История логарифмов

Развитие математической функции

Титульный лист книги Джона Непера «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» 1614 года, первой опубликованной таблицы логарифмов.

Страница из таблиц логарифмов Мирифичи Нейпира с тригонометрическими и логарифмическими тригонометрическими данными для 34 градусов

История логарифмов — это история соответствия (в современных терминах, группового изоморфизма ) между умножением положительных действительных чисел и сложением на числовой прямой , которое было формализовано в Европе семнадцатого века и широко использовалось для упрощения вычислений до появления цифрового компьютера. Неперовские логарифмы были впервые опубликованы в 1614 году. Э. У. Хобсон назвал их «одним из величайших научных открытий, которые видел мир». ^{[1] : с. 5} Генри Бриггс ввел обычные (с основанием 10) логарифмы , которые были проще в использовании. Таблицы логарифмов публиковались во многих формах на протяжении четырех столетий. Идея логарифмов также использовалась для построения логарифмической линейки , которая стала повсеместной в науке и технике до 1970-х годов. Прорыв, создавший натуральный логарифм , был результатом поиска выражения площади против прямоугольной гиперболы и потребовал ассимиляции новой функции в стандартной математике.

Чудесное изобретение Нейпира

Метод логарифмов был впервые публично представлен Джоном Непером в 1614 году в его книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Описание чудесного канона логарифмов ). ^[1] Книга содержит пятьдесят семь страниц пояснительного материала и девяносто страниц таблиц тригонометрических функций и их натуральных логарифмов . Эти таблицы значительно упростили вычисления в сферической тригонометрии , которые являются центральными для астрономии и небесной навигации и которые обычно включают произведения синусов, косинусов и других функций. Непер также описал другие применения, такие как решение задач на пропорции. ^[2]

Джон Нейпир написал отдельный том, описывающий, как он построил свои таблицы, но отложил публикацию, чтобы посмотреть, как будет воспринята его первая книга. Джон умер в 1617 году. Его сын Роберт опубликовал книгу отца Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ( Построение чудесного канона логарифмов ) с дополнениями Генри Бриггса в 1619 году на латыни ^[3] , а затем в 1620 году на английском языке. ^[4]

Непер задумал логарифм как отношение между двумя частицами, движущимися вдоль линии, одна с постоянной скоростью, а другая со скоростью, пропорциональной ее расстоянию от фиксированной конечной точки. В то время как в современных терминах логарифмическую функцию можно объяснить просто как обратную показательной функции или как интеграл 1/ x , Непер работал за десятилетия до изобретения исчисления, понимания показательной функции или разработки координатной геометрии Декартом . [ ^{1] : стр. 6–8} Непер был пионером в использовании десятичной точки в числовых расчетах, что стало обычным явлением только в следующем столетии. ^{[1] : стр. 21–23}

Новый метод Непера для вычислений получил быстрое признание. Иоганн Кеплер похвалил его; Эдвард Райт , авторитет в области навигации, перевел Descriptio Непера на английский язык в следующем году. ^[2] Бриггс распространил концепцию на более удобное основание 10. ^{[1] : стр. 16–18}

десятичный логарифм

Canon логарифмический

Поскольку десятичный логарифм десяти равен единице, сотни — двум, а тысячи — трем, концепция десятичных логарифмов очень близка к десятично-позиционной системе счисления. Говорят, что десятичный логарифм имеет основание 10, но основание 10 000 является древним и все еще распространено в Восточной Азии . В своей книге «Счетчик песчинок » Архимед использовал мириады в качестве основания системы счисления, предназначенной для подсчета песчинок во вселенной. Как было отмечено в 2000 году: ^[5]

В древности Архимед дал рецепт сведения умножения к сложению, используя геометрическую прогрессию чисел и связывая их с арифметической прогрессией .

В 1616 году Генри Бриггс посетил Джона Непера в Эдинбурге , чтобы обсудить предложенное изменение логарифмов Непера. В следующем году он снова посетил его с аналогичной целью. Во время этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом, и по возвращении из своего второго визита в Эдинбург в 1617 году он опубликовал первую тысячу своих логарифмов.

В 1624 году Бриггс опубликовал свою Arithmetica Logarithmica , in folio, работу, содержащую логарифмы тридцати тысяч натуральных чисел до четырнадцати знаков после запятой (1-20 000 и 90 001 до 100 000). Эта таблица была позже расширена Адрианом Влаком , но до 10 знаков, и Александром Джоном Томпсоном до 20 знаков в 1952 году.

