Иорданская алгебра

Not-necessarily-associative commutative algebra satisfying (𝑥𝑦)𝑥²=𝑥(𝑦𝑥²)

В абстрактной алгебре йордановая алгебра — это неассоциативная алгебра над полем , умножение которой удовлетворяет следующим аксиомам:

1. ${\displaystyle xy=yx}$( коммутативный закон)
2. ${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$(Джорданская идентичность ).

Произведение двух элементов x и y в йордановой алгебре также обозначается x ∘ y , особенно во избежание путаницы с произведением связанной ассоциативной алгебры .

Из аксиом следует ^[1] , что йордановая алгебра является степенно-ассоциативной , то есть она не зависит от того, как мы заключаем это выражение в круглые скобки. Из них также следует ^[1] , что для всех натуральных чисел m и n . Таким образом, мы можем эквивалентным образом определить йордановую алгебру как коммутативную степенно-ассоциативную алгебру, такую, что для любого элемента все операции умножения на степени коммутируют. ${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$ ${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$

Йордановые алгебры были введены Паскуалем Джорданом  (1933) в попытке формализовать понятие алгебры наблюдаемых в квантовой электродинамике . Вскоре было показано, что алгебры в этом контексте бесполезны, однако с тех пор они нашли множество применений в математике. ^[2] Первоначально алгебры назывались «системами r-числа», но были переименованы в «йордановые алгебры» Авраамом Адрианом Альбертом  (1946), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.

Специальные йордановые алгебры

Прежде всего заметим, что ассоциативная алгебра является йордановой тогда и только тогда, когда она коммутативна.

Учитывая любую ассоциативную алгебру A (не характеристики 2), можно построить йордановую алгебру A ⁺ , используя то же самое сложение и новое умножение, йордановое произведение, определяемое формулой:

${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$

Эти йордановые алгебры и их подалгебры называются специальными йордановыми алгебрами , а все остальные — исключительными йордановыми алгебрами . Эта конструкция аналогична алгебре Ли , ассоциированной с A , произведение которой (скобка Ли) определяется коммутатором . ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Теорема Ширшова – Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной. ^[3] В связи с этим теорема Макдональда утверждает, что любой многочлен от трех переменных, имеющий степень один по одной из переменных и который обращается в нуль в каждой специальной йордановой алгебре, исчезает в каждой йордановой алгебре. ^[4]

Эрмитовые йордановые алгебры

Если ( A , σ ) — ассоциативная алгебра с инволюцией σ , то если σ ( x ) = x и σ ( y ) = y , из этого следует, что Таким образом, множество всех элементов, фиксированных инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами ) образуют подалгебру A ⁺ , которую иногда обозначают H( A , σ ). ${\textstyle \sigma (xy+yx)=xy+yx.}$

Примеры

1. Множество самосопряженных вещественных , комплексных или кватернионных матриц с умножением

${\displaystyle (xy+yx)/2}$

образуют специальную йорданову алгебру.

2. Набор самосопряженных матриц 3×3 над октонионами , опять же с умножением

${\displaystyle (xy+yx)/2,}$

является 27-мерной исключительной йордановой алгеброй (она исключительна, поскольку октонионы не ассоциативны). Это был первый пример алгебры Альберта . Ее группой автоморфизмов является исключительная группа Ли F 4 . Поскольку над комплексными числами это единственная с точностью до изоморфизма простая исключительная йорданова алгебра, ^[5] ее часто называют «исключительной йордановой алгеброй». Над действительными числами существуют три класса изоморфизма простых исключительных йордановых алгебр. ^[5]

Дифференцирования и структурная алгебра

Дифференцирование йордановой алгебры A — это эндоморфизм D алгебры A такой, что D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y ) . Дифференцирования образуют алгебру Ли der ( A ). Из тождества Джордана следует, что если x и y являются элементами A , то эндоморфизм, переводящий z в x ( yz ) − y ( xz ), является дифференцированием. Таким образом, прямая сумма A и der ( A ) может быть преобразована в алгебру Ли, называемую структурной алгеброй A , str ( A ).

Простой пример дают эрмитовые йордановые алгебры H( A , σ ). В этом случае любой элемент x из A с σ ( x )=− x определяет дифференцирование. Во многих важных примерах структурная алгебра H( A , σ ) равна A .

Алгебры вывода и структурные алгебры также являются частью конструкции Титса магического квадрата Фрейденталя .

Формально вещественные йордановые алгебры

Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется формально вещественной , если она удовлетворяет тому свойству, что сумма n квадратов может исчезнуть только в том случае, если каждый из них обращается в нуль индивидуально. В 1932 году Джордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, заявив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально реальной алгеброй, которая является коммутативной ( xy = yx ) и степенно-ассоциативной (закон ассоциативности справедлив для произведений, включающих только x , поэтому что степени любого элемента x определены однозначно). Он доказал, что любая такая алгебра является йордановой.

