Сопряженная транспонированная операция

Комплексная матрица A* получена из матрицы A путем ее транспонирования и сопряжения каждого элемента

В математике сопряженное транспонирование , также известное как эрмитово транспонирование , комплексной матрицы — это матрица, полученная путем транспонирования и применения комплексного сопряжения к каждому элементу (комплексное сопряжение для действительных чисел и ). Существует несколько обозначений, таких как или , ^[1] , ^[2] или (часто в физике) . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a+ib}$ ${\displaystyle a-ib}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} '}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$

Для действительных матриц сопряженное транспонирование — это просто транспонирование, . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$

Определение

Сопряженное транспонирование матрицы формально определяется как ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

где нижний индекс обозначает -ю запись, для и , а верхняя черта обозначает скалярное комплексное сопряжение. ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$

Это определение можно также записать как

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}}$

где обозначает транспонирование, а обозначает матрицу с комплексно сопряженными элементами. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$

Другие названия сопряженной транспонированной матрицы — эрмитово сопряжение , присоединенная матрица или трансъюгат . Сопряженная транспонированная матрица может быть обозначена любым из этих символов: ${\displaystyle \mathbf {A} }$

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$, обычно используется в линейной алгебре
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$, обычно используется в линейной алгебре
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$(иногда произносится как A dagger ), обычно используется в квантовой механике
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}}$, хотя этот символ чаще используется для псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

В некоторых контекстах обозначает матрицу только с комплексно-сопряженными элементами и без транспонирования. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$

Пример

Предположим, мы хотим вычислить сопряженное транспонирование следующей матрицы . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Сначала транспонируем матрицу:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Затем мы сопрягаем каждый элемент матрицы:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Основные замечания

Квадратная матрица с элементами называется ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{ij}}$

• Эрмитовым или самосопряженным, если ; т.е. . ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$
• Косой эрмит или антиэрмит, если ; т.е. . ${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$
• Нормально, если . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$
• Унитарно, если , эквивалентно , эквивалентно . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}}$

Даже если не является квадратным, обе матрицы и являются эрмитовыми и фактически положительно полуопределенными матрицами . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$

Сопряженно-транспонированную «присоединенную» матрицу не следует путать с присоединенной матрицей , которую также иногда называют присоединенной . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$

Сопряженное транспонирование матрицы с действительными элементами сводится к транспонированию , поскольку сопряженным вещественным числом является само это число. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Сопряженное транспонирование можно мотивировать, заметив, что комплексные числа могут быть с пользой представлены действительными матрицами, подчиняющимися сложению и умножению матриц: ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

То есть, обозначая каждое комплексное число действительной матрицей линейного преобразования на диаграмме Аргана (рассматриваемой как действительное векторное пространство ), подвергнутое комплексному умножению на . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Таким образом, матрица комплексных чисел может быть хорошо представлена ​​матрицей действительных чисел. Сопряженное транспонирование, таким образом, возникает очень естественно как результат простого транспонирования такой матрицы — если рассматривать ее снова как матрицу, составленную из комплексных чисел. ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle 2m\times 2n}$ ${\displaystyle n\times m}$

Для объяснения используемых здесь обозначений начнем с представления комплексных чисел в виде матрицы вращения, то есть ${\displaystyle e^{i\theta }}$

${\displaystyle e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Поскольку мы пришли к матричному представлению единичных чисел как ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$

${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$Тогда общее комплексное число представляется как ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}.}$Операция комплексного сопряжения, где i→−i, представляет собой просто транспонирование матрицы.

^[3]

Характеристики

• ${\displaystyle (\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$для любых двух матриц одинаковой размерности. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle (z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$для любого комплексного числа и любой матрицы . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle (\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$для любой матрицы и любой матрицы . Обратите внимание, что порядок факторов обратный. ^[1] ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} }$для любой матрицы , т.е. эрмитово транспонирование является инволюцией . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Если — квадратная матрица, то где обозначает определитель . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Если — квадратная матрица, то где обозначает след . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$обратим тогда и только тогда, когда обратим , и в этом случае . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$
• Собственные значения являются комплексно сопряженными собственными значениями . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$для любой матрицы , любого вектора в и любого вектора . Здесь обозначает стандартное комплексное скалярное произведение на , и аналогично для . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$

Обобщения

Последнее свойство, приведенное выше, показывает, что если рассматривать как линейное преобразование из гильбертова пространства в , то матрица соответствует сопряженному оператору . Таким образом, концепцию сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженного транспонирования матриц относительно ортонормированного базиса. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Другое обобщение доступно: предположим, что есть линейное отображение из комплексного векторного пространства в другое , тогда определены комплексно-сопряженное линейное отображение , а также транспонированное линейное отображение , и мы можем, таким образом, взять сопряженное транспонирование как комплексно-сопряженное транспонирования . Оно отображает сопряженное двойственное к сопряженному двойственному к . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

Смотрите также

• Комплексное скалярное произведение
• Эрмитово сопряженное
• Сопрягаемая матрица

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Conjugate Transpose". mathworld.wolfram.com . Получено 08.09.2020 .
2. Х. У. Тернбулл, А. К. Эйткен, «Введение в теорию канонических матриц», 1932.
3. Часнов, Джеффри Р. "1.6: Матричное представление комплексных чисел". Прикладная линейная алгебра и дифференциальные уравнения. LibreTexts.

Внешние ссылки

• «Присоединенная матрица», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]