A}} )-4\pi ^{2}\int G(\mathbf {r,r'} V(\mathbf {r'} \Psi (\mathbf {r',r_{A}} )d\mathbf {r'} }$

где

${\displaystyle G(\mathbf {r,r'} )=-{\frac {\exp(2\pi iK|\mathbf {r-r'} |)}{|\mathbf {r-r'} |}}}$.

Далее, справедливо предположить, что решение внутри рассеивающей среды в точке O может быть аппроксимировано рядом Борна, используя приближение Борна в теории рассеяния. При этом ряд может быть итерирован обычным образом для получения следующего интегрального решения:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r_{O},r_{A}} )=G(\mathbf {r_{O},r_{A}} )-4\pi ^{2}\int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )V(\mathbf {r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{A}} )d\mathbf {r_{1}} }$

${\displaystyle +(-4\pi ^{2})^{2}\int d\mathbf {r_{1}} \int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{2}} )V(\mathbf {r_{1}} )V(\mathbf {r_{2}} )G(\mathbf {r_{2},r_{A}} )d\mathbf {r_{2}} }$

${\displaystyle +(-4\pi ^{2})^{3}\int d\mathbf {r_{1}} \int d\mathbf {r_{2}} \int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{2}} )G(\mathbf {r_{2},r_{3}} )V(\mathbf {r_{1}} )V(\mathbf {r_{2}} )V(\mathbf {r_{3}} )G(\mathbf {r_{3},r_{A}} )d\mathbf {r_{3}} }$

${\displaystyle +...}$

Снова обращая внимание на форму функции Грина, становится очевидным, что переключение и в указанной выше форме не изменит результат; то есть, , что является математическим выражением теоремы взаимности: переключение источника света A и точки наблюдения O не изменяет наблюдаемую волновую функцию. ${\displaystyle \mathbf {r_{A}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r_{O}} }$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r_{A},r_{O}} )=\Psi (\mathbf {r_{O},r_{A}} )}$

Приложения

Одним из простых, но важных следствий этого принципа взаимности является то, что любой свет, направленный через линзу в одном направлении (от объекта к плоскости изображения), оптически равен своему сопряженному, т. е. свету, направленному через ту же установку, но в противоположном направлении. Электрон, сфокусированный через любую серию оптических компонентов, «не заботится» о том, с какого направления он приходит; пока с ним происходят те же самые оптические события, результирующая волновая функция будет той же самой. По этой причине этот принцип имеет важные приложения в области просвечивающей электронной микроскопии (ПЭМ) . Представление о том, что сопряженные оптические процессы дают эквивалентные результаты, позволяет пользователю микроскопа глубже понять и иметь значительную гибкость в методах, включающих дифракцию электронов , узоры Кикучи , ^[29] темнопольные изображения , ^[28] и другие.

Важно отметить, что в ситуации, когда электроны теряют энергию после взаимодействия с рассеивающей средой образца, симметрия обращения времени отсутствует. Поэтому взаимность действительно применима только в ситуациях упругого рассеяния . В случае неупругого рассеяния с малой потерей энергии можно показать, что взаимность может использоваться для аппроксимации интенсивности (а не амплитуды волны). ^[28] Таким образом, в очень толстых образцах или образцах, в которых доминирует неупругое рассеяние, преимущества использования взаимности для ранее упомянутых приложений ПЭМ больше не действуют. Кроме того, было экспериментально продемонстрировано, что взаимность применима в ПЭМ при правильных условиях, ^[28] , но лежащая в основе физика принципа диктует, что взаимность может быть действительно точной, только если передача луча происходит только через скалярные поля, т. е. без магнитных полей. Поэтому мы можем сделать вывод, что искажения взаимности из-за магнитных полей электромагнитных линз в ПЭМ можно игнорировать в типичных рабочих условиях. ^[30] Однако пользователи должны быть осторожны, чтобы не применять принцип взаимности к методам магнитной визуализации, просвечивающей электронной микроскопии ферромагнитных материалов или к посторонним ситуациям просвечивающей электронной микроскопии без тщательного рассмотрения. Как правило, полюсные наконечники для просвечивающей электронной микроскопии проектируются с использованием конечно-элементного анализа генерируемых магнитных полей для обеспечения симметрии.  