Не каждая йордановая алгебра формально вещественна, но Джордан, фон Нейман и Вигнер (1934) классифицировали конечномерные формально вещественные йордановые алгебры, также называемые евклидовыми йордановыми алгебрами . Любую формально вещественную йорданову алгебру можно записать в виде прямой суммы так называемых простых алгебр, которые сами по себе нетривиальным образом не являются прямыми суммами. В конечных размерностях простые формально вещественные йордановые алгебры делятся на четыре бесконечных семейства вместе с одним исключительным случаем:

• Йордановая алгебра самосопряженных действительных матриц размера n × n , как указано выше.
• Йордановая алгебра самосопряженных комплексных матриц размера n × n , как указано выше.
• Йордановая алгебра самосопряженных кватернионных матриц размера n × n . как указано выше.
• Жорданова алгебра, свободно порожденная R ⁿ соотношениями

  ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$

где правая часть определяется с использованием обычного скалярного произведения на R ⁿ . Иногда это называют спин-фактором или йордановой алгеброй типа Клиффорда .

• Йордановая алгебра самосопряженных октононных матриц размера 3 × 3, как указано выше (исключительная йордановая алгебра, называемая алгеброй Альберта ) .

Из этих возможностей пока кажется, что природа использует только комплексные матрицы размера n × n в качестве алгебр наблюдаемых. Однако спиновые факторы играют роль в специальной теории относительности , и все формально вещественные йордановы алгебры связаны с проективной геометрией .

Разложение Пирса

Если e — идемпотент в йордановой алгебре A ( e ²  =  e ) и R — операция умножения на e , то

• р (2 р  - 1)( р  - 1) = 0

поэтому единственными собственными значениями R являются 0, 1/2, 1. Если йордановая алгебра A конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой подпространств A  =  A ₀ ( e ) ⊕  A _1/2 ( e ) ⊕  A ₁ ( e ) трех собственных пространств. Это разложение было впервые рассмотрено Джорданом, фон Нейманом и Вигнером (1934) для вполне вещественных йордановых алгебр. Позднее оно было полностью изучено Альбертом (1947) и названо разложением Пирса A относительно идемпотента  e . ^[6]

Особые виды и обобщения

Бесконечномерные йордановые алгебры

В 1979 году Ефим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и простые невырожденные) йордановые алгебры. Они либо эрмитовского, либо клиффордовского типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные алгебры Альберта , имеющие размерность 27.

Жордановые операторные алгебры

Теория операторных алгебр была распространена на жордановые операторные алгебры .

Аналогами С*-алгебр являются JB-алгебры, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами . Норма вещественной йордановой алгебры должна быть полной и удовлетворять аксиомам:

${\displaystyle \displaystyle {\|a\circ b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

Эти аксиомы гарантируют, что йордановая алгебра формально действительна, так что, если сумма квадратов членов равна нулю, эти члены должны быть равны нулю. Комплексификации JB-алгебр называются жордановыми C*-алгебрами или JB*-алгебрами. Они широко использовались в сложной геометрии для расширения йордановой алгебраической трактовки Кёчером ограниченных симметричных областей до бесконечных измерений. Не все алгебры JB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, точно так же, как и в конечных размерностях. Исключительная алгебра Альберта является обычным препятствием.

Аналогом йордановой алгебры алгебр фон Неймана являются алгебры JBW. Они оказываются алгебрами JB, которые, как банаховы пространства, являются двойственными к банаховым пространствам. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на алгебры JBW. В частности, факторы JBW — те, у которых центр приведен к R — полностью понимаются в терминах алгебр фон Неймана. За исключением исключительной алгебры Альберта , все факторы JWB могут быть реализованы как йордановые алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии . Из них спиновые факторы можно очень просто построить из реальных гильбертовых пространств. Все остальные факторы JWB являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана , либо его подалгеброй с неподвижной точкой относительно периода 2 *-антиавтоморфизма фактора фон Неймана. ^[7]

Джордан кольца

Йордановое кольцо является обобщением йордановых алгебр, требующим только того, чтобы йордановое кольцо находилось над общим кольцом, а не над полем. Альтернативно можно определить йордановое кольцо как коммутативное неассоциативное кольцо , соблюдающее йорданово тождество.

Иорданские супералгебры

Жордановые супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским; это -градуированные алгебры , где является йордановой алгеброй и имеет «лиеподобное» произведение со значениями в . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle J_{0}\oplus J_{1}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{0}}$

Любая -градуированная ассоциативная алгебра становится йордановой супералгеброй относительно градуированной йордановой скобки. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle A_{0}\oplus A_{1}}$

${\displaystyle \{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\ .}$

Йордановые простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы Кацем (1977). Они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности и . ${\displaystyle K_{3}}$ ${\displaystyle K_{10}}$

J-структуры

Концепция J-структуры была введена Спрингером (1998) для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, принимая обращение Жордана в качестве основной операции и тождество Хуа в качестве основного отношения. В характеристике , отличной от 2, теория J-структур по существу аналогична теории йордановых алгебр.

