Теоремы изоморфизма

Группа математических теорем

В математике , в частности в абстрактной алгебре , теоремы об изоморфизме (также известные как теоремы Нётер об изоморфизме ) — это теоремы , описывающие отношения между факторами , гомоморфизмами и подобъектами . Существуют версии теорем для групп , колец , векторных пространств , модулей , алгебр Ли и других алгебраических структур . В универсальной алгебре теоремы об изоморфизме можно обобщить на контекст алгебр и конгруэнций .

История

Теоремы об изоморфизме были сформулированы в некоторой общности для гомоморфизмов модулей Эмми Нётер в ее статье Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in алгебраических Zahl- und Funktionenkörpern , которая была опубликована в 1927 году в Mathematische Annalen . Менее общие версии этих теорем можно найти в работах Рихарда Дедекинда и предыдущих статьях Нётер.

Три года спустя Б. Л. ван дер Варден опубликовал свою влиятельную книгу Moderne Algebra , первый абстрактный учебник по алгебре, который рассматривал предмет с точки зрения групп - колец - полей . Ван дер Варден ссылался на лекции Нётер по теории групп и Эмиля Артина по алгебре, а также на семинар, который проводил Артином, Вильгельмом Блашке , Отто Шрайером и самим ван дер Варденом по идеалам , в качестве основных источников. Три теоремы об изоморфизме, называемые теоремой о гомоморфизме , и два закона изоморфизма применительно к группам, появляются явно.

Группы

Сначала приведем теоремы об изоморфизме групп .

Теорема А (группы)

Схема основной теоремы о гомоморфизмах

Пусть G и H — группы, и пусть f  :  G  →  H — гомоморфизм . Тогда:

1. Ядро f является нормальной подгруппой группы G ,​
2. Образ f является подгруппой H , и​​
3. Образ f изоморфен факторгруппе G / ker  ( f ) .

В частности, если f сюръективен , то H изоморфен G  / ker( f ).

Эту теорему обычно называют первой теоремой об изоморфизме .

Теорема B (группы)

Диаграмма для теоремы B4. Две факторгруппы (отмечены точками) изоморфны.

Пусть будет группой. Пусть будет подгруппой группы , и пусть будет нормальной подгруппой группы . Тогда выполняется следующее: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

1. Продукт является подгруппой , ${\displaystyle SN}$ ${\displaystyle G}$
2. Подгруппа является нормальной подгруппой , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle SN}$
3. Пересечение является нормальной подгруппой группы , и ${\displaystyle S\cap N}$ ${\displaystyle S}$
4. Факторгруппы и изоморфны. ${\displaystyle (SN)/N}$ ${\displaystyle S/(S\cap N)}$

Технически, для не обязательно быть нормальной подгруппой, пока является подгруппой нормализатора в . В этом случае не является нормальной подгруппой , но по-прежнему является нормальной подгруппой произведения . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle SN}$

Эту теорему иногда называют второй теоремой об изоморфизме ^[1] , теоремой об алмазе ^[2] или теоремой о параллелограмме ^[3] .

Применение второй теоремы об изоморфизме определяет проективные линейные группы : например, группа на комплексной проективной прямой начинается с установки , группы обратимых комплексных матриц 2 × 2 , , подгруппы матриц- детерминантов 1 и нормальной подгруппы скалярных матриц , мы имеем , где — единичная матрица , и . Тогда вторая теорема об изоморфизме утверждает, что: ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$ ${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Теорема C (группы)

Пусть — группа, и — нормальная подгруппа группы . Тогда ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

1. Если — подгруппа такой , что , то имеет подгруппу, изоморфную . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$
2. Каждая подгруппа имеет вид для некоторой подгруппы такой , что . ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
3. Если — нормальная подгруппа такой , что , то имеет нормальную подгруппу, изоморфную . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$
4. Каждая нормальная подгруппа группы имеет вид для некоторой нормальной подгруппы группы такой, что . ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
5. Если — нормальная подгруппа такой , что , то фактор-группа изоморфна . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$ ${\displaystyle G/K}$

Последнее утверждение иногда называют третьей теоремой об изоморфизме . Первые четыре утверждения часто включаются в Теорему D ниже и называются теоремой о решетке , теоремой о соответствии или четвертой теоремой об изоморфизме .

