Ограниченная вариация

Действительная функция с конечной полной вариацией

В математическом анализе функция ограниченной вариации , также известная как функция BV , является действительной функцией , полная вариация которой ограничена (конечна): график функции, обладающей этим свойством, хорошо себя ведет в точном смысле. Для непрерывной функции одной переменной ограниченная вариация означает, что расстояние вдоль направления оси y , пренебрегая вкладом движения вдоль оси x , пройденное точкой , движущейся вдоль графика, имеет конечное значение. Для непрерывной функции нескольких переменных смысл определения тот же, за исключением того факта, что рассматриваемый непрерывный путь не может быть всем графиком данной функции (который в данном случае является гиперповерхностью ) , но может быть каждым пересечением самого графика с гиперплоскостью (в случае функций двух переменных — плоскостью ), параллельной фиксированной оси x и оси y .

Функции ограниченной вариации — это как раз те, относительно которых можно найти интегралы Римана–Стилтьеса всех непрерывных функций.

Другая характеристика утверждает, что функции ограниченной вариации на компактном интервале — это в точности те f , которые можно записать в виде разности g  −  h , где и g, и h ограниченно монотонны . В частности, функция BV может иметь разрывы, но не более счетного числа.

В случае нескольких переменных говорят, что функция f, определенная на открытом подмножестве Ω , имеет ограниченную вариацию, если ее распределительная производная является векторнозначной конечной мерой Радона . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Одним из важнейших аспектов функций ограниченной вариации является то, что они образуют алгебру разрывных функций , первая производная которых существует почти всюду : благодаря этому факту они могут и часто используются для определения обобщенных решений нелинейных задач, включающих функционалы , обыкновенные и частные дифференциальные уравнения в математике , физике и технике .

Имеем следующие цепочки включений для непрерывных функций на замкнутом ограниченном интервале действительной прямой:

Непрерывно дифференцируемый ⊆ Липшицев ⊆ абсолютно непрерывный ⊆ непрерывный и имеющий ограниченную вариацию ⊆ дифференцируемый почти всюду

История

Согласно Борису Голубову, BV-функции одной переменной были впервые введены Камиллом Жорданом в статье (Jordan 1881), посвященной сходимости рядов Фурье . Первый успешный шаг в обобщении этой концепции на функции многих переменных был сделан Леонидой Тонелли ^[1] , которая ввела класс непрерывных BV-функций в 1926 году (Cesari 1986, стр. 47–48), чтобы расширить свой прямой метод поиска решений задач вариационного исчисления более чем одной переменной. Десять лет спустя, в (Cesari 1936), Ламберто Чезари изменил требование непрерывности в определении Тонелли на менее ограничительное требование интегрируемости , впервые получив класс функций ограниченной вариации многих переменных в его полной общности: как и Жордан до него, он применил эту концепцию для решения проблемы, касающейся сходимости рядов Фурье, но для функций двух переменных . После него несколько авторов применяли BV-функции для изучения рядов Фурье по нескольким переменным, геометрической теории меры , вариационного исчисления и математической физики . Ренато Каччиопполи и Эннио Де Джорджи использовали их для определения меры негладких границ множеств ( см. статью « Множество Каччиопполи » для получения дополнительной информации). Ольга Арсеньевна Олейник представила свой взгляд на обобщенные решения для нелинейных уравнений в частных производных как на функции из пространства BV в статье (Олейник 1957) и смогла построить обобщенное решение ограниченной вариации уравнения в частных производных первого порядка в статье (Олейник 1959): несколько лет спустя Эдвард Д. Конвей и Джоэл А. Смоллер применили BV-функции к изучению одного нелинейного гиперболического уравнения в частных производных первого порядка в статье (Конвей и Смоллер 1966), доказав, что решение задачи Коши для таких уравнений является функцией ограниченной вариации, при условии, что начальное значение принадлежит тому же классу. Айзик Исаакович ВольпертШироко развил исчисление для BV-функций: в статье (Вольперт 1967) он доказал цепное правило для BV-функций, а в книге (Худжаев и Вольперт 1985) он совместно со своим учеником Сергеем Ивановичем Худжаевым подробно исследовал свойства BV-функций и их применение. Его формула цепного правила была позднее расширена Луиджи Амброзио и Джанни Даль Мазо в статье (Амброзио и Даль Мазо 1990).

Формальное определение

BV-функции одной переменной

Определение 1.1. Полная вариация действительной (или, в более общем случае, комплексной) функции f , определенной на интервале, есть величина ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,}$

где супремум берется по множеству всех разбиений рассматриваемого интервала. ${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]{\text{ satisfying }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ for }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$

Если f дифференцируема и ее производная интегрируема по Риману, то ее полная вариация равна вертикальной составляющей длины дуги ее графика, то есть,

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.}$

Определение 1.2. Действительная функция на действительной прямой называется функцией ограниченной вариации ( функция BV ) на выбранном интервале , если ее полная вариация конечна, т.е. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} ([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty }$

Можно доказать, что действительная функция имеет ограниченную вариацию в тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде разности двух неубывающих функций и в : этот результат известен как разложение Жордана функции и связан с разложением Жордана меры . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f=f_{1}-f_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Через интеграл Стилтьеса любая функция ограниченной вариации на замкнутом интервале определяет ограниченный линейный функционал на . В этом особом случае ^[2] теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани утверждает, что каждый ограниченный линейный функционал возникает единственным образом. Нормализованные положительные функционалы или вероятностные меры соответствуют положительным неубывающим полунепрерывным снизу функциям . Эта точка зрения была важна в спектральной теории , ^[3] в частности, в ее применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C([a,b])}$

