В математике операторная K-теория является некоммутативным аналогом топологической K-теории для банаховых алгебр , большинство приложений которой используется для C*-алгебр .
Операторная K-теория больше похожа на топологическую K-теорию, чем на алгебраическую K-теорию . В частности, имеет место теорема Ботта о периодичности . Таким образом, существует только две K-группы, а именно K 0 , которая равна алгебраической K 0 , и K 1 . Как следствие теоремы о периодичности, она удовлетворяет исключению . Это означает, что она ассоциируется с расширением C *-алгебр до длинной точной последовательности , которая, в силу периодичности Ботта, сводится к точной циклической 6-членной последовательности.
Операторная K-теория является обобщением топологической K-теории , определяемой с помощью векторных расслоений на локально компактных хаусдорфовых пространствах . Здесь векторное расслоение над топологическим пространством X связано с проекцией в алгебре C* матричнозначных — то есть -значных — непрерывных функций над X. Также известно, что изоморфизм векторных расслоений переводится в эквивалентность Мюррея-фон Неймана ассоциированной проекции в K ⊗ C ( X ), где K — компактные операторы на сепарабельном гильбертовом пространстве.
Следовательно, группа K 0 (не обязательно коммутативной) C*-алгебры A определяется как группа Гротендика, порожденная классами эквивалентности Мюррея-фон Неймана проекций в K ⊗ C ( X ). K 0 является функтором из категории C*-алгебр и *-гомоморфизмов в категорию абелевых групп и групповых гомоморфизмов. Высшие K-функторы определяются через C*-версию надстройки: K n ( A ) = K 0 ( S n ( A )), где SA = C 0 (0,1) ⊗ A .
Однако, согласно периодичности Ботта, K n +2 ( A ) и K n ( A ) изоморфны для каждого n , и, таким образом, единственными группами, полученными с помощью этой конструкции, являются K 0 и K 1 .
Ключевой причиной введения методов теории K в изучение C*-алгебр был индекс Фредгольма : если задан ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве, имеющий конечномерное ядро и коядро, ему можно сопоставить целое число, которое, как оказывается, отражает «дефект» оператора, т. е. степень, в которой он необратим. Индексное отображение Фредгольма появляется в 6-членной точной последовательности, заданной алгеброй Калкина . В анализе многообразий этот индекс и его обобщения сыграли решающую роль в теории индекса Атьи и Зингера, где топологический индекс многообразия может быть выражен через индекс эллиптических операторов на нем. Позднее Браун , Дуглас и Филлмор заметили, что индекс Фредгольма был недостающим ингредиентом в классификации по существу нормальных операторов с точностью до определенной естественной эквивалентности. Эти идеи, наряду с классификацией Эллиоттом AF C*-алгебр с помощью K-теории, привели к большому интересу к адаптации методов, таких как K-теория, из алгебраической топологии в изучение операторных алгебр.
Это, в свою очередь, привело к появлению K-гомологии , бивариантной KK-теории Каспарова и, совсем недавно, E- теории Конна и Хигсона .
