Ито диффузия

Решение определенного типа стохастического дифференциального уравнения

В математике , а именно в стохастическом анализе , диффузия Ито является решением определенного типа стохастического дифференциального уравнения . Это уравнение похоже на уравнение Ланжевена, используемое в физике для описания броуновского движения частицы, подверженной воздействию потенциала в вязкой жидкости. Диффузии Ито названы в честь японского математика Киёси Ито .

Обзор

Этот процесс Винера (броуновское движение) в трехмерном пространстве (показан один пример пути) является примером диффузии Ито.

( Однородная во времени ) диффузия Ито в n- мерном евклидовом пространстве представляет собой процесс X  : [0, +∞) × Ω →  R ^{n ,} определенный на вероятностном пространстве (Ω, Σ,  P ) и удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению вида ${\displaystyle {\boldsymbol {\textbf {R}}}^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t},}$

где B — m -мерное броуновское движение , а b  :  R ⁿ  →  R ⁿ и σ :  R ⁿ  →  R ^{n × m} удовлетворяют обычному условию непрерывности Липшица

${\displaystyle |b(x)-b(y)|+|\sigma (x)-\sigma (y)|\leq C|x-y|}$

для некоторой константы C и всех x , y ∈ R ⁿ ; это условие гарантирует существование единственного сильного решения X стохастического дифференциального уравнения, приведенного выше. Вектор b известен как коэффициент дрейфа X ; матричное поле σ известно как коэффициент диффузии X . Важно отметить, что b и σ не зависят от времени; если бы они зависели от времени, X назывался бы только процессом Ито , а не диффузией. Диффузии Ито обладают рядом хороших свойств, которые включают

• непрерывность выборки и Феллера ;
• свойство Маркова ;
• сильное марковское свойство ;
• существование бесконечно малого генератора ;
• существование характеристического оператора;
• Формула Дынкина .

В частности, диффузия Ито представляет собой непрерывный, строго марковский процесс, такой, что область его характеристического оператора включает все дважды непрерывно дифференцируемые функции, поэтому она является диффузией в смысле, определенном Дынкиным (1965).

Непрерывность

Непрерывность образца

Диффузия Ито X представляет собой образец непрерывного процесса , т. е. для почти всех реализаций B _t (ω) шума, X _t (ω) является непрерывной функцией параметра времени, t . Точнее, существует «непрерывная версия» X , непрерывный процесс Y , так что

${\displaystyle \mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ for all }}t.}$

Это следует из стандартной теории существования и единственности сильных решений стохастических дифференциальных уравнений.

непрерывность лесосек

Помимо того, что диффузия Ито X является (выборочно) непрерывной, она удовлетворяет более строгому требованию быть процессом, непрерывным по Феллеру .

Для точки x  ∈  Rn пусть P ^x обозначает закон X ^при начальных данных X ₀  =  x , а E ^x обозначает математическое ожидание относительно P ^x .

Пусть f  :  R ⁿ  →  R — измеримая по Борелю функция , ограниченная снизу , и для фиксированного t  ≥ 0 определим u  :  R ⁿ  →  R как

${\displaystyle u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].}$

• Полунепрерывность снизу : если f полунепрерывна снизу, то u полунепрерывна снизу.
• Непрерывность Феллера: если f ограничена и непрерывна, то u непрерывна.

Поведение функции u выше при изменении времени t рассматривается с помощью обратного уравнения Колмогорова, уравнения Фоккера–Планка и т. д. (См. ниже.)

Марковская собственность

Марковская собственность

Диффузия Ито X обладает важным свойством быть марковской : будущее поведение X , учитывая то, что произошло до некоторого момента времени t , такое же, как если бы процесс был начат в позиции X _t в момент времени 0. Точная математическая формулировка этого утверждения требует некоторых дополнительных обозначений:

Пусть Σ _∗ обозначает естественную фильтрацию (Ω, Σ), порожденную броуновским движением B : для t  ≥ 0,

${\displaystyle \Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega \ :\ 0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{ Borel}}\right\}.}$

Легко показать, что X адаптировано к Σ _∗ (т.е. каждое X _t является Σ _t -измеримым), поэтому естественная фильтрация F _∗  =  F _∗ ^X множества (Ω, Σ), порожденная X, имеет F _t  ⊆ Σ _t для каждого t  ≥ 0.