Системы магнитных объективных линз использовались в ТЭМ для достижения разрешения атомного масштаба при сохранении среды, свободной от магнитного поля, в плоскости образца ^[31], но метод достижения этого все еще требует большого магнитного поля над (и под) образцом, тем самым сводя на нет любые эффекты усиления взаимности, которые можно было бы ожидать. Эта система работает, помещая образец между передними и задними полюсными наконечниками объективной линзы, как в обычном ТЭМ, но два полюсных наконечника поддерживаются в точной зеркальной симметрии относительно плоскости образца между ними. Между тем, их полярности возбуждения совершенно противоположны, создавая магнитные поля, которые почти идеально компенсируются в плоскости образца. Однако, поскольку они не компенсируются в других местах, траектория электрона все равно должна проходить через магнитные поля.

Взаимность также может быть использована для понимания основного различия между TEM и сканирующей просвечивающей электронной микроскопией (STEM) , которая в принципе характеризуется переключением положения источника электронов и точки наблюдения. Это фактически то же самое, что и обращение времени в TEM, так что электроны движутся в противоположном направлении. Поэтому при соответствующих условиях (в которых применима взаимность) знание визуализации TEM может быть полезным при получении и интерпретации изображений с помощью STEM.

Смотрите также

• Взаимность (электромагнетизм)