Квадратичные йордановые алгебры

Квадратичные йордановые алгебры представляют собой обобщение (линейных) йордановых алгебр, введенных Кевином МакКриммоном (1966). Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Существует единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящее от характеристики: в характеристике, не равной 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

Смотрите также

• Алгебра Фрейденталя
• Тройная система Иордании
• Джорданская пара
• Конструкция Кантора – Кехера – Титса
• Сорт Скорца

Примечания

1. Jacobson 1968, стр. 35–36, особое замечание перед (56) и теоремой 8.
2. Дан, Райан (1 января 2023 г.). «Нацисты, эмигранты и абстрактная математика». Физика сегодня . 76 (1): 44–50. дои : 10.1063/PT.3.5158 .
3. МакКриммон 2004, с. 100
4. МакКриммон 2004, с. 99
5. Springer & Veldkamp 2000, §5.8, стр. 153
6. McCrimmon 2004, стр. 99 и последующие , 235 и последующие.
7. См.:
   • Ханче-Ольсен и Стермер, 1984 г.
   • Упмайер 1985 г.
   • Упмайер 1987 г.
   • Фараут и Кораньи 1994 г.
8. МакКриммон 2004, стр. 9–10.

Рекомендации

• Альберт, А. Адриан (1946), «О йордановых алгебрах линейных преобразований», Труды Американского математического общества , 59 (3): 524–555, doi : 10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3 , ISSN  0002 -9947, JSTOR  1990270, MR  0016759
• Альберт, А. Адриан (1947), «Структурная теория йордановых алгебр», Annals of Mathematics , Second Series, 48 ​​(3): 546–567, doi : 10.2307/1969128, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969128, MR  0021546
• Баэз, Джон К. (2002). «Октонионы, 3: Проективная октонионная геометрия». Бюллетень Американского математического общества . Бык. амер. Математика. Соц. 39 (2): 145–205. дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . MR  1886087. S2CID  586512.. Интернет-версия HTML.
• Фараут, Дж.; Кораньи, А. (1994), Анализ симметричных конусов , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN 0198534779
• Ханче-Олсен, Х.; Стермер, Э. (1984), Жордановые операторные алгебры, Монографии и исследования по математике, том. 21, Питмэн, ISBN 0273086197
• Джейкобсон, Натан (2008) [1968], Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 9780821831793, МР  0251099
• Джордан, Паскуаль (1933), «Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik», Nachr. Акад. Висс. Геттинген. Математика. Физ. кл. Я , 41 : 209–217.
• Джордан, П.; фон Нейман, Дж .; Вигнер, Э. (1934), «Об алгебраическом обобщении квантовомеханического формализма», Annals of Mathematics , 35 (1): 29–64, doi : 10.2307/1968117, JSTOR  1968117
• Кац, Виктор Г (1977), «Классификация простых Z-градуированных супералгебр Ли и простых жордановых супералгебр», Communications in Algebra , 5 (13): 1375–1400, doi : 10.1080/00927877708822224, ISSN  0092-7872, MR  0498755
• МакКриммон, Кевин (1966), «Общая теория жордановых колец», Proc. Натл. акад. наук. США , 56 (4): 1072–1079, Bibcode : 1966PNAS...56.1072M, doi : 10.1073/pnas.56.4.1072 , JSTOR  57792, MR  0202783, PMC  220000 , PMID  16591377, Zbl  0139.2 5502
• МакКриммон, Кевин (2004), Вкус йордановых алгебр , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, MR  2014924, Збл  1044.17001, Поправки
• Ичиро Сатаке (1980), Алгебраические структуры симметричных областей , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08271-4. Обзор
• Шафер, Ричард Д. (1996), Введение в неассоциативные алгебры , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-68813-8, Збл  0145.25601
• Жевлаков К.А.; Слинько А.М.; Шестаков, ИП; Ширшов, А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN 0-12-779850-1. МР  0518614. Збл  0487.17001.
• Слинько, А.М. (2001) [1994], «Жорданская алгебра», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Спрингер, Тонни А. (1998) [1973], Жордановые алгебры и алгебраические группы , Классика по математике, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-61970-0, ISBN 978-3-540-63632-8, МР  1490836, Збл  1024.17018
• Спрингер, Тонни А.; Вельдкамп, Фердинанд Д. (2000) [1963], Октонионы, йордановые алгебры и исключительные группы, Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12622-6, ISBN 978-3-540-66337-9, МР  1763974
• Апмейер, Х. (1985), Симметричные банаховы многообразия и йордановые C∗-алгебры , Математические исследования Северной Голландии, том. 104, ISBN 0444876510
• Апмейер, Х. (1987), Жордановые алгебры в анализе, теории операторов и квантовой механике , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 67, Американское математическое общество, ISBN. 082180717X

дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Публикации коллоквиума, том. 44, С предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-0904-0, Збл  0955.16001

Внешние ссылки

• Джорданская алгебра в PlanetMath
• Алгебры Джордана-Банаха и Джордана-Ли в PlanetMath