Бриггс был одним из первых, кто использовал методы конечных разностей для вычисления таблиц функций. ^{[6] [7]} Он также завершил таблицу логарифмических синусов и тангенсов для сотой части каждого градуса до четырнадцати знаков после запятой, с таблицей натуральных синусов до пятнадцати знаков и тангенсов и секансов для тех же самых до десяти знаков, все из которых были напечатаны в Гауде в 1631 году и опубликованы в 1633 году под названием Trigonometria Britannica ; эта работа, вероятно, была продолжением его работы 1617 года Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в которой давалось краткое описание логарифмов и длинная таблица первых 1000 целых чисел, вычисленных до 14-го знака после запятой.

Натуральный логарифм

График уравнения y = 1/ x . Здесь число Эйлера e делает заштрихованную площадь равной 1.

Опус геометрический посмертный , 1668 г.

В 1649 году Альфонс Антонио де Сараса , бывший ученик Грегуара де Сен-Венсана , ^[8] связал логарифмы с квадратурой гиперболы, указав, что площадь A ( t ) под гиперболой от x = 1 до x = t удовлетворяет ^[9]

${\displaystyle A(tu)=A(t)+A(u).}$

Сначала реакцией на гиперболический логарифм Сен-Венсанта было продолжение исследований квадратуры, как у Христиана Гюйгенса (1651) ^[10] и Джеймса Грегори (1667). ^[11] Впоследствии возникла индустрия создания логарифмов как «logaritmotechnia», название работ Николаса Меркатора (1668), ^[12] Евклида Шпейделла (1688), ^[13] и Джона Крейга (1710). ^[14]

Используя геометрический ряд с его условным радиусом сходимости , знакопеременный ряд , называемый рядом Меркатора, выражает функцию логарифма на интервале (0,2). Поскольку ряд отрицателен в (0,1), «площадь под гиперболой» должна считаться там отрицательной, поэтому знаковая площадь определяет гиперболический логарифм.

Историк Том Уайтсайд описал переход к аналитической функции следующим образом: ^[15]

К концу 17-го века мы можем сказать, что гораздо больше, чем просто вычислительное устройство, надлежащим образом хорошо табулированное, функция логарифма, очень похожая на модель гиперболы-площади, была принята в математике. Когда в 18-м веке эта геометрическая основа была отброшена в пользу полностью аналитической, не потребовалось никакого расширения или переформулировки — концепция «гиперболы-площади» была безболезненно преобразована в «натуральный логарифм».

Леонард Эйлер рассматривал логарифм как показатель степени определенного числа, называемого основанием логарифма. Он заметил, что число 2,71828 и его обратная величина дают точку на гиперболе xy = 1, такую, что площадь в одну квадратную единицу лежит под гиперболой, справа от (1,1) и выше асимптоты гиперболы. Затем он назвал логарифм, с этим числом в качестве основания, натуральным логарифмом .

Как отметил Говард Ивс , «Одной из аномалий в истории математики является тот факт, что логарифмы были открыты до того, как стали использоваться показатели степени». ^[16] Карл Б. Бойер писал: «Эйлер был одним из первых, кто трактовал логарифмы как показатели степени, способом, который теперь так хорошо известен». ^[17]

Пионеры логарифмов

Предшественники

Вавилоняне где-то в 2000–1600 годах до нашей эры, возможно, изобрели алгоритм умножения четвертных квадратов для умножения двух чисел , используя только сложение, вычитание и таблицу четвертных квадратов. ^{[18] [19]} Таким образом, такая таблица служила той же цели, что и таблицы логарифмов, которые также позволяют вычислять умножение с помощью сложения и поиска в таблице. Однако метод четвертных квадратов не мог быть использован для деления без дополнительной таблицы обратных величин (или знания достаточно простого алгоритма для генерации обратных величин ). Большие таблицы четвертных квадратов использовались для упрощения точного умножения больших чисел с 1817 года, пока это не было заменено использованием компьютеров. ^{[ необходима цитата ]}

Индийский математик Вирасена работал с концепцией ардхаччеда: количество раз, которое число вида 2n может быть разделено пополам. Для точных степеней 2 это равно двоичному логарифму, но оно отличается от логарифма для других чисел и дает 2-адический порядок, а не логарифм. ^{[20] [21]}

В 1544 году в Нюрнберге Михаэль Штифель опубликовал труд Arithmetica integra , содержащий таблицу ^[22] целых чисел и степеней двойки, которая считается ранней версией таблицы двоичных логарифмов . ^{[23] [24]}

В XVI и начале XVII веков для аппроксимации умножения и деления использовался алгоритм, называемый простефаэрезис . Он использовал тригонометрическое тождество

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )]}$

или аналогично для преобразования умножений в сложения и табличные поиски. Однако логарифмы более просты и требуют меньше работы. Можно показать с помощью формулы Эйлера , что эти два метода связаны.