Пусть f  :  R ⁿ  →  R — ограниченная, измеримая по Борелю функция. Тогда для всех t и h  ≥ 0 условное ожидание , обусловленное σ-алгеброй Σ _t, и ожидание процесса, «перезапущенного» из X _t, удовлетворяют марковскому свойству :

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf {E} ^{X_{t}(\omega )}[f(X_{h})].}$

На самом деле, X также является марковским процессом относительно фильтрации F _∗ , как показано ниже:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}}$

Сильное марковское свойство

Сильное свойство Маркова является обобщением свойства Маркова, описанного выше, в котором t заменяется подходящим случайным временем τ : Ω → [0, +∞], известным как время остановки . Так, например, вместо того, чтобы «перезапускать» процесс X в момент времени t  = 1, можно «перезапускать» его всякий раз, когда X впервые достигает некоторой указанной точки p из R ⁿ .

Как и прежде, пусть f  :  R ⁿ  →  R — ограниченная, измеримая по Борелю функция. Пусть τ — время остановки относительно фильтрации Σ _∗ с τ < +∞ почти наверняка . Тогда для всех h  ≥ 0,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}.}$

Генератор

Определение

С каждой диффузией Ито связан частный дифференциальный оператор второго порядка, известный как генератор диффузии. Генератор очень полезен во многих приложениях и кодирует большой объем информации о процессе X. Формально бесконечно малый генератор диффузии Ито X — это оператор A , который определяется для действия на подходящие функции f  :  R ⁿ  →  R по формуле

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.}$

Множество всех функций f, для которых этот предел существует в точке x, обозначается D _A ( x ), в то время как D _A обозначает множество всех f , для которых предел существует для всех x  ∈  R ⁿ . Можно показать, что любая компактная C ² (дважды дифференцируемая с непрерывной второй производной) функция f лежит в D _A и что

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x),}$

или, в терминах градиента , скаляра и внутренних произведений Фробениуса ,

${\displaystyle Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla _{x}\nabla _{x}f(x).}$

Пример

Генератор A для стандартного n -мерного броуновского движения B , который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению d X _t  = d B _t , задается выражением

${\displaystyle Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x)}$,

т.е. A  = Δ/2, где Δ обозначает оператор Лапласа .

Уравнения Колмогорова и Фоккера–Планка

Генератор используется в формулировке обратного уравнения Колмогорова. Интуитивно это уравнение говорит нам, как ожидаемое значение любой подходящей гладкой статистики X эволюционирует во времени: оно должно решать определенное уравнение в частных производных , в котором время t и начальное положение x являются независимыми переменными. Точнее, если f  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) имеет компактный носитель и u  : [0, +∞) ×  R ⁿ  →  R определяется как

${\displaystyle u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],}$

тогда u ( t ,  x ) дифференцируемо по t , u ( t , ·) ∈  D _A для всех t , и u удовлетворяет следующему частному дифференциальному уравнению , известному как обратное уравнение Колмогорова :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

Уравнение Фоккера–Планка (также известное как прямое уравнение Колмогорова ) в некотором смысле является « сопряженным » к обратному уравнению и говорит нам, как функции плотности вероятности X _t эволюционируют со временем t . Пусть ρ( t , ·) будет плотностью X _t относительно меры Лебега на R ⁿ , т . е. для любого измеримого по Борелю множества S  ⊆  R ⁿ ,

${\displaystyle \mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\,\mathrm {d} x.}$

Пусть A ^∗ обозначает эрмитово сопряженное к A (относительно внутреннего произведения L 2 ). Тогда, учитывая, что начальное положение X ₀ имеет заданную плотность ρ ₀ , ρ( t ,  x ) дифференцируемо относительно t , ρ( t , ·) ∈  D _{A *} для всех t , и ρ удовлетворяет следующему частному дифференциальному уравнению, известному как уравнение Фоккера–Планка :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial \rho }{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

Формула Фейнмана–Каца

Формула Фейнмана–Каца является полезным обобщением обратного уравнения Колмогорова. Опять же, f принадлежит C ² ( R ⁿ ;  R ) и имеет компактный носитель, а q  :  R ⁿ  →  R считается непрерывной функцией , ограниченной снизу. Определим функцию v  : [0, +∞) ×  R ⁿ  →  R следующим образом :

${\displaystyle v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d} s\right)f(X_{t})\right].}$

Формула Фейнмана–Каца утверждает, что v удовлетворяет частному дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{cases}}}$

Более того, если w  : [0, +∞) ×  R ⁿ  →  R является C ¹ во времени, C ² в пространстве, ограничено на K  ×  R ⁿ для всех компактных K и удовлетворяет приведенному выше частному дифференциальному уравнению, то w должно быть v, как определено выше.

