исчисление Ито

Это интеграл Y _t ( B ) ( синий ) броуновского движения $B$ ( красный ) относительно самого себя, т.е. и подынтегральное выражение, и интегратор являются броуновскими. Получается $Y$ $t$ $($ $B$ $) = ($ $B$ $2$ $-$ $t$ $)/2$ .

Исчисление Ито , названное в честь Киёси Ито , расширяет методы исчисления на случайные процессы, такие как броуновское движение (см. Винеровский процесс ). Оно имеет важные приложения в финансовой математике и стохастических дифференциальных уравнениях .

Центральным понятием является стохастический интеграл Ито, стохастическое обобщение интеграла Римана–Стилтьеса в анализе. Подынтегральные функции и интеграторы теперь являются стохастическими процессами: где $H$ — локально квадратично интегрируемый процесс , адаптированный к фильтрации, генерируемой $X$ (Revuz & Yor 1999, Глава IV), которая является броуновским движением или, в более общем смысле, семимартингалом . Результатом интегрирования тогда является другой стохастический процесс. Конкретно, интеграл от 0 до любого конкретного $t$ является случайной величиной , определяемой как предел некоторой последовательности случайных величин. Траектории броуновского движения не удовлетворяют требованиям, чтобы иметь возможность применять стандартные методы исчисления. Таким образом, если подынтегральное выражение является случайным процессом, стохастический интеграл Ито представляет собой интеграл относительно функции, которая не дифференцируема ни в одной точке и имеет бесконечную вариацию на каждом временном интервале. Главное понимание заключается в том, что интеграл может быть определен, пока подынтегральное выражение H адаптировано $,$ что , грубо говоря, означает, что его значение в момент времени $t$ может зависеть только от информации, доступной до этого момента. Грубо говоря, выбирается последовательность разделов интервала от 0 до $t$ и строятся суммы Римана . Каждый раз, когда мы вычисляем сумму Римана, мы используем определенную реализацию интегратора. Крайне важно, какая точка в каждом из малых интервалов используется для вычисления значения функции. Затем предел берется по вероятности, поскольку сетка раздела стремится к нулю. Необходимо учесть многочисленные технические детали, чтобы показать, что этот предел существует и не зависит от конкретной последовательности разделов. Обычно используется левый конец интервала. $Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},$

Важные результаты исчисления Ито включают формулу интегрирования по частям и лемму Ито , которая является формулой замены переменных . Они отличаются от формул стандартного исчисления из-за квадратичных вариационных членов.

В математических финансах описанная стратегия оценки интеграла концептуализируется так, что мы сначала решаем, что делать, а затем наблюдаем изменение цен. Подынтегральное выражение — это то, сколько акций мы держим, интегратор представляет собой движение цен, а интеграл — это то, сколько денег у нас есть в целом, включая стоимость наших акций, в любой момент времени. Цены акций и других торгуемых финансовых активов могут быть смоделированы стохастическими процессами, такими как броуновское движение или, чаще, геометрическое броуновское движение (см. Блэка–Шоулза ). Затем стохастический интеграл Ито представляет собой выплату непрерывной во времени торговой стратегии, состоящей из удержания суммы H _t акций в момент времени t . В этой ситуации условие адаптации $H$ соответствует необходимому ограничению, что торговая стратегия может использовать только имеющуюся информацию в любой момент времени. Это предотвращает возможность неограниченной прибыли посредством ясновидения : покупка акций непосредственно перед каждым подъемом на рынке и продажа перед каждым падением. Аналогично, условие адаптации $H$ подразумевает, что стохастический интеграл не будет расходиться при вычислении как предела сумм Римана (Revuz & Yor 1999, Глава IV).