Бюрги

Швейцарский математик Йост Бюрги построил таблицу прогрессий, которую можно считать таблицей антилогарифмов ^[25] независимо от Джона Непера , чья публикация (1614) была известна к тому времени, когда Бюрги опубликовал ее по поручению Иоганна Кеплера . Мы знаем, что у Бюрги был какой-то способ упрощения вычислений около 1588 года, но, скорее всего, этим способом было использование простефаэрезиса, а не использование его таблицы прогрессий, которая, вероятно, восходит к 1600 году. Действительно, Виттих, который был в Касселе с 1584 по 1586 год, принес с собой знание простефаэрезиса , метода, с помощью которого умножения и деления можно заменить сложениями и вычитаниями тригонометрических величин. Эта процедура достигает того же, что и логарифмы несколько лет спустя.

Нейпир

Джон Непер (1550–1617), изобретатель логарифмов

Метод логарифмов был впервые публично предложен Джоном Непером в 1614 году в книге под названием «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» . ^{[26] [27] [28]}

Иоганн Кеплер , который широко использовал таблицы логарифмов для составления своих Эфемерид и поэтому посвятил их Неперу, ^[29] заметил:

...акцент в вычислениях привел Юстуса Биргиуса [Joost Bürgi] на путь этих самых логарифмов за много лет до появления системы Непера; но ... вместо того, чтобы воспитывать свое дитя для общественного блага, он бросил его при рождении.

—  Иоганн Кеплер ^[30] , Рудольфины таблицы (1627)

Нейпир представил себе точку P, движущуюся по отрезку прямой P0 к Q. Начиная с P0, с определенной начальной скоростью, P движется со скоростью, пропорциональной ее расстоянию до Q, в результате чего P никогда не достигает Q. Нейпир сопоставил эту фигуру с точкой L, движущейся вдоль неограниченного отрезка прямой, начиная с L0, и с постоянной скоростью, равной начальной скорости точки P. Нейпир определил расстояние от L0 до L как логарифм расстояния от P до Q. ^[31]

Повторными вычитаниями Непер вычислил (1 − 10 ⁻⁷ ) ^L для L в диапазоне от 1 до 100. Результат для L = 100 приблизительно равен 0,99999 = 1 − 10 ⁻⁵ . Затем Непер вычислил произведения этих чисел с 10 ⁷ (1 − 10 ⁻⁵ ) ^L для L от 1 до 50 и сделал то же самое с 0,9998 ≈ (1 − 10 ⁻⁵ ) ²⁰ и 0,9 ≈ 0,995 ²⁰ . ^[32] Эти вычисления, которые заняли 20 лет, позволили ему дать для любого числа N от 5 до 10 миллионов число L , которое решает уравнение

${\displaystyle N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}.}$

Непер сначала назвал L «искусственным числом», но позже ввел слово «логарифм» для обозначения числа, указывающего отношение: λόγος ( logos ) означает пропорцию, а ἀριθμός ( arithmos ) означает число. В современной нотации отношение к натуральным логарифмам следующее: ^[33]

${\displaystyle L=\log _{(1-10^{-7})}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{1/e}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),}$

где очень близкое приближение соответствует наблюдению, что

${\displaystyle (1-10^{-7})^{10^{7}}\approx {\frac {1}{e}}.}$

Изобретение быстро и широко получило признание. Работы Бонавентуры Кавальери (в Италии), Эдмунда Уингейта (во Франции), Сюэ Фэнцзо (в Китае) и Chilias logarithmorum Иоганна Кеплера ( в Германии) помогли распространить эту концепцию дальше. ^[34]

Эйлер

Около 1730 года Леонард Эйлер определил показательную функцию и натуральный логарифм следующим образом: ^{[35] [36] [37]}

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\\[6pt]\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).\end{aligned}}}$

В своем учебнике 1748 года « Введение в анализ бесконечности » Эйлер опубликовал ныне стандартный подход к логарифмам с помощью обратной функции : в главе 6 «Об экспонентах и ​​логарифмах» он начинает с постоянного основания a и обсуждает трансцендентную функцию . Тогда ее обратная функция — логарифм: ${\displaystyle y=a^{z}.}$

z = log _a y .

Таблицы логарифмов

Страница из книги Генри Бриггса «Logarithmorum Chilias Prima » 1617 года , на которой показан десятичный (десятичный) логарифм целых чисел от 1 до 67 с точностью до четырнадцати знаков после запятой.

Часть таблицы десятичных логарифмов XX века в справочнике Абрамовица и Стигуна .

Страница из таблицы логарифмов тригонометрических функций из American Practical Navigator 2002 г. Столбцы разностей включены для облегчения интерполяции .