Теорема D (группы)

Пусть — группа, а — нормальная подгруппа группы . Канонический гомоморфизм проекций определяет биективное соответствие между множеством подгрупп группы , содержащих группу , и множеством (всех) подгрупп группы . При этом соответствии нормальные подгруппы соответствуют нормальным подгруппам. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Эту теорему иногда называют теоремой о соответствии , теоремой о решетке и четвертой теоремой об изоморфизме .

Лемму Цассенхауза (также известную как лемма о бабочке) иногда называют четвертой теоремой об изоморфизме. ^[4]

Обсуждение

Первая теорема об изоморфизме может быть выражена на языке теории категорий , сказав, что категория групп является (нормальной эпи, моно)-факторизуемой; другими словами, нормальные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют факторизационную систему для категории . Это отражено в коммутативной диаграмме на полях, которая показывает объекты и морфизмы , существование которых может быть выведено из морфизма . Диаграмма показывает, что каждый морфизм в категории групп имеет ядро ​​в смысле теории категорий; произвольный морфизм f разлагается на , где ι является мономорфизмом, а π является эпиморфизмом (в конормальной категории все эпиморфизмы являются нормальными). Это представлено на диаграмме объектом и мономорфизмом (ядра всегда являются мономорфизмами), которые завершают короткую точную последовательность, идущую из нижнего левого угла в верхний правый угол диаграммы. Использование соглашения о точной последовательности избавляет нас от необходимости рисовать нулевые морфизмы из в и . ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle \iota \circ \pi }$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/\ker f}$

Если последовательность является праворасщепляемой (т. е. существует морфизм σ , который отображается в π -прообраз себя), то G является полупрямым произведением нормальной подгруппы и подгруппы . Если она является леворасщепляемой (т. е. существует некоторая такая, что ), то она также должна быть праворасщепляемой и является прямым произведением разложения G . В общем случае существование правого расщепляемой не подразумевает существования левого расщепляемой; но в абелевой категории (такой как категория абелевых групп ) левые расщепляемые и правые расщепляемые эквивалентны по лемме о расщеплении , а правого расщепляемого достаточно для получения прямого суммарного разложения . В абелевой категории все мономорфизмы также являются нормальными, и диаграмма может быть расширена второй короткой точной последовательностью . ${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$ ${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$

Во второй теореме об изоморфизме произведение SN является объединением S и N в решетке подгрупп группы G , а пересечение S  ∩  N является их пересечением .

Третья теорема об изоморфизме обобщается леммой девять на абелевы категории и более общие отображения между объектами.

Примечание по номерам и именам

Ниже мы представляем четыре теоремы, обозначенные A, B, C и D. Их часто нумеруют как «Первая теорема об изоморфизме», «Вторая...» и т. д.; однако, нет универсального соглашения о нумерации. Здесь мы приводим несколько примеров теорем об изоморфизме групп в литературе. Обратите внимание, что эти теоремы имеют аналоги для колец и модулей.

Реже теорему D, обычно известную как теорема о решетке или теорема о соответствии , включают в число теорем об изоморфизме, но если ее включают, то она оказывается последней.

Кольца

Формулировки теорем для колец аналогичны, при этом понятие нормальной подгруппы заменено понятием идеала .

Теорема А (кольца)

Пусть и — кольца, а — гомоморфизм колец . Тогда : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$

1. Ядро является идеалом ,​ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R}$
2. Образ является подкольцом кольца , и​ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle S}$
3. Образ изоморфен факторкольцу .​​ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R/\ker \varphi }$

В частности, если сюръективно, то изоморфно . ^[15] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R/\ker \varphi }$

Теорема B (кольца)

Пусть R — кольцо. Пусть S — подкольцо R , и пусть I — идеал R. Тогда:

1. Сумма S  +  I  = { s  +  i  |  s ∈ S ,  i  ∈   I  }  является подкольцом кольца R ,
2. Пересечение S  ∩  I является идеалом S , и
3. Фактор-кольца ( S  +  I ) /  I и S  / ( S  ∩  I ) изоморфны.