Ссылки

1. Hapke, B. (1993). Теория спектроскопии отражения и излучения , Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN  0-521-30789-9 , раздел 10C, страницы 263-264.
2. Хапке, Б. (1993). Теория отражательной и эмиттансной спектроскопии , Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания, ISBN 0-521-30789-9 , главы 8-9, страницы 181-260. 
3. Stokes, GG (1849). «Об идеальной черноте центрального пятна в кольцах Ньютона и о проверке формул Френеля для интенсивностей отраженных и преломленных лучей». Cambridge and Dublin Mathematical Journal . новая серия. 4 : 1-14.
4. Гельмгольц, Х. фон (1856). Handbuch der Psychologischen Optik , первое издание, цитируемое Планком, Леопольдом Фоссом, Лейпциг, том 1, стр. 169.[1]
5. Гельмгольц, Х. фон (1903). Vorlesungen über Theorie der Wärme , под редакцией Ф. Рихарца, Иоганна Амброзиуса Барта, Лейпциг, страницы 158–162.
6. Гельмгольц, Х. (1859/60). Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden, Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1): 1-72, стр. 29.
7. Стюарт, Б. (1858). Отчет о некоторых экспериментах по лучистому теплу, включающий расширение теории обмена профессора Превоста, Trans. Roy. Soc. Edinburgh 22 (1): 1-20, стр. 18.
8. Кирхгоф, Г. (1860). О связи между излучательной и поглощающей способностью различных тел для света и тепла, Ann. Phys. , 119 : 275-301, на стр. 287 [2], перевод Ф. Гатри, Phil. Mag. Series 4, 20 : 2-21, на стр. 9.
9. Strutt, JW (лорд Рэлей) (1873). Некоторые общие теоремы, касающиеся колебаний, Proc. Lond. Math. Soc. 4 : 357-368, страницы 366-368.
10. Рэлей, Лорд (1876). О применении принципа взаимности в акустике, Proc. Roy. Soc. A , 25 : 118-122.
11. Strutt, JW, Baron Rayleigh (1894/1945). Теория звука , второе исправленное издание, Довер, Нью-Йорк, том 1, разделы 107-111a.
12. Рэлей, Лорд (1900). О законе взаимности при диффузном отражении, Phil. Mag. серия 5, 49 : 324-325.
13. Планк, М. (1914). Теория теплового излучения , второе издание, переведенное М. Масиусом, P. Blakiston's Son and Co., Филадельфия, стр. 35.
14. Миннарт, М. (1941). Принцип взаимности в лунной фотометрии, Astrophysical Journal 93 : 403-410.[3]
15. Махан, AI (1943). Математическое доказательство принципа обратимости Стокса, J. ​​Opt. Soc. Am. , 33 (11): 621-626.
16. Чандрасекар, С. (1950). Перенос излучения , Oxford University Press, Оксфорд, страницы 20-21, 171-177, 182.
17. Тингвальдт, CP (1952). Über das Helmholtzsche Reziprozitätsgesetz in der Optik, Optik , 9 (6): 248–253.
18. Леви, Л. (1968). Прикладная оптика: Руководство по проектированию оптических систем , 2 тома, Wiley, Нью-Йорк, том 1, стр. 84.
19. Кларк, Ф. Дж. Дж., Парри, Д. Дж. (1985). Взаимность Гельмгольца: ее обоснованность и применение в рефлектометрии, Lighting Research & Technology , 17 (1): 1-11.
20. Лекнер, Дж. (1987). Теория отражения , Мартинус Нийхофф, Дордрехт, ISBN 90-247-3418-5 , страницы 33-37.[4] 
21. Борн, М., Вольф, Э. (1999). Основы оптики : Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света , 7-е издание, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64222-1 , стр. 423. 
22. Potton, RJ (27 апреля 2004 г.). «Взаимность в оптике». Reports on Progress in Physics . 67 (5). IOP Publishing: 717–754. Bibcode : 2004RPPh...67..717P. doi : 10.1088/0034-4885/67/5/r03. ISSN  0034-4885. S2CID  250849465.
23. Планк, М. (1914). Теория теплового излучения , второе издание, переведенное М. Масиусом, P. Blakiston's Son and Co., Филадельфия, страницы 35, 38,39.
24. Кирхгоф, Г. (1860). О соотношении между излучательной и поглощающей способностью различных тел для света и тепла, Ann. Phys. , 119 : 275-301 [5], перевод Ф. Гатри, Phil. Mag. Series 4, 20 :2-21.
25. Гельмгольц, Герман фон (1867). а, Герман фон Гельмгольц и (ред.). Handbuch der Psychologischen Optik (на немецком языке). Лейпциг: Л. Восс.
26. Уэллс, Оливер К. (23 июля 2008 г.). «Взаимность между отражательным электронным микроскопом и сканирующим электронным микроскопом с малыми потерями». Applied Physics Letters . 37 (6): 507–510. doi :10.1063/1.91992. ISSN  0003-6951.
27. Шпиндлер, Пол (де Хемниц) Автор текста; Мейер, Георг (1857–1950) Автор текста; Меербург, Якоб Хендрик Автор текста (1860). «Аннален дер Физик». Галлика . Проверено 11 декабря 2019 г.{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
28. Pogany, AP; Turner, PS (23 января 1968 г.). «Взаимность в электронной дифракции и микроскопии». Acta Crystallographica Section A. 24 ( 1): 103–109. Bibcode :1968AcCrA..24..103P. doi :10.1107/S0567739468000136. ISSN  1600-5724.
29. Kainuma, Y. (10 мая 1955 г.). «Теория узоров Кикучи». Acta Crystallographica . 8 (5): 247–257. doi : 10.1107/S0365110X55000832 . ISSN  0365-110X.
30. Хрен, Джон Дж.; Голдштейн, Джозеф И.; Джой, Дэвид С., ред. (1979). Введение в аналитическую электронную микроскопию | SpringerLink (PDF) . doi :10.1007/978-1-4757-5581-7. ISBN 978-1-4757-5583-1.
31. Шибата, Н.; Коно, Ю.; Накамура, А.; Моришита, С.; Секи, Т.; Кумамото, А.; Савада, Х.; Мацумото, Т.; Финдли, С. Д.; Икухара, Ю. (24 мая 2019 г.). «Электронная микроскопия с атомным разрешением в среде без магнитного поля». Nature Communications . 10 (1): 2308. Bibcode :2019NatCo..10.2308S. doi :10.1038/s41467-019-10281-2. ISSN  2041-1723. PMC 6534592 . PMID  31127111.