Математические таблицы, содержащие десятичные логарифмы (основание 10), широко использовались в вычислениях до появления компьютеров и калькуляторов , не только потому, что логарифмы преобразуют задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания, но и из-за дополнительного свойства, которое является уникальным для основания 10 и оказывается полезным: любое положительное число может быть выражено как произведение числа из интервала [1,10) и целой степени 10. Это можно представить как сдвиг десятичного разделителя данного числа влево, дающий положительную, и вправо, дающий отрицательную степень 10. Только логарифмы этих нормализованных чисел (приближенных определенным числом цифр), которые называются мантиссами , необходимо табулировать в списках с аналогичной точностью (аналогичным числом цифр). Все эти мантиссы положительны и заключены в интервале [0,1) . Десятичный логарифм любого заданного положительного числа затем получается путем сложения его мантиссы с десятичным логарифмом второго множителя. Этот логарифм называется характеристикой заданного числа. Поскольку десятичный логарифм степени 10 — это в точности показатель степени, характеристика — целое число, что делает десятичный логарифм исключительно полезным при работе с десятичными числами. Для чисел меньше 1 характеристика делает полученный логарифм отрицательным, как и требуется. ^[38] Подробнее об использовании характеристик и мантисс см. в десятичном логарифме .

Ранние таблицы

В 1544 году в Нюрнберге Михаэль Штифель опубликовал труд Arithmetica integra , содержащий таблицу ^[39] целых чисел и степеней двойки, которая считается ранней версией логарифмической таблицы. ^{[23] [24]}

Первая опубликованная таблица логарифмов была в книге Джона Непера 1614 года «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» . ^[1] Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительного материала и девяносто страниц таблиц тригонометрических функций и их натуральных логарифмов . ^[27]

Английский математик Генри Бриггс посетил Непера в 1615 году и предложил перемасштабировать логарифмы Непера , чтобы сформировать то, что сейчас известно как обычные или десятичные логарифмы. Непер делегировал Бриггсу вычисление пересмотренной таблицы, и позже, в 1617 году, они опубликовали работу Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в которой было дано краткое описание логарифмов и таблица для первых 1000 целых чисел, вычисленных до 14-го знака после запятой.

В 1624 году Arithmetica Logarithmica Бриггса появилась в фолио как работа, содержащая логарифмы 30 000 натуральных чисел до четырнадцати знаков после запятой (1-20 000 и 90 001 до 100 000). Эта таблица была позже расширена Адрианом Влаком , но до 10 знаков, а Александром Джоном Томпсоном до 20 знаков в 1952 году.

Бриггс был одним из первых, кто использовал методы конечных разностей для вычисления таблиц функций. ^{[6] [7]}

Позднее было обнаружено, что таблица Влака содержала 603 ошибки, но «это нельзя считать большим числом, если учесть, что таблица была результатом оригинального расчета, и что более 2 100 000 напечатанных цифр подвержены ошибкам». ^[40] Издание работы Влака, содержащее множество исправлений, было выпущено в Лейпциге в 1794 году Юрием Вегой под названием Thesaurus Logarithmorum Completus .

Семизначная таблица Франсуа Калле ( Париж , 1795), вместо того чтобы остановиться на 100 000, дала восьмизначные логарифмы чисел между 100 000 и 108 000, чтобы уменьшить ошибки интерполяции , которые были наибольшими в начальной части таблицы, и это дополнение обычно включалось в семизначные таблицы. Единственное важное опубликованное расширение таблицы Влака было сделано Эдвардом Сангом в 1871 году, чья таблица содержала семизначные логарифмы всех чисел ниже 200 000.

Бриггс и Влакк также опубликовали оригинальные таблицы логарифмов тригонометрических функций . Бриггс завершил таблицу логарифмических синусов и логарифмических тангенсов для сотой части каждого градуса до четырнадцати знаков после запятой, с таблицей натуральных синусов до пятнадцати знаков и тангенсов и секансов для тех же самых до десяти знаков, все из которых были напечатаны в Гауде в 1631 году и опубликованы в 1633 году под названием Trigonometria Britannica . Таблицы логарифмов тригонометрических функций упрощают ручные вычисления, где функция угла должна быть умножена на другое число, как это часто бывает.

Помимо таблиц, упомянутых выше, большая коллекция, названная Tables du Cadastre, была составлена ​​под руководством Гаспара де Прони , путем оригинального вычисления, под эгидой французского республиканского правительства 1790-х годов. Эта работа, которая содержала логарифмы всех чисел до 100 000 с девятнадцатью знаками, и чисел от 100 000 до 200 000 с двадцатью четырьмя знаками, существует только в рукописи, «в семнадцати огромных фолиантах», в Парижской обсерватории. Она была начата в 1792 году, и «все вычисления, которые для обеспечения большей точности были выполнены в двух экземплярах, и две рукописи впоследствии тщательно сверены, были завершены в короткий промежуток времени в два года». ^[41] Кубическая интерполяция могла быть использована для нахождения логарифма любого числа с аналогичной точностью.