Обозначение

Процесс $Y,$ определенный ранее как, сам по себе является стохастическим процессом с временным параметром t , который также иногда записывается как $Y$ $=$ $H$ $\cdot$ $X$ (Rogers & Williams 2000). В качестве альтернативы интеграл часто записывается в дифференциальной форме $dY$ $=$ $H$ $dX$ , что эквивалентно $Y$ $-$ $Y$ $0$ $=$ $H$ $\cdot$ $X.$ Поскольку исчисление Ито касается непрерывных во времени стохастических процессов, предполагается, что задано базовое отфильтрованное вероятностное пространство . σ -алгебра представляет информацию, доступную до момента времени $t$ , и процесс $X$ адаптируется, если $X$ $t$ является -измеримым. Под броуновским движением $B$ понимается -броуновское движение, которое является просто стандартным броуновским движением со свойствами, что $B$ $t$ является -измеримым и что $B$ $t$ $+$ $s$ $-$ $B$ $t$ не зависит от для всех $s$ $,$ $t$ $\geq 0$ (Revuz & Yor 1999). $Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} ).$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{t}$

Интегрирование по броуновскому движению

Интеграл Ито можно определить аналогично интегралу Римана–Стилтьеса , то есть как предел вероятности сумм Римана ; такой предел не обязательно существует по пути. Предположим, что $B$ — винеровский процесс (броуновское движение), а $H$ — непрерывный справа ( càdlàg ), адаптированный и локально ограниченный процесс. Если — последовательность разбиений [ $0,$ $t$ $]$ с шириной сетки, стремящейся к нулю, то интеграл Ито от $H$ относительно $B$ до момента времени $t$ — случайная величина $\{\пи _{n}\}$ $\int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).$

Можно показать, что этот предел сходится по вероятности .

Для некоторых приложений, таких как теоремы о представлении мартингала и локальные времена , интеграл необходим для процессов, которые не являются непрерывными. Предсказуемые процессы образуют наименьший класс, который замкнут относительно взятия пределов последовательностей и содержит все адаптированные лево-непрерывные процессы. Если $H$ - любой предсказуемый процесс, такой что $\int 0 t H 2 ds < \infty$ для каждого $t \geq 0$ , то можно определить интеграл $H$ относительно $B$ , и говорят, что $H является$ $B$ -интегрируемым. Любой такой процесс можно аппроксимировать последовательностью H _n лево-непрерывных, адаптированных и локально ограниченных процессов, в том смысле, что по вероятности. Тогда интеграл Ито равен , где, опять же, можно показать, что предел сходится по вероятности. Стохастический интеграл удовлетворяет изометрии Ито , которая выполняется, когда $H$ ограничен или, в более общем смысле, когда интеграл в правой части конечен. $\int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0$ $\int _{0}^{t}H\,дБ=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,дБ$ $\mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]$

Процессы Ито

Единичная реализация процесса Ито с $μ = 0$ и $σ = ψ (t -5)$ , где $ψ$ — вейвлет Рикера . Вне прилива вейвлета движение процесса Ито устойчиво.

Процесс Ито определяется как адаптированный стохастический процесс, который может быть выражен как сумма интеграла по броуновскому движению и интеграла по времени, $X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.$

Здесь $B$ — броуновское движение, и требуется, чтобы σ было предсказуемым $B$ -интегрируемым процессом, а μ было предсказуемым и ( Лебеговым ) интегрируемым. То есть для каждого $t$ . Стохастический интеграл можно распространить на такие процессы Ито, $\int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty$ $\int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.$

Это определено для всех локально ограниченных и предсказуемых интегрантов. В более общем смысле, требуется, чтобы $Hσ$ был $B$ -интегрируемым, а $Hμ$ был интегрируемым по Лебегу, так что Такие предсказуемые процессы $H$ называются $X$ -интегрируемыми. $\int _{0}^{t}\left(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |\right)ds<\infty .$

Важным результатом для изучения процессов Ито является лемма Ито . В своей простейшей форме для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции $f$ на действительных числах и процесса Ито $X$ , как описано выше, она утверждает, что является процессом Ито, удовлетворяющим $Y_{t}=f(X_{t})$ $dY_{t}=f^{\prime }(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\tfrac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+f^{\prime }(X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}.$

Это версия стохастического исчисления формулы замены переменных и цепного правила . Она отличается от стандартного результата дополнительным членом, включающим вторую производную от $f$ , которая возникает из свойства, что броуновское движение имеет ненулевую квадратичную вариацию .