Обратное уравнение Колмогорова является частным случаем формулы Фейнмана–Каца, в которой q ( x ) = 0 для всех x  ∈  R ⁿ .

Характерный оператор

Определение

Характеристический оператор диффузии Ито X — это частный дифференциальный оператор, тесно связанный с генератором, но несколько более общий. Он больше подходит для определенных задач, например, для решения задачи Дирихле .

Характеристический оператор диффузии Ито X определяется как ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},}$

где множества U образуют последовательность открытых множеств U _k , которые убывают к точке x в том смысле, что

${\displaystyle U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ and }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\},}$

и

${\displaystyle \tau _{U}=\inf\{t\geq 0\ :\ X_{t}\not \in U\}}$

— время первого выхода из U для X . обозначает множество всех f , для которых этот предел существует для всех x  ∈  R ⁿ и всех последовательностей { U _k }. Если E ^x [τ _U ] = +∞ для всех открытых множеств U, содержащих x , то определим ${\displaystyle D_{\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=0.}$

Связь с генератором

Характеристический оператор и бесконечно малый генератор очень тесно связаны и даже совпадают для большого класса функций. Можно показать, что

${\displaystyle D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}}$

и что

${\displaystyle Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ for all }}f\in D_{A}.}$

В частности, генератор и характеристический оператор совпадают для всех C ² функций f , и в этом случае

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).}$

Применение: броуновское движение на римановом многообразии.

Характеристический оператор броуновского движения — ⁠1/2⁠ раз оператор Лапласа-Бельтрами. Здесь это оператор Лапласа-Бельтрами на 2-сфере.

Выше был вычислен генератор (и, следовательно, характеристический оператор) броуновского движения на R ^{n ,} который равен ⁠1/2⁠ Δ, где Δ обозначает оператор Лапласа. Характеристический оператор полезен при определении броуновского движения на m -мерном римановом многообразии ( M ,  g ): броуновское движение на M определяется как диффузия на M , характеристический оператор которой в локальных координатах x _i , 1 ≤  i  ≤  m , задается как ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$1/2⁠ Δ _LB , где Δ _LB — оператор Лапласа-Бельтрами, заданный в локальных координатах как

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$

где [ g ^ij ] = [ g _ij ] ⁻¹ в смысле обратной квадратной матрицы .

Оператор резольвенты

В общем случае генератор A диффузии Ито X не является ограниченным оператором . Однако если положительное кратное оператора тождества I вычесть из A, то полученный оператор обратим. Обратный оператор этого оператора может быть выражен в терминах самого X с использованием оператора резольвенты .

При α > 0 оператор резольвенты R _α , действующий на ограниченные непрерывные функции g  :  R ⁿ  →  R , определяется как

${\displaystyle R_{\alpha }g(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}g(X_{t})\,\mathrm {d} t\right].}$

Используя непрерывность Феллера диффузии X , можно показать, что R _α g сама по себе является ограниченной, непрерывной функцией. Кроме того, R _α и α I  −  A являются взаимно обратными операторами:

• если f  :  R ⁿ  →  R есть C ² с компактным носителем, то для всех α > 0

${\displaystyle R_{\alpha }(\alpha \mathbf {I} -A)f=f;}$

• если g  :  R ⁿ  →  R ограничено и непрерывно, то R _α g лежит в D _A и для всех α > 0

${\displaystyle (\alpha \mathbf {I} -A)R_{\alpha }g=g.}$

Инвариантные меры

Иногда необходимо найти инвариантную меру для диффузии Ито X , т. е. меру на R ⁿ , которая не изменяется при «потоке» X : т. е. если X ₀ распределено в соответствии с такой инвариантной мерой μ _∞ , то X _t также распределено в соответствии с μ _∞ для любого t  ≥ 0. Уравнение Фоккера–Планка предлагает способ найти такую ​​меру, по крайней мере, если она имеет функцию плотности вероятности ρ _∞ : если X ₀ действительно распределено в соответствии с инвариантной мерой μ _∞ с плотностью ρ _∞ , то плотность ρ( t , ·) X _t не изменяется с t , поэтому ρ( t , ·) = ρ _∞ , и поэтому ρ _∞ должно решать (не зависящее от времени) уравнение в частных производных