Для различных нужд были составлены таблицы логарифмов, начиная от небольших справочников и заканчивая многотомными изданиями: ^[42]

Логарифмическая линейка

Уильям Отред (1575–1660), изобретатель круглой логарифмической линейки.

Коллекция логарифмических линеек в Музее истории науки , Оксфорд.

Логарифмическая линейка была изобретена около 1620–1630 годов, вскоре после публикации Джоном Непером концепции логарифма . Эдмунд Гюнтер из Оксфорда разработал вычислительное устройство с одной логарифмической шкалой; с дополнительными измерительными инструментами его можно было использовать для умножения и деления. Первое описание этой шкалы было опубликовано в Париже в 1624 году Эдмундом Уингейтом (ок. 1593–1656), английским математиком, в книге под названием L'usage de la reigle de ratio en l'arithmetique & geometrie . Книга содержит двойную шкалу, логарифмическую с одной стороны, табличную с другой. В 1630 году Уильям Отред из Кембриджа изобрел круглую логарифмическую линейку, а в 1632 году объединил две ручные линейки Гюнтера , чтобы создать устройство, которое легко узнать по современной логарифмической линейке. Как и его современник в Кембридже Исаак Ньютон , Отред преподавал свои идеи в частном порядке своим ученикам. Также, как и Ньютон, он оказался вовлечён в едкую полемику о приоритете со своим бывшим учеником Ричардом Деламейном и предыдущими претензиями Уингейта. Идеи Отреда были обнародованы только в публикациях его ученика Уильяма Форстера в 1632 и 1653 годах.

В 1677 году Генри Коггесхолл создал складную линейку длиной в два фута для измерения древесины, названную логарифмической линейкой Коггесхолла , расширив сферу применения логарифмической линейки за пределы математических исследований.

В 1722 году Уорнер ввел двух- и трехдекадные шкалы, а в 1755 году Эверард включил перевернутую шкалу; логарифмическая линейка, содержащая все эти шкалы, обычно известна как «полифазная» линейка.

В 1815 году Питер Марк Роже изобрел логарифмическую линейку, которая включала шкалу, отображающую логарифм логарифма. Это позволяло пользователю напрямую выполнять вычисления с корнями и показателями степени. Это было особенно полезно для дробных степеней.

В 1821 году Натаниэль Боудич описал в « Американском практическом навигаторе» «скользящую линейку», которая содержала шкалы тригонометрических функций на неподвижной части и линию логарифмических синусов и логарифмических тангенсов на ползунке, используемую для решения навигационных задач.

В 1845 году Пол Кэмерон из Глазго представил морскую логарифмическую линейку, способную отвечать на вопросы навигации, включая прямое восхождение и склонение солнца и основных звезд. ^[50]

Современная форма

Инженер использует логарифмическую линейку на фоне механического калькулятора , середина 20 века.

Более современная форма логарифмической линейки была создана в 1859 году французским артиллерийским лейтенантом Амедеем Мангеймом , «которому повезло, что его линейка была изготовлена ​​фирмой с национальной репутацией и принята французской артиллерией». Примерно в это же время инженерное дело стало признанной профессией, что привело к широкому использованию логарифмических линеек в Европе, но не в Соединенных Штатах. Там цилиндрическая линейка Эдвина Тэчера закрепилась после 1881 года. Дуплексная линейка была изобретена Уильямом Коксом в 1891 году и производилась компанией Keuffel and Esser Co. из Нью-Йорка. ^{[51] [52]}

Влияние

В 1914 году, в связи с 300-летием таблиц Непера, Э. У. Гобсон описал логарифмы как «прекрасный инструмент, экономящий труд для всех тех, кому приходится выполнять обширные числовые вычисления», и сравнил их по важности с «индийским изобретением» нашей десятичной системы счисления. ^{[1] : стр. 5} Усовершенствованный метод расчета Непера вскоре был принят в Британии и Европе. Кеплер посвятил свой Ephereris 1620 Неперу, поздравив его с изобретением и его пользой для астрономии. ^{[1] : стр. 16} Эдвард Райт , авторитет в области небесной навигации, перевел латинское Descriptio Непера на английский язык в 1615 году, вскоре после его публикации. ^[2] Бриггс распространил эту концепцию на более удобное основание 10, или десятичный логарифм . ^{[1] : стр. 16–18}

«Вероятно, ни одна работа не оказала столь глубокого влияния на науку в целом и на математику в частности, как эта скромная маленькая книга [Descriptio]. Она открыла путь к отмене, раз и навсегда, бесконечно трудоемких, более того, кошмарных процессов деления и умножения в столбик, нахождения степени и корня чисел». ^[53]

Функция логарифма остается основным элементом математического анализа, но печатные таблицы логарифмов постепенно потеряли свою значимость в двадцатом веке, поскольку механические калькуляторы , а позднее и электронные карманные калькуляторы и компьютеры взяли на себя вычисления, требующие высокой точности. ^[54] Появление ручных научных калькуляторов в 1970-х годах положило конец эпохе логарифмических линеек. ^{[55] Графики} логарифмической шкалы широко используются для отображения данных с широким диапазоном. Децибел , логарифмическая единица, также широко используется.

