Уравнения Колмогорова

Уравнения, характеризующие непрерывные во времени марковские процессы

В теории вероятностей уравнения Колмогорова , включая прямые уравнения Колмогорова и обратные уравнения Колмогорова , характеризуют непрерывные во времени марковские процессы . В частности, они описывают, как вероятность непрерывного во времени марковского процесса в определенном состоянии изменяется со временем.

Диффузионные процессы против скачкообразных процессов

В 1931 году Андрей Колмогоров начал с теории дискретных марковских процессов, которые описываются уравнением Чепмена–Колмогорова , и попытался вывести теорию непрерывных марковских процессов, расширив это уравнение. Он обнаружил, что существуют два вида непрерывных марковских процессов, в зависимости от предполагаемого поведения на малых интервалах времени:

Если вы предполагаете, что «в течение небольшого промежутка времени существует подавляющая вероятность того, что состояние останется неизменным; однако, если оно изменится, то это изменение может быть радикальным» ^[1] , то вы придете к так называемым скачкообразным процессам .

Другой случай приводит к процессам, таким как «представленные диффузией и броуновским движением ; в них определенно, что некоторое изменение произойдет в любой промежуток времени, каким бы малым оно ни было; только в этом случае определенно, что изменения в течение малых промежутков времени также будут небольшими» ^{[1] .}

Для каждого из этих двух видов процессов Колмогоров вывел прямую и обратную системы уравнений (всего четыре).

История

Уравнения названы в честь Андрея Колмогорова, поскольку они были освещены в его основополагающей работе 1931 года. ^[2]

Уильям Феллер в 1949 году использовал названия «прямое уравнение» и «обратное уравнение» для своей более общей версии пары Колмогорова, как в скачковых, так и в диффузионных процессах. ^[1] Гораздо позже, в 1956 году, он назвал уравнения для скачковых процессов «прямыми уравнениями Колмогорова» и «обратными уравнениями Колмогорова». ^[3]

Другие авторы, такие как Мотоо Кимура [ ^4], называли уравнение диффузии (Фоккера–Планка) прямым уравнением Колмогорова, и это название сохранилось до наших дней.

Современный вид

• В контексте непрерывного во времени марковского процесса со скачками см. уравнения Колмогорова (Марковский скачковый процесс) . В частности, в естественных науках прямое уравнение также известно как основное уравнение .
• В контексте процесса диффузии для обратных уравнений Колмогорова см. обратные уравнения Колмогорова (диффузия) . Прямое уравнение Колмогорова также известно как уравнение Фоккера–Планка .

Цепи Маркова с непрерывным временем

Первоначальный вывод уравнений Колмогоровым начинается с уравнения Чепмена–Колмогорова (Колмогоров называл его фундаментальным уравнением ) для непрерывных во времени и дифференцируемых марковских процессов на конечном дискретном пространстве состояний. ^[2] В этой формулировке предполагается, что вероятности являются непрерывными и дифференцируемыми функциями , где (пространство состояний) и являются конечным и начальным временем соответственно. Также предполагаются адекватные предельные свойства для производных. Феллер выводит уравнения при несколько иных условиях, начиная с концепции чисто разрывного марковского процесса , а затем формулируя их для более общих пространств состояний. ^[5] Феллер доказывает существование решений вероятностного характера для прямых уравнений Колмогорова и обратных уравнений Колмогорова при естественных условиях. ^[5] ${\displaystyle P(x,s;y,t)}$ ${\displaystyle t>s}$ ${\displaystyle x,y\in \Omega }$ ${\displaystyle t>s,t,s\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

Для случая счетного пространства состояний мы ставим вместо . Прямые уравнения Колмогорова имеют вид ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)}$,

где — матрица скорости перехода (также известная как матрица генератора), ${\displaystyle A(t)}$