${\displaystyle A^{*}\rho _{\infty }(x)=0,\quad x\in \mathbf {R} ^{n}.}$

Это иллюстрирует одну из связей между стохастическим анализом и изучением частных дифференциальных уравнений. Наоборот, заданное линейное частное дифференциальное уравнение второго порядка вида Λ f  = 0 может быть трудно решить напрямую, но если Λ =  A ^∗ для некоторой диффузии Ито X , а инвариантную меру для X легко вычислить, то плотность этой меры дает решение частного дифференциального уравнения.

Инвариантные меры для градиентных потоков

Инвариантную меру сравнительно легко вычислить, когда процесс X представляет собой стохастический градиентный поток вида

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

где β > 0 играет роль обратной температуры , а Ψ :  R ⁿ  →  R — скалярный потенциал, удовлетворяющий подходящим условиям гладкости и роста. В этом случае уравнение Фоккера–Планка имеет единственное стационарное решение ρ _∞ (т.е. X имеет единственную инвариантную меру μ _∞ с плотностью ρ _∞ ) и оно задается распределением Гиббса :

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),}$

где статистическая сумма Z определяется выражением

${\displaystyle Z=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp(-\beta \Psi (x))\,\mathrm {d} x.}$

Более того, плотность ρ _∞ удовлетворяет вариационному принципу : она минимизирует по всем плотностям вероятности ρ на R ⁿ функционал свободной энергии F, заданный выражением

${\displaystyle F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],}$

где

${\displaystyle E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x}$

играет роль энергетического функционала, и

${\displaystyle S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x}$

является отрицательным значением функционала энтропии Гиббса-Больцмана. Даже когда потенциал Ψ ​​недостаточно хорошо себя ведет для определения статистической суммы Z и меры Гиббса μ _{∞ , свободная энергия} F [ρ( t , ·)] все еще имеет смысл для каждого момента времени t  ≥ 0, при условии, что начальное условие имеет F [ρ(0, ·)] < +∞. Функционал свободной энергии F является, по сути, функцией Ляпунова для уравнения Фоккера–Планка: F [ρ( t , ·)] должна уменьшаться с ростом t . Таким образом, F является H -функцией для X -динамики.

Пример

Рассмотрим процесс Орнштейна-Уленбека X на Rn ^, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

где m  ∈  Rn и β, κ > 0 — заданные константы. ^В этом случае потенциал Ψ ​​определяется как

${\displaystyle \Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa |x-m|^{2},}$

и поэтому инвариантная мера для X является гауссовой мерой с плотностью ρ _∞, заданной формулой

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=\left({\frac {\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \left(-{\frac {\beta \kappa |x-m|^{2}}{2}}\right)}$.

Эвристически, для больших t , X _t приблизительно нормально распределено со средним m и дисперсией (βκ) ⁻¹ . Выражение для дисперсии можно интерпретировать следующим образом: большие значения κ означают, что потенциальная яма Ψ имеет «очень крутые стороны», поэтому X _t вряд ли уйдет далеко от минимума Ψ при m ; аналогично, большие значения β означают, что система довольно «холодная» с небольшим шумом, поэтому, опять же, X _t вряд ли уйдет далеко от m .

Свойство мартингейла

В общем случае диффузия Ито X не является мартингалом . Однако для любого f  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) с компактным носителем процесс M  : [0, +∞) × Ω →  R , определяемый соотношением

${\displaystyle M_{t}=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s,}$

где A — генератор X , — мартингал относительно естественной фильтрации F _∗ функции (Ω, Σ) по X. Доказательство довольно простое: из обычного выражения действия генератора на достаточно гладкие функции f и леммы Ито (правило стохастической цепи ) следует, что

${\displaystyle f(X_{t})=f(x)+\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\nabla f(X_{s})^{\top }\sigma (X_{s})\,\mathrm {d} B_{s}.}$

Так как интегралы Ито являются мартингалами относительно естественной фильтрации Σ _∗ функции (Ω, Σ) по B , для t  >  s ,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}=M_{s}.}$

Следовательно, по мере необходимости,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[M_{t}|F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}{\big |}F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{s}{\big |}F_{s}{\big ]}=M_{s},}$

поскольку M _s является F _s -измеримым.