Семимартингалы как интеграторы

Интеграл Ито определяется относительно полумартингала $X.$ Это процессы, которые можно разложить как $X = M + A$ для локального мартингала $M$ и конечного вариационного процесса $A.$ Важными примерами таких процессов являются броуновское движение , которое является мартингалом , и процессы Леви . Для непрерывного слева, локально ограниченного и адаптированного процесса $H$ интеграл $H \cdot X$ существует и может быть вычислен как предел сумм Римана. Пусть $π n$ будет последовательностью разбиений $[0, t]$ с сеткой, стремящейся к нулю , $\int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).$

Этот предел сходится по вероятности. Стохастический интеграл непрерывных слева процессов достаточно общий для изучения большей части стохастического исчисления. Например, он достаточен для приложений леммы Ито, изменений меры по теореме Гирсанова и для изучения стохастических дифференциальных уравнений . Однако он неадекватен для других важных тем, таких как теоремы о представлении мартингала и локальное время .

Интеграл распространяется на все предсказуемые и локально ограниченные интегранты единственным образом, так что выполняется теорема о доминируемой сходимости . То есть, если $H n \to H$ и $| H n | \leq J$ для локально ограниченного процесса $J$ , то по вероятности. Единственность расширения от левонепрерывных до предсказуемых интегрантов является результатом леммы о монотонном классе . $\int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX,$

В общем случае стохастический интеграл $H \cdot X$ может быть определен даже в случаях, когда предсказуемый процесс $H$ локально не ограничен. Если $K = 1 / (1 + | H |),$ то $K$ и $KH$ ограничены. Ассоциативность стохастического интегрирования подразумевает, что $H$ является $X$ -интегрируемым, с интегралом $H \cdot X = Y$ , тогда и только тогда, когда $Y 0 = 0$ и $K \cdot Y = (KH) \cdot X$ . Множество $X$ -интегрируемых процессов обозначается как $L (X)$ .

Характеристики

Следующие свойства можно найти в таких работах, как (Revuz & Yor 1999) и (Rogers & Williams 2000):

Стохастический интеграл — это процесс càdlàg . Более того, это семимартингал .
Разрывы стохастического интеграла задаются скачками интегратора, умноженными на подынтегральное выражение. Скачок процесса càdlàg в момент времени $t$ равен $X t - X t-$ и часто обозначается как $Δ X t$ . При таком обозначении $Δ(H \cdot X) = H Δ X$ . Частным следствием этого является то, что интегралы относительно непрерывного процесса сами всегда непрерывны.
Ассоциативность . Пусть $J$ , $K$ — предсказуемые процессы, а $K$ — $X$ -интегрируемое. Тогда $J$ является $K \cdot X$ -интегрируемым тогда и только тогда, когда $JK$ является $X$ -интегрируемым, и в этом случае $J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X$
Доминируемая сходимость . Предположим, что $H n \to H$ и $| H n | \leq J$ , где $J$ — $X$ -интегрируемый процесс. тогда $H n \cdot X \to H \cdot X$ . Сходимость по вероятности в каждый момент времени $t$ . Фактически, она сходится равномерно на компактных множествах по вероятности.
Стохастический интеграл коммутирует с операцией взятия квадратичных ковариаций. Если $X$ и $Y$ являются семимартингалами, то любой $X$ -интегрируемый процесс будет также $[X, Y]$ -интегрируемым, и $[H \cdot X, Y] = H \cdot [X, Y]$ . Следствием этого является то, что процесс квадратичной вариации стохастического интеграла равен интегралу процесса квадратичной вариации, $[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]$

Интеграция по частям

Как и в обычном исчислении, интегрирование по частям является важным результатом в стохастическом исчислении. Формула интегрирования по частям для интеграла Ито отличается от стандартного результата из-за включения члена квадратичной ковариации . Этот термин исходит из того факта, что исчисление Ито имеет дело с процессами с ненулевой квадратичной вариацией, что происходит только для процессов бесконечной вариации (таких как броуновское движение). Если $X$ и $Y$ являются семимартингалами, то где $[$ $X$ $,$ $Y$ $]$ — процесс квадратичной ковариации. $X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}$

Результат аналогичен теореме об интегрировании по частям для интеграла Римана–Стилтьеса, но имеет дополнительный квадратичный вариационный член.