BV-функции нескольких переменных

Функции ограниченной вариации, BV- функции , — это функции, производная распределения которых является конечной ^[4] мерой Радона . Точнее:

Определение 2.1. Пусть — открытое подмножество . Говорят, что функция, принадлежащая , имеет ограниченную вариацию ( функция BV ) и записывается ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

если существует конечная векторная мера Радона такая, что выполняется следующее равенство ${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

то есть определяет линейный функционал на пространстве непрерывно дифференцируемых векторных функций с компактным носителем, содержащихся в : векторная мера представляет собой, таким образом , распределительный или слабый градиент . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle Du}$ ${\displaystyle u}$

BV можно эквивалентно определить следующим образом.

Определение 2.2. Если задана функция, принадлежащая , то полная вариация ^[5] в определяется как ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

где — существенная супремум- норма . Иногда, особенно в теории множеств Каччиопполи , используются следующие обозначения ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert Du\vert =V(u,\Omega )}$

для того, чтобы подчеркнуть, что есть полная вариация распределительного / слабого градиента . Это обозначение также напоминает, что если является функцией класса (т.е. непрерывной и дифференцируемой функцией, имеющей непрерывные производные ), то ее вариация есть в точности интеграл абсолютного значения ее градиента . ${\displaystyle V(u,\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Пространство функций ограниченной вариации ( функций BV ) можно тогда определить как

${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}}$

Эти два определения эквивалентны, поскольку если то ${\displaystyle V(u,\Omega )<+\infty }$

${\displaystyle \left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq V(u,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

поэтому определяет непрерывный линейный функционал на пространстве . Поскольку как линейное подпространство , этот непрерывный линейный функционал может быть продолжен непрерывно и линейно на целое по теореме Хана–Банаха . Следовательно, непрерывный линейный функционал определяет меру Радона по теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани . ${\textstyle \displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

Локально функции BV

Если в предыдущих определениях 1.2 , 2.1 и 2.2 вместо пространства глобально интегрируемых функций рассматривается функциональное пространство локально интегрируемых функций , т.е. функций, принадлежащих , то определяемое функциональное пространство является пространством функций локально ограниченной вариации . Точнее, развивая эту идею для определения 2.2 , локальная вариация определяется следующим образом: ${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle V(u,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

для каждого множества , определив как множество всех предкомпактных открытых подмножеств относительно стандартной топологии конечномерных векторных пространств , и соответственно класс функций локально ограниченной вариации определяется как ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \operatorname {BV} _{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\colon \,(\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega ))\,V(u,U)<+\infty \}}$

Обозначение

Существуют два основных различных соглашения для обозначения пространств функций локально или глобально ограниченной вариации, и, к сожалению, они довольно похожи: первое, которое принято в этой статье, используется, например, в работах Giusti (1984) (частично), Hudjaev & Vol'pert (1985) (частично), Giaquinta, Modica & Souček (1998) и является следующим:

• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$определяет пространство функций глобально ограниченной вариации
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } _{\text{loc}}(\Omega )}$определяет пространство функций локально ограниченной вариации

Вторая, принятая в работах Вольперта (1967) и Мазьи (1985) (частично), следующая:

• ${\displaystyle {\overline {\operatorname {\operatorname {BV} } }}(\Omega )}$определяет пространство функций глобально ограниченной вариации
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$определяет пространство функций локально ограниченной вариации

Основные свойства

В дальнейшем будут рассматриваться только свойства, общие для функций одной переменной и для функций нескольких переменных, и доказательства будут проводиться только для функций нескольких переменных, поскольку доказательство для случая одной переменной является простой адаптацией случая нескольких переменных: также в каждом разделе будет указано, является ли свойство общим также для функций локально ограниченной вариации или нет. Широко используются ссылки (Giusti 1984, стр. 7–9), (Hudjaev & Vol'pert 1985) и (Màlek et al. 1996).

Функции BV имеют только скачкообразные или устранимые разрывы

В случае одной переменной утверждение очевидно: для каждой точки интервала определения функции справедливо одно из следующих двух утверждений : ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

в то время как оба предела существуют и конечны. В случае функций многих переменных необходимо понять некоторые предпосылки: прежде всего, существует континуум направлений , вдоль которых можно приблизиться к заданной точке, принадлежащей области ⊂ . Необходимо уточнить подходящее понятие предела : выбрав единичный вектор, можно разделить на два множества ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {a}}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}}$

Тогда для каждой точки, принадлежащей области определения функции BV , верно только одно из следующих двух утверждений: ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=\!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})\neq \!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

или принадлежит подмножеству , имеющему нулевую меру Хаусдорфа . Величины ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$

называются приближенными пределами функции BV в точке . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x_{0}}$

В(⋅, Ω) полунепрерывна снизу наЛ1(Ом)

Функционал полунепрерывен снизу : чтобы увидеть это, выберем последовательность Коши BV-функций, сходящуюся к . Тогда, поскольку все функции последовательности и их предельная функция интегрируемы и по определению нижнего предела ${\displaystyle V(\cdot ,\Omega ):\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )&\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\end{aligned}}}$

Теперь рассмотрим супремум на множестве функций таких, что тогда справедливо следующее неравенство ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq V(u,\Omega )}$

что в точности соответствует определению нижней полунепрерывности .

BV(Ω) — банахово пространство

По