Формула Дынкина

Формула Дынкина, названная в честь Евгения Дынкина , дает ожидаемое значение любой подходящей гладкой статистики диффузии Ито X (с генератором A ) в момент остановки. Точнее, если τ — момент остановки с E ^x [τ] < +∞, а f  :  R ⁿ  →  R — это C ² с компактным носителем, то

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

Формула Дынкина может быть использована для вычисления многих полезных статистик времени остановки. Например, каноническое броуновское движение на действительной прямой, начинающееся в 0, выходит из интервала ( − R , + R ) в случайное время τ _R с ожидаемым значением

${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}[\tau _{R}]=R^{2}.}$

Формула Дынкина дает информацию о поведении X при довольно общем времени остановки. Для получения дополнительной информации о распределении X при времени удара можно изучить гармоническую меру процесса.

Сопутствующие меры

Гармоническая мера

Во многих ситуациях достаточно знать, когда диффузия Ито X впервые покинет измеримое множество H  ⊆  R ⁿ . То есть, требуется изучить время первого выхода

${\displaystyle \tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in H\}.}$

Однако иногда также желательно знать распределение точек, в которых X покидает множество. Например, каноническое броуновское движение B на вещественной прямой, начинающееся в точке 0, покидает интервал (−1, 1) в точке −1 с вероятностью ⁠1/2⁠ и при 1 с вероятностью ⁠1/2⁠ , поэтому B _{τ (−1, 1)} равномерно распределено на множестве {−1, 1}.

^В общем случае, если G компактно вложено в Rn , то гармоническая мера (или распределение попаданий ) X на границе ∂G множества G — это мера _μGx , определяемая ^{соотношением}

${\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]}$

для x  ∈  G и F  ⊆ ∂ G .

^{Возвращаясь к} предыдущему примеру броуновского движения, можно показать, что если B — броуновское движение в Rn ^, начинающееся в точке x  ∈  Rn ^, а D  ⊂  Rn — открытый шар с центром в точке x , то гармоническая мера B на ∂ D инвариантна относительно всех вращений D вокруг x и совпадает с нормализованной поверхностной мерой на ∂ D.

Гармоническая мера удовлетворяет интересному свойству среднего значения : если f  :  R ⁿ  →  R — любая ограниченная, измеримая по Борелю функция, а φ задается выражением

${\displaystyle \varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],}$

тогда для всех борелевских множеств G  ⊂⊂  H и всех x  ∈  G ,

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\partial G}\varphi (y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y).}$

Свойство среднего значения очень полезно при решении уравнений в частных производных с использованием стохастических процессов .

Зелёная мера и Зелёная формула

Пусть A — частный дифференциальный оператор в области D  ⊆  R ⁿ , а X — диффузия Ито с A в качестве генератора. Интуитивно, мера Грина борелевского множества H — это ожидаемая продолжительность времени, в течение которого X остается в H , прежде чем покинет область D . То есть мера Грина X относительно D в точке x , обозначаемая G ( x , · ), определяется для борелевских множеств H  ⊆  R ⁿ следующим образом:

${\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],}$

или для ограниченных непрерывных функций f  :  D  →  R по формуле

${\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

Название «Зеленая мера» происходит от того факта, что если X — броуновское движение, то

${\displaystyle G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,}$

где G ( x ,  y ) — функция Грина для оператора ⁠1/2⁠ Δ на домене D.

Предположим, что E ^x [τ _D ] < +∞ для всех x  ∈  D. Тогда формула Грина верна для всех f  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) с компактным носителем:

${\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

В частности, если носитель f компактно вложен в D ,

${\displaystyle f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

Смотрите также

• Процесс диффузии

Ссылки

• Дынкин Евгений Борисович ; пер. Дж. Фабиус; В. Гринберг; А. Майтра; Г. Маджоне (1965). Марковские процессы. Том. Я, II . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. Нью-Йорк: Academic Press Inc. МР 0193671
• Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felix (1998). «Вариационная формулировка уравнения Фоккера–Планка». SIAM J. Math. Anal . 29 (1): 1–17 (электронный). CiteSeerX  10.1.1.6.8815 . doi :10.1137/S0036141096303359. S2CID  13890235. МР 1617171
• Øksendal, Bernt K. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1. MR 2001996 (см. разделы 7, 8 и 9)