Лемма Ито

Лемма Ито — это версия цепного правила или формулы замены переменных , которая применяется к интегралу Ито. Это одна из самых мощных и часто используемых теорем в стохастическом исчислении. Для непрерывного $n$ -мерного семимартингала $X = (X 1,..., X n)$ и дважды непрерывно дифференцируемой функции $f$ из $R n$ в $R$ она утверждает, что $f (X)$ является семимартингалом и, Это отличается от цепного правила, используемого в стандартном исчислении, из-за члена, включающего квадратичную ковариацию $[$ $X$ $i$ $,$ $X$ $j$ $]$ . Формулу можно обобщить, включив явную зависимость от времени в и другими способами (см. лемму Ито ). $df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.$ $f,$

Интеграторы Мартингейла

Местные мартингалы

Важным свойством интеграла Ито является то, что он сохраняет свойство локального мартингала . Если $M$ — локальный мартингал, а $H$ — локально ограниченный предсказуемый процесс, то $H \cdot M$ также является локальным мартингалом. Для интегрантов, которые не являются локально ограниченными, существуют примеры, когда $H \cdot M$ не является локальным мартингалом. Однако это может произойти только тогда, когда $M$ не является непрерывным. Если $M$ — непрерывный локальный мартингал, то предсказуемый процесс $H$ является $M$ -интегрируемым тогда и только тогда, когда для каждого $t$ , и $H$ $\cdot$ $M$ всегда является локальным мартингалом. $\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty ,$

Наиболее общее утверждение для разрывного локального мартингала $M$ состоит в том, что если $(H 2 \cdot [M]) 1/2$ локально интегрируемо , то $H \cdot M$ существует и является локальным мартингалом.

Квадратно-интегрируемые мартингалы

Для ограниченных интегрантов стохастический интеграл Ито сохраняет пространство квадратично интегрируемых мартингалов, которое является множеством càdlàg мартингалов $M,$ таких что $E[M t 2]$ конечно для всех $t$ . Для любого такого квадратично интегрируемого мартингала $M$ процесс квадратичной вариации $[M]$ интегрируем, и изометрия Ито утверждает, что Это равенство справедливо в более общем случае для любого мартингала $M,$ такого что $H$ $2$ $\cdot [$ $M$ $]$ $t$ интегрируемо. Изометрия Ито часто используется как важный шаг в построении стохастического интеграла, определяя $H$ $\cdot$ $M$ как уникальное расширение этой изометрии с определенного класса простых интегрантов на все ограниченные и предсказуемые процессы. $\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].$

п-Интегрируемые мартингалы

Для любого $p > 1$ и ограниченного предсказуемого интегранта стохастический интеграл сохраняет пространство $p$ -интегрируемых мартингалов. Это càdlàg мартингалы, такие что $E(| M t | p)$ конечно для всех $t$ . Однако это не всегда верно в случае, когда $p = 1$ . Существуют примеры интегралов ограниченных предсказуемых процессов относительно мартингалов, которые сами по себе не являются мартингалами.

Максимальный процесс càdlàg-процесса $M$ записывается как $M* t = sup s \leq t | M s |$ . Для любого $p \geq 1$ и ограниченного предсказуемого интегранта стохастический интеграл сохраняет пространство càdlàg-мартингалов $M,$ таких что $E[(M* t) p]$ конечно для всех $t$ . Если $p > 1$ , то это то же самое, что и пространство $p$ -интегрируемых мартингалов, по неравенствам Дуба .