Теорема C (кольца)

Пусть R — кольцо, а I — идеал кольца R. Тогда

1. Если — подкольцо такого, что , то — подкольцо . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R/I}$
2. Каждое подкольцо имеет вид для некоторого подкольца такого , что . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$
3. Если — идеал такой , что , то — идеал . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$ ${\displaystyle J/I}$ ${\displaystyle R/I}$
4. Каждый идеал имеет вид для некоторого идеала такого, что . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle J/I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$
5. Если — идеал кольца , такой что , то фактор-кольцо изоморфно . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$ ${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$ ${\displaystyle R/J}$

Теорема D (кольца)

Пусть будет идеалом . Соответствие является сохраняющей включение биекцией между множеством подколец , содержащих , и множеством подколец . Более того, (подкольцо, содержащее ) является идеалом тогда и только тогда, когда является идеалом . ^[16] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R/I}$

Модули

Формулировки теорем об изоморфизме для модулей особенно просты, поскольку можно образовать фактор-модуль из любого подмодуля . Теоремы об изоморфизме для векторных пространств (модулей над полем ) и абелевых групп (модулей над ) являются их частными случаями. Для конечномерных векторных пространств все эти теоремы следуют из теоремы о ранге–ничтожности . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В дальнейшем «модуль» будет означать « R -модуль » для некоторого фиксированного кольца R.

Теорема А (модули)

Пусть M и N — модули, и пусть φ  :  M  →  N — гомоморфизм модулей . Тогда:

1. Ядро φ является подмодулем M ,​
2. Образ φ является подмодулем N , и
3. Образ φ изоморфен фактор -модулю M /  ker( φ ).

В частности, если φ сюръективно, то N изоморфно M  / ker( φ ).

Теорема B (модули)

Пусть M — модуль, а S и T — подмодули M. Тогда:

1. Сумма S  +  T  = { s  +  t  |  s  ∈  S ,  t  ∈  T } является подмодулем M ,
2. Пересечение S  ∩  T является подмодулем M , и
3. Фактормодули ( S  +  T ) /  T и S  / ( S  ∩  T ) изоморфны.

Теорема C (модули)

Пусть M — модуль, T — подмодуль M.

1. Если — подмодуль такой , что , то — подмодуль . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$ ${\displaystyle S/T}$ ${\displaystyle M/T}$
2. Каждый подмодуль имеет вид для некоторого подмодуля такого, что . ${\displaystyle M/T}$ ${\displaystyle S/T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$
3. Если — подмодуль такой , что , то фактор-модуль изоморфен . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$ ${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$ ${\displaystyle M/S}$

Теорема D (модули)

Пусть будет модулем, подмодулем . Существует биекция между подмодулями , которые содержат , и подмодулями . Соответствие задается для всех . Это соответствие коммутирует с процессами взятия сумм и пересечений (т.е. является решеточным изоморфизмом между решеткой подмодулей и решеткой подмодулей , которые содержат ). ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$ ${\displaystyle A\supseteq N}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Универсальная алгебра

Чтобы обобщить это на универсальную алгебру , нормальные подгруппы необходимо заменить отношениями конгруэнтности .

Конгруэнтность на алгебре — это отношение эквивалентности , которое образует подалгебру , рассматриваемую как алгебру с покомпонентными операциями. Можно превратить множество классов эквивалентности в алгебру того же типа, определив операции через представителей; это будет хорошо определено, поскольку является подалгеброй . Полученная структура — фактор-алгебра . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A\times A}$

Теорема А (универсальная алгебра)

Пусть будет гомоморфизмом алгебры . Тогда образ является подалгеброй , отношение, заданное (т.е. ядром ) , является конгруэнцией на , а алгебры и изоморфны . (Заметим, что в случае группы тогда и только тогда , когда , поэтому в этом случае восстанавливается понятие ядра, используемое в теории групп.) ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {im} f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$

Теорема B (универсальная алгебра)