Ссылки

1. Эрнест Уильям Гобсон (1914), Джон Непер и изобретение логарифмов, 1614 (PDF) , Кембридж: Издательство университета
2. Napier, John (1614). Описание чудесного канона логарифмов (PDF) . Перевод Райта, Эдварда; Брюса, Яна. 17centurymaths.com . Получено 14 марта 2022 г. .
3. "Mirifi ci logarithmorum canonis buildi, 1619, Эдинбург" (PDF) .
4. Нейпир, Джон (1889) [1620]. Построение чудесного канона логарифмов . Перевод Макдональда, Уильяма Рэя. Эдинбург: Blackwood & Sons – через интернет-архив.
5. Ян Брюс (2000) «Логарифмы Нейпира», Американский журнал физики 68(2):148, doi: 10.1119/1.19387
6. Брюс, И. (2002). «Агония и экстаз: Развитие логарифмов Генри Бриггса». The Mathematical Gazette . 86 (506): 216–227. doi :10.2307/3621843. JSTOR  3621843. S2CID  125835646.
7. "Метод разностей Генри Бриггса". Архивировано из оригинала 29.03.2012 . Получено 24.04.2012 .
8. В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан опубликовал свою книгу Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni (Геометрическое произведение о квадратуре круга и конических сечений), т. 2 (Антверпен, (Бельгия): Иоганнес и Якоб Мёрсиус, 1647). На странице 586, Предложение CIX, он доказывает, что если абсциссы точек находятся в геометрической пропорции, то площади между гиперболой и абсциссами находятся в арифметической пропорции. Это открытие позволило бывшему ученику Сен-Венсана, Альфонсу Антонио де Сараса, доказать, что площадь между гиперболой и абсциссой точки пропорциональна логарифму абсциссы, тем самым объединив алгебру логарифмов с геометрией гипербол. См.: Alphonse Antonio de Sarasa, Solutio problematis a RP Marino Mersenne Minimo propositi ... [Решение проблемы, предложенной преподобным отцом Марином Мерсенном, членом ордена Минимов ... ], (Антверпен, (Бельгия): Johannes and Jakob Meursius, 1649). Критическое открытие Сарасы находится на странице 16 (ближе к концу страницы), где он утверждает: "Unde hae superficies supplere possunt locum logarithmorum datorum ... " (Откуда эти площади могут заполнить место данных логарифмов ... ). [Другими словами, площади пропорциональны логарифмам.]
   См. также: Enrique A. González-Velasco, Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, 2011), стр. 118.
9. Альфонс Антонио де Сараса, Solutio problematis a RP Marino Mersenne Minimo propositi ... [Решение проблемы, предложенной преподобным отцом Марином Мерсенном, членом ордена Минимов ... ], (Антверпен, (Бельгия): Иоганнес и Якоб Мёрсиус, 1649).
   
   Сараса понял, что если даны гипербола и пара точек на абсциссе, которые связаны геометрической прогрессией, то если абсциссы точек умножить вместе, то абсцисса их произведения будет иметь площадь под гиперболой, которая равна сумме площадей точек под гиперболой. То есть логарифм абсциссы был пропорционален площади под гиперболой, соответствующей этой абсциссе. Это открытие объединило алгебру логарифмов с геометрией гиперболических кривых.
   • Критическое открытие Сарасы находится на странице 16 (в самом низу страницы), где он утверждает: «Unde hae superficies supplere possunt locum logarithmorum datorum ...» (Откуда эти площади могут заполнить место данных логарифмов ...). [Другими словами, площади пропорциональны логарифмам.]
   • См. также: Энрике А. Гонсалес-Веласко, Путешествие по математике: творческие эпизоды в ее истории (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, 2011), стр. 119–120.
10. Христиан Гюйгенс (1651) Теоремы квадратурных гипербол, эллипсисов и круговых
11. Джеймс Грегори (1667) Quadraturii di Circuli et Hyperbole
12. Николас Меркатор (1668) Logarithmo-technia из HathiTrust
13. Евклид Шпейдель (1688) Логарифмотехника: создание чисел, называемых логарифмами в Google Книгах
14. Джон Крейг (1710) Logarithmotechnia Generalis (Метод построения логарифмов) , Философские труды Королевского общества через Библиотеку наследия биоразнообразия
15. Дерек Томас Уайтсайд (1961) «Модели математической мысли в конце семнадцатого века», Архив истории точных наук 1(3):179–388, § III.1 Логарифм как тип-функция стр. 214–231, цитата стр. 231
16. H. Eves (1976) Введение в историю математики , 4-е издание, стр. 250, Holt, Rinehart & Winston
17. CB Boyer & Uta C. Merzbach (1989) История математики , 2-е издание, стр. 496 John Wiley & Sons
18. Макфарланд, Дэвид (2007), Возвращение к четвертным таблицам: более ранние таблицы, разделение труда при построении таблиц и более поздние реализации в аналоговых компьютерах, стр. 1
19. Робсон, Элеанор (2008). Математика в Древнем Ираке: Социальная история . стр. 227. ISBN 978-0691091822.
20. См., например, Шпарлинский, Игорь (2013), Криптографические приложения аналитической теории чисел: нижние границы сложности и псевдослучайность, Progress in Computer Science and Applied Logic, т. 22, Birkhäuser, стр. 35, ISBN 978-3-0348-8037-4.
21. Гупта, Р. К. (2000), «История математики в Индии», в Hoiberg, Dale ; Ramchandani, Indu (ред.), Студенческая Britannica India: Избранные эссе , Popular Prakashan, стр. 329
22. Стифелио, Микаэле (1544), Arithmetica Integra, Нюрнберг: Йохан Петреиум
23. Бухштаб, АА; Печаев, ВИ (2001) [1994], "Арифметика", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
24. Вивиан Шоу Гроза и Сьюзан М. Шелли (1972), Довычислительная математика, Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, стр. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
25. Jost Bürgi, Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen … [Таблицы арифметической и геометрической прогрессии … ], (Прага, (Чешская Республика): Издательство [Пражского] университета, 1620). Доступно в сети: Баварская государственная библиотека, Германия
    К сожалению, Бюрги не включил в свою таблицу инструкции по ее использованию. Ни таблица, ни инструкции не были опубликованы, по-видимому, были напечатаны только корректурные листы таблицы. Содержание инструкций было воспроизведено в: Hermann Robert Gieswald, Justus Byrg als Mathematiker, und dessen Einleitung zu seinen Logarithmen [Юстус Бирг как математик и введение в его логарифмы] (Данциг, Пруссия: St. Johannisschule, 1856), страницы 26 и далее.
26. Нейпир, Джон (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [ Описание чудесного правила логарифмов ] (на латыни), Эдинбург, Шотландия: Эндрю Харт
27. Napier, John (1614). Описание чудесного канона логарифмов (PDF) . Перевод Райта, Эдварда; Брюса, Яна. 17centurymaths.com . Получено 14 марта 2022 г. .
28. Хобсон, Эрнест Уильям (1914), Джон Непер и изобретение логарифмов, 1614, Кембридж: Издательство университета
29. Гладстон-Миллар, Линн (2003), Джон Напье: Логарифм Джон , Национальные музеи Шотландии, ISBN 978-1-901663-70-9, стр. 44
30. Нейпир, Марк (1834), Мемуары Джона Нейпира из Мерчистона, Эдинбург: Уильям Блэквуд, стр. 392.
31. "Подход Непера к логарифмам". Архивировано из оригинала 2021-11-22 . Получено 2019-11-22 .
32. Кларк, Кэтлин М.; Монтель, Клеменси (2015). «Логарифмы: ранняя история знакомой функции — Джон Нейпир представляет логарифмы». Сходимость . Математическая ассоциация Америки . Получено 12 декабря 2015 г.
33. Уильям Гаррисон Де Пюи (1893), Энциклопедия Британника: словарь искусств, наук и общей литературы; переиздание RS Peale, т. 17 (9-е изд.), Werner Co., стр. 179
34. Маор, Эли (2009), e: История одного числа , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-14134-3, раздел 2
35. Maor 2009, разделы 1, 13
36. Ивс, Говард Уитли (1992), Введение в историю математики , серия Сондерса (6-е изд.), Филадельфия: Сондерс, ISBN 978-0-03-029558-4, раздел 9-3
37. Бойер, Карл Б. (1991), История математики , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-54397-8, стр. 484, 489
38. Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).
39. Стифелио, Микаэле (1544), Arithmetica Integra, Лондон: Йохан Петреиум
40. Athenaeum, 15 июня 1872 г. См. также Monthly Notices of the Royal Astronomical Society за май 1872 г.
41. English Cyclopaedia, Биография, т. IV., статья «Прони».
42. Рой, AE (2004), Орбитальное движение (4-е изд.), CRC Press, стр. 236, ISBN 9781420056884, Во времена Г. Дарвина таблицы логарифмов были разных размеров
43. «это нельзя считать большим числом, если учесть, что таблица была результатом оригинального расчета, и что более 2 100 000 напечатанных цифр подвержены ошибкам», Athenaeum, 15 июня 1872 г. См. также Glaisher, в Monthly Notices of the Royal Astronomical Society за май 1872 г., стр. 255–262.
44. Георг Фредерик Урсин (1827), Урсини Логарифми, Копенгаген: Копенгагенский университет
45. Уильям Гардинер (1742), Таблицы логарифмов для всех чисел от 1 до 102100, а также для синусов и тангенсов для каждых десяти секунд каждого градуса в квадранте; а также для синусов первых 72 минут для каждой отдельной секунды: с другими полезными и необходимыми таблицами. , Лондон: G.Smith
46. Чарльз Хаттон (1785), Математические таблицы: содержащие десятичные, гиперболические и логистические логарифмы, а также синусы, тангенсы, секущие и обратные синусы и т. д. , Лондон: GGJ, J. Robinson и R. Baldwin
47. Денис Рёгель (2012), Реконструкция таблицы логарифмов Чарльза Бэббиджа (1827) (PDF) , Лотарингия: Loria
48. М. Кэмпбелл-Келли (1987), Таблица логарифмов Чарльза Бэббиджа (1827), Уорик: Уорикский университет. Кафедра компьютерных наук.
49. Чарльз Бэббидж (1827), Таблица логарифмов натуральных чисел от 1 до 108000, Лондон: J.Mawman
50. «Морская логарифмическая линейка Кэмерона», журнал «Практическая механика и инженер», апрель 1845 г., стр. 187 и таблица XX-B
51. Келлс, Лайман М.; Керн, Уиллис Ф.; Блэнд, Джеймс Р. (1943). Логарифмическая дуплексная децитриговая логарифмическая линейка № 4081: Руководство. Keuffel & Esser. стр. 92. Архивировано из оригинала 14 февраля 2009 г.
52. Полифазная дуплексная логарифмическая линейка, Самоучитель , Брекенридж, 1922, стр. 20.
53. Уотерс (1958). Искусство навигации в Англии в эпоху елизаветинской и ранней эпохи Стюартов. стр. 402.
54. Логарифмы, электронное издание Encyclopedia Britanica, дата обращения 17 июня 2022 г.
55. Логарифмическая линейка, электронное издание Encyclopedia Britanica, дата обращения 17 июня 2022 г.