Неравенства Беркхолдера –Дэвиса–Ганди утверждают, что для любого заданного $p \geq 1$ существуют положительные константы $c$ , $C$ , зависящие от $p$ , но не от $M$ или от $t ,$ такие, что для всех càdlàg локальных мартингалов $M$ . Они используются для того, чтобы показать, что если $($ $M*$ $t$ $)$ $p$ интегрируемо и $H$ является ограниченным предсказуемым процессом, то и, следовательно, $H$ $\cdot$ $M$ является $p$ -интегрируемым мартингалом. В более общем смысле, это утверждение верно, когда $($ $H$ $2$ $\cdot [$ $M$ $])$ $p$ $/2$ интегрируемо. $c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]$ $\mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty$

Существование интеграла

Доказательства того, что интеграл Ито хорошо определен, обычно начинаются с рассмотрения очень простых интегрантов, таких как кусочно-постоянные, непрерывные слева и адаптированные процессы, где интеграл может быть записан явно. Такие простые предсказуемые процессы являются линейными комбинациями членов вида $H t = A 1 {t > T}$ для моментов остановки $T$ и $F T$ -измеримых случайных величин $A$ , для которых интеграл равен Это распространяется на все простые предсказуемые процессы с помощью линейности $H$ $\cdot$ $X$ в $H$ . $H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).$

Для броуновского движения $B$ свойство, что оно имеет независимые приращения с нулевым средним и дисперсией $Var(B t) = t,$ может быть использовано для доказательства изометрии Ито для простых предсказуемых интегрантов. С помощью непрерывного линейного расширения интеграл единственным образом распространяется на все предсказуемые интегранты, удовлетворяющие таким образом, что изометрия Ито все еще сохраняется. Затем его можно распространить на все $B$ -интегрируемые процессы с помощью локализации . Этот метод позволяет определить интеграл относительно любого процесса Ито. $\mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].$ $\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,$

Для общего семимартингала $X$ можно использовать разложение $X = M + A$ на локальный мартингал $M$ плюс конечный вариационный процесс $A. Затем можно показать, что интеграл существует отдельно по отношению к$ $M$ и $A$ , и объединить их с помощью линейности, $H \cdot X = H \cdot M + H \cdot A$ , чтобы получить интеграл по отношению к X. Стандартный интеграл Лебега–Стилтьеса позволяет определить интегрирование по отношению к конечным вариационным процессам, поэтому существование интеграла Ито для семимартингалов будет следовать из любой конструкции для локальных мартингалов.

Для квадратно-интегрируемого мартингала càdlàg $M$ можно использовать обобщенную форму изометрии Ито. Во-первых, теорема о разложении Дуба–Майера используется для того, чтобы показать, что существует разложение $M 2 = N + ⟨ M ⟩$ , где $N$ — мартингал, а $⟨ M ⟩$ — непрерывный справа, возрастающий и предсказуемый процесс, начинающийся с нуля. Это однозначно определяет $⟨ M ⟩$ , который называется предсказуемой квадратичной вариацией M . Изометрия Ито для квадратно-интегрируемых мартингалов тогда имеет вид , что можно доказать непосредственно для простых предсказуемых интегрантов. Как и в случае выше для броуновского движения $,$ непрерывное линейное расширение можно использовать для однозначного расширения на все предсказуемые интегранты, удовлетворяющие $E$ $[$ $H$ $2$ $\cdot$ $⟨$ $M$ $⟩$ $t$ $] < \infty$ . Этот метод может быть распространен на все локальные квадратично интегрируемые мартингалы с помощью локализации. Наконец, разложение Дуба–Майера может быть использовано для разложения любого локального мартингала в сумму локального квадратично интегрируемого мартингала и конечного вариационного процесса, что позволяет построить интеграл Ито относительно любого семимартингала. $\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],$

Существует много других доказательств, которые применяют похожие методы, но которые избегают необходимости использовать теорему разложения Дуба–Майера, например, использование квадратичной вариации [ M ] в изометрии Ито, использование меры Долеана для субмартингалов или использование неравенств Беркхолдера–Дэвиса–Ганди вместо изометрии Ито. Последнее применяется непосредственно к локальным мартингалам без необходимости сначала иметь дело со случаем квадратично интегрируемого мартингала.

Альтернативные доказательства существуют только с использованием того факта, что $X$ является càdlàg, адаптированным, и множество { H · X _t : | H | ≤ 1 является простым предвидимым} ограничено по вероятности для каждого времени $t$ , что является альтернативным определением для $X$ как полумартингала. Непрерывное линейное расширение может быть использовано для построения интеграла для всех непрерывных слева и адаптированных интегрантов с правыми пределами везде (caglad или L-процессы). Это достаточно общее, чтобы можно было применять такие методы, как лемма Ито (Protter 2004). Кроме того, неравенство Хинчина может быть использовано для доказательства теоремы о доминируемой сходимости и расширения интеграла до общих предсказуемых интегрантов (Bichteler 2002).

