Изотропные координаты

В теории лоренцевых многообразий сферически -симметричные пространства-времени допускают семейство вложенных круглых сфер . Существует несколько различных типов координатных диаграмм, адаптированных к этому семейству вложенных сфер; наиболее известной является диаграмма Шварцшильда , но часто бывает полезна и изотропная диаграмма . Определяющей характеристикой изотропной карты является то, что ее радиальная координата (которая отличается от радиальной координаты карты Шварцшильда) определяется так, что световые конусы выглядят круглыми . Это означает, что (за исключением тривиального случая локально плоского многообразия) угловые изотропные координаты не точно представляют расстояния внутри вложенных сфер, а радиальная координата не точно представляет радиальные расстояния. С другой стороны, углы в гиперсрезах постоянного времени представлены без искажений, отсюда и название диаграммы.

Изотропные диаграммы чаще всего применяются к статическим сферически-симметричным пространствам-временям в метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности , но их также можно использовать, например, при моделировании сферически пульсирующего жидкого шара. Для изолированных сферически-симметричных решений уравнения поля Эйнштейна на больших расстояниях изотропная и Шварцшильдовская карты становятся все более похожими на обычную полярную сферическую карту в пространстве-времени Минковского .

Определение

В изотропной карте (на статическом сферически-симметричном пространстве-времени) метрика ( она же линейный элемент ) принимает вид

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\left(dr^{2}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right)\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\varphi <\pi }$

В зависимости от контекста может быть уместно рассматривать как неопределенные функции радиальной координаты (например, при выводе точного статического сферически-симметричного решения уравнения поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить изотропную координатную карту в определенном лоренцевом пространстве-времени. ${\displaystyle a,\,b}$

Уничтожение векторных полей

Алгебра Ли векторных полей Киллинга сферически -симметричного статического пространства-времени принимает в изотропной карте тот же вид, что и в карте Шварцшильда. А именно, эта алгебра порождается времениподобным безвихревым векторным полем Киллинга

${\displaystyle \partial _{t}}$

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

${\displaystyle \partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \sin(\varphi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\varphi )\partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \cos(\varphi )\,\partial _{\theta }-\cot(\theta )\,\sin(\varphi )\partial _{\varphi }}$

Здесь утверждение, что это безвихревость, означает, что тензор завихренности соответствующей времениподобной конгруэнции исчезает; таким образом, это векторное поле Киллинга ортогонально гиперповерхности . Тот факт, что пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, фактически является определяющей характеристикой статического пространства-времени . Одним из непосредственных последствий является то, что координатные поверхности постоянного времени образуют семейство (изометрических) пространственных гиперсрезов (пространственноподобных гиперповерхностей). ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

В отличие от диаграммы Шварцшильда, изотропная диаграмма не очень подходит для построения диаграмм встраивания этих гиперсрезов.

Семейство статических вложенных сфер

Поверхности выглядят как круглые сферы (когда мы отображаем локусы в полярной сферической форме), и по форме линейного элемента мы видим, что метрика, ограниченная любой из этих поверхностей, равна ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\varphi <\pi }$

где – координаты, – риманова метрика на сфере 2 единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют собой геометрические сферы, но внешний вид указывает на то, что радиальная координата не соответствует площади так же, как для сфер в обычном евклидовом пространстве . Сравните координаты Шварцшильда, где радиальная координата имеет естественную интерпретацию в терминах вложенных сфер. ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle g_{\Omega }}$ ${\displaystyle b(r_{0})\,r}$ ${\displaystyle r}$

Координатные особенности

Локусы отмечают границы изотропной карты, и, как и в карте Шварцшильда, мы молчаливо предполагаем, что эти два локуса идентифицированы, так что наши предполагаемые круглые сферы действительно являются топологическими сферами. ${\displaystyle \varphi =-\pi ,\,\pi }$

Как и в случае с диаграммой Шварцшильда, диапазон радиальной координаты может быть ограничен, если метрика или обратная ей метрика разрушается при некотором значении(ях) этой координаты.

Метрический анзац

Приведенный выше линейный элемент с f,g, рассматриваемый как неопределенные функции изотропной координаты r, часто используется в качестве метрического анзаца при выводе статических сферически-симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации ).

В качестве иллюстрации мы нарисуем, как вычислить связь и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана. Сначала мы считываем из линейного элемента поле кофрейма ,

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

где мы рассматриваем как неопределенные гладкие функции от . (Тот факт, что наше пространство-время допускает систему отсчета, имеющую эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия изотропной карты в статическом, сферически симметричном лоренцевом многообразии). Взяв внешние производные и используя первое структурное уравнение Картана, находим ненулевые одноформы связности ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,d\theta }$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,d\varphi }$

Снова взяв внешние производные и подставив их во второе структурное уравнение Картана, мы находим две формы кривизны .

Смотрите также

• статическое пространство-время ,
• сферически-симметричное пространство-время ,
• статические сферически-симметричные идеальные жидкости ,
• Координаты Шварцшильда , еще одна популярная диаграмма для статического сферически-симметричного пространства-времени.
• поля фреймов в общей теории относительности , чтобы узнать больше о полях фреймов и полях кофреймов.

Рекомендации

• Миснер, Торн, Уиллер (1973). Гравитация . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)