в то время как обратные уравнения Колмогорова

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}P_{kj}(s;t)A_{ik}(s)}$

Функции непрерывны и дифференцируемы по обоим временным аргументам. Они представляют вероятность того, что система, которая была в состоянии в момент времени, перейдет в состояние в более позднее время . Непрерывные величины удовлетворяют ${\displaystyle P_{ij}(s;t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t>s}$ ${\displaystyle A_{ij}(t)}$

${\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}$

Связь с производящей функцией

Все еще в случае дискретного состояния, допуская и предполагая, что система изначально находится в состоянии , прямые уравнения Колмогорова описывают задачу начального значения для нахождения вероятностей процесса, учитывая величины . Запишем , где , тогда ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{jk}(t)}$ ${\displaystyle p_{k}(t)=P_{ik}(0;t)}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}(t)=1}$

${\displaystyle {\frac {dp_{k}}{dt}}(t)=\sum _{j}A_{jk}(t)p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik},\qquad k=0,1,\dots .}$

Для случая чистого процесса смерти с постоянными скоростями единственными ненулевыми коэффициентами являются . Позволяя ${\displaystyle A_{j,j-1}=\mu _{j},\ j\geq 1}$

${\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad }$

система уравнений в этом случае может быть преобразована в частное дифференциальное уравнение для с начальным условием . После некоторых манипуляций система уравнений читается как, ^[6] ${\displaystyle {\Psi }(x,t)}$ ${\displaystyle \Psi (x,0)=x^{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(x,t)=\mu (1-x){\frac {\partial {\Psi }}{\partial x}}(x,t);\qquad \Psi (x,0)=x^{i},\quad \Psi (1,t)=1.}$

Пример из биологии

Ниже приведен пример из биологии: ^[7]

${\displaystyle p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n-1}(t)-n\beta p_{n}(t)}$

Это уравнение применяется для моделирования роста населения с рождаемостью . Где - индекс населения, относительно начальной численности населения, - коэффициент рождаемости, и, наконец , , т.е. вероятность достижения определенной численности населения . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle p_{n}(t)=\Pr(N(t)=n)}$

Аналитическое решение: ^[7]

${\displaystyle p_{n}(t)=(n-1)\beta e^{-n\beta t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}(s)\,e^{n\beta s}\mathrm {d} s}$

Это формула вероятности в терминах предыдущих, т.е. . ${\displaystyle p_{n}(t)}$ ${\displaystyle p_{n-1}(t)}$

Смотрите также

• Формула Фейнмана-Каца
• Уравнение Фоккера-Планка
• Обратное уравнение Колмогорова

Ссылки

1. Феллер, В. (1949). «О теории стохастических процессов с особым акцентом на приложения». Труды (первого) симпозиума в Беркли по математической статистике и вероятности . Т. 1. Издательство Калифорнийского университета. С. 403–432.
2. Колмогоров, Андрей (1931). «Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung» [Об аналитических методах в теории вероятностей]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 104 : 415–458. дои : 10.1007/BF01457949. S2CID  119439925.
3. Феллер, Уильям (1957). «О границах и боковых условиях для дифференциальных уравнений Колмогорова». Annals of Mathematics . 65 (3): 527–570. doi :10.2307/1970064. JSTOR  1970064.
4. Кимура, Мотоо (1957). «Некоторые проблемы стохастических процессов в генетике». Annals of Mathematical Statistics . 28 (4): 882–901. doi : 10.1214/aoms/1177706791 . JSTOR  2237051.
5. Феллер, Вилли (1940) «Об интегро-дифференциальных уравнениях чисто разрывных марковских процессов», Труды Американского математического общества , 48 (3), 488-515 JSTOR  1990095
6. Бейли, Норман Т.Дж. (1990) Элементы стохастических процессов с приложениями к естественным наукам , Wiley. ISBN 0-471-52368-2 (стр. 90) 
7. Логан, Дж. Дэвид; Волесенски, Уильям Р. (2009). Математические методы в биологии . Чистая и прикладная математика. John Wiley& Sons. стр. 325–327. ISBN 978-0-470-52587-6.