Дана алгебра , подалгебра , и конгруэнтность на , пусть будет следом в и набор классов эквивалентности, которые пересекаются . Тогда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$является конгруэнтностью по , ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$является подалгеброй , и ${\displaystyle A/\Phi }$
3. алгебра изоморфна алгебре . ${\displaystyle [B]^{\Phi }}$ ${\displaystyle B/\Phi _{B}}$

Теорема C (универсальная алгебра)

Пусть — алгебра и два отношения конгруэнтности на , такие, что . Тогда — конгруэнтность на , и изоморфна ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$ ${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$ ${\displaystyle A/\Psi }$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

Теорема D (универсальная алгебра)

Пусть будет алгеброй и обозначим множество всех конгруэнций на . Множество является полной решеткой, упорядоченной по включению. ^[18] Если является конгруэнцией и мы обозначаем множество всех конгруэнций, которые содержат (т.е. является главным фильтром в , более того, это подрешетка), то отображение является изоморфизмом решеток. ^{[19] [20]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }$

Примечания

1. Milne (2013), Глава 1, раздел. Теоремы о гомоморфизмах
2. I. Martin Isaacs (1994). Алгебра: курс для выпускников . Американское математическое общество. стр. 33. ISBN 978-0-8218-4799-2.
3. Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра . Wiley. стр. 245. ISBN 978-0-471-87731-8.
4. Уилсон, Роберт А. (2009). Конечные простые группы . Graduate Texts in Mathematics 251. Том 251. Springer-Verlag London. стр. 7. doi :10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-4471-2527-3.
5. Якобсон (2009), раздел 1.10
6. ван дер Варден, Алгебра (1994).
7. Дурбин (2009), раздел 54.
8. [имена] по сути те же, что и у [van der Waerden 1994] ^[7]
9. Кнапп (2016), раздел IV 2
10. Грийе (2007), раздел I 5
11. Ротман (2003), раздел 2.6
12. Фрэли (2003), Глава. 14, 34
13. Даммит, Дэвид Стивен (2004). Абстрактная алгебра. Ричард М. Фут (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси. С. 97–98. ISBN 0-471-43334-9. OCLC  52559229.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. Скотт (1964), разделы 2.2 и 2.3.
15. Moy, Samuel (2022). «Введение в теорию расширений полей» (PDF) . Кафедра математики Чикагского университета . Получено 20 декабря 2022 г. .
16. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 246. ISBN 978-0-471-43334-7.
17. Даммит и Фут (2004), стр. 349
18. Беррис и Санкаппанавар (2012), стр. 37
19. Беррис и Санкаппанавар (2012), стр. 49
20. Сан, Уильям. «Существует ли общая форма теоремы о соответствии?». Математика StackExchange . Получено 20 июля 2019 г. .

Ссылки

• Нётер, Эмми , Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in алгебраического Zahl- und Funktionenkörpern , Mathematische Annalen 96 (1927), стр. 26–61.
• Макларти, Колин, «Топология теории множеств Эмми Нётер: от Дедекинда до возникновения функторов». Архитектура современной математики: Очерки по истории и философии (под редакцией Джереми Грея и Хосе Феррейроса), Oxford University Press (2006) стр. 211–35.
• Якобсон, Натан (2009), Основы алгебры , т. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN 9780486471891
• Кон, Пол М., Универсальная алгебра , Глава II.3 стр. 57
• Милн, Джеймс С. (2013), Теория групп, 3.13
• ван дер Варден, BI (1994), Алгебра , вып. 1 (9-е изд.), Springer-Verlag
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, Х.П. (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Скотт, У. Р. (1964), Теория групп , Prentice Hall
• Дурбин, Джон Р. (2009). Современная алгебра: Введение (6-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5.
• Кнапп, Энтони В. (2016), Базовая алгебра (Цифровое второе издание)
• Грилье, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer
• Ротман, Джозеф Дж. (2003), Advanced Modern Algebra (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 0130878685
• Хангерфорд, Томас В. (1980), Алгебра (Тексты для аспирантов по математике, 73) , Springer, ISBN 0387905189