Дифференциация в исчислении Ито

Исчисление Ито в первую очередь определяется как интегральное исчисление, как описано выше. Однако существуют также различные понятия «производной» относительно броуновского движения:

производное Маллиавена

Исчисление Маллявэна дает теорию дифференциации для случайных величин, определенных над пространством Винера , включая формулу интегрирования по частям (Nualart 2006).

Представление Мартингейла

Следующий результат позволяет выразить мартингалы как интегралы Ито: если $M$ является квадратично интегрируемым мартингалом на временном интервале $[0, T]$ относительно фильтрации, порожденной броуновским движением $B$ , то существует единственный адаптированный квадратично интегрируемый процесс на $[0,$ $T$ $]$ такой, что почти наверняка и для всех $t$ $\in$ $[0,$ $T$ $]$ (Rogers & Williams 2000, теорема 36.5). Эту теорему о представлении можно формально интерпретировать как утверждение, что α является «производной по времени» от $M$ относительно броуновского движения $B$ , поскольку α является именно тем процессом, который должен быть интегрирован до времени $t$ для получения $M$ $t$ $-$ $M$ $0$ , как в детерминированном исчислении. $\alpha$ $M_{t}=M_{0}+\int _{0}^{t}\alpha _{s}\,\mathrm {d} B_{s}$

Исчисление Ито для физиков

В физике обычно используются стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), такие как уравнения Ланжевена , а не стохастические интегралы. Здесь стохастическое дифференциальное уравнение Ито (СДУ) часто формулируется через , где — гауссовский белый шум с и используется соглашение Эйнштейна о суммировании . ${\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},$ $\xi _{j}$ $\langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})$

Если является функцией $x$ $k$ , то следует использовать лемму Ито : $y=y(x_{k})$ ${\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.$

SDE Ито, как указано выше, также соответствует SDE Стратоновича, которое имеет вид ${\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.$

SDE часто встречаются в физике в форме Стратоновича, как пределы стохастических дифференциальных уравнений, вызванные цветным шумом , если время корреляции шумового члена приближается к нулю. Для недавнего рассмотрения различных интерпретаций стохастических дифференциальных уравнений см., например, (Lau & Lubensky 2007).

Смотрите также

Ссылки

Бихтелер, Клаус (2002), Стохастическая интеграция со скачками (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81129-5
Коэн, Сэмюэл; Эллиотт, Роберт (2015), Стохастическое исчисление и его применение (2-е изд.), Биркхаузер, ISBN 978-1-4939-2867-5
Хаген Кляйнерт (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4-е издание, World Scientific (Сингапур); Мягкая обложка ISBN 981-238-107-4 . Пятое издание доступно онлайн: PDF-файлы с обобщениями леммы Ито для негауссовых процессов.
Хэ, Шэн-у; Ван, Цзя-ган; Янь, Цзя-ан (1992), Теория полумартингала и стохастическое исчисление , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 978-0849377150
Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен (1991), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-97655-8
Lau, Andy; Lubensky, Tom (2007), "Диффузия, зависящая от состояния", Phys. Rev. E , 76 (1): 011123, arXiv : 0707.2234 , Bibcode : 2007PhRvE..76a1123L, doi : 10.1103/PhysRevE.76.011123, PMID 17677426
Нуаларт, Дэвид (2006), Исчисление Маллиавэна и смежные темы , Springer, ISBN 3-540-28328-5
Øksendal, Bernt K. (2003), Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями , Берлин: Springer, ISBN 3-540-04758-1
Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1999), Непрерывные мартингалы и броуновское движение , Берлин: Springer, ISBN 3-540-57622-3
Роджерс, Крис; Уильямс, Дэвид (2000), Диффузии, марковские процессы и мартингалы - Том 2: Исчисление Ито , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-77593-0
Математическое финансовое программирование на языке TI-Basic, реализующем исчисление Ито для калькуляторов TI.