Первоисточники

• Генри Бриггс (1624) Арифметика и логарифмика
• Грегуар де Сен-Винсент (1647) Opus Geometricum Quadraturae Circuli etsectionum Coni
• Христиан Гюйгенс (1651) Теоремы квадратурных гипербол, многоточий и окружностей, в Oeuvres Complètes , Том XI, ссылка из Интернет-архива .
• Джеймс Грегори (1667) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, Падуя: Патавии, через Интернет-архив
• Уильям Браункер (1667) Квадратура гиперболы. Архивировано 3 апреля 2016 г. в Wayback Machine , Философские труды Лондонского королевского общества , сокращенное издание 1809 г., т. I, стр. 233–6, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия .
• Николас Меркатор (1668) Logarithmitechnia , Лондон

Вторичные источники

• Фрэнсис Масерес (1791) Scriptores Logarithmici, или сборник нескольких любопытных трактатов о природе и построении логарифмов, ссылка из Google Books .
• Карл Бопп (1907) «Die Kegelschnitte der Gregorius a St. Vincentio», Abhandlungen zum Geschichte der mathematische Wissenschaft , XX Heft.
• Флориан Каджори (1913) «История концепций экспоненты и логарифма», American Mathematical Monthly 20: страницы 5–14, страницы 35–47, страницы 75–84, страницы 107–117, страницы 148–151, страницы 173–182, страницы 205–210, ссылки из Jstor
• Джордж А. Гибсон (1922) «Математические работы Джеймса Грегори», Труды Эдинбургского математического общества 41: 2–25 и (вторая серия) 1: 1–18.
• Кристоф Дж. Скриба (1983) «Сходящаяся двойная последовательность Грегори: новый взгляд на спор между Гюйгенсом и Грегори по поводу «аналитической» квадратуры круга», Historia Mathematica 10: 274–85.
• RC Pierce (1977) «Краткая история логарифма», Two-Year College Mathematics Journal 8(1):22–6.
• К. М. Кларк (2012) «Приоритет, параллельное открытие и превосходство: Нейпир, Берджи и ранняя история логарифмического отношения», Revue d'histoire de Mathematique 18(2): 223–70.

Внешние ссылки

• Рафаэль Вильяреаль-Кальдерон (2008) Рубка бревен: взгляд на историю и использование бревен, The Montana Mathematical Enthusiast 5(2,3): 237–44, ссылка из Университета Монтаны
• Мартин Флэшман История логарифмов от Университета штата Гумбольдт