Гипсометрическое уравнение

Атмосферное уравнение в метеорологии

Гипсометрическое уравнение , также известное как уравнение толщины , связывает отношение атмосферного давления с эквивалентной толщиной атмосферного слоя, учитывая среднее значение виртуальной температуры , силы тяжести и иногда ветра в слое . Оно выводится из гидростатического уравнения и закона идеального газа .

Формулировка

Гипсометрическое уравнение выражается как: ^[1] где: $${\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\,\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$$

• ${\displaystyle h}$= толщина слоя [м],
• ${\displaystyle z}$= геометрическая высота [м],
• ${\displaystyle R}$= удельная газовая постоянная для сухого воздуха,
• ${\displaystyle {\overline {T_{v}}}}$= средняя виртуальная температура в градусах Кельвина [К],
• ${\displaystyle g}$= ускорение свободного падения [м/с ² ],
• ${\displaystyle p}$= давление [ Па ].

В метеорологии и являются изобарическими поверхностями. В радиозондовых наблюдениях гипсометрическое уравнение может использоваться для вычисления высоты уровня давления , если известна высота опорного уровня давления и средняя виртуальная температура между ними. Затем вновь вычисленная высота может использоваться в качестве нового опорного уровня для вычисления высоты следующего уровня, если известна средняя виртуальная температура между ними, и так далее. ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

Вывод

Гидростатическое уравнение:

${\displaystyle p=\rho \cdot g\cdot z,}$

где - плотность [кг/м ³ ], используется для составления уравнения гидростатического равновесия , записанного в дифференциальной форме: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle dp=-\rho \cdot g\cdot dz.}$

Это сочетается с законом идеального газа :

${\displaystyle p=\rho \cdot R\cdot T_{v}}$

для устранения : ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.}$

Это интегрировано из в : ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.}$

R и g постоянны с z , поэтому их можно вынести за пределы интеграла. Если температура изменяется линейно с z (например, при небольшом изменении z ), ее также можно вынести за пределы интеграла, заменив на , среднюю виртуальную температуру между и . ${\displaystyle {\overline {T_{v}}}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$

${\displaystyle \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z.}$

Интеграция дает

${\displaystyle \ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}),}$

упрощая до

${\displaystyle \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}).}$

Перестановка:

${\displaystyle z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$

или, исключая натуральный логарифм:

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}.}$

Исправление

Эффект Этвеша можно учесть как поправку к гипсометрическому уравнению. Физически, используя систему отсчета, которая вращается вместе с Землей, воздушная масса, движущаяся на восток, фактически весит меньше, что соответствует увеличению толщины между уровнями давления, и наоборот. Исправленное гипсометрическое уравнение выглядит следующим образом: ^[2] где поправка, обусловленная эффектом Этвеша , A, может быть выражена следующим образом: где $${\displaystyle h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g(1+A)}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),}$$ $${\displaystyle A=-{\frac {1}{g}}\left(2\Omega {\overline {u}}\cos \phi +{\frac {{\overline {u}}^{2}+{\overline {v}}^{2}}{r}}\right),}$$

• ${\displaystyle \Omega }$= Скорость вращения Земли,
• ${\displaystyle \phi }$= широта,
• ${\displaystyle r}$= расстояние от центра Земли до воздушной массы,
• ${\displaystyle {\overline {u}}}$= средняя скорость в продольном направлении (восток-запад), и
• ${\displaystyle {\overline {v}}}$= средняя скорость в широтном направлении (север-юг).

Эта поправка существенна в тропических крупномасштабных атмосферных движениях.

Смотрите также

• Барометрическая формула
• Вертикальное изменение давления

Ссылки

1. "Гипсометрическое уравнение - Глоссарий AMS". Американское метеорологическое общество . Получено 12 марта 2013 г.
2. Онг, Х.; Раунди, П.Е. (2019). «Нетрадиционное гипсометрическое уравнение». QJR Meteorol. Soc . 146 (727): 700–706. arXiv : 2011.09576 . doi : 10.1002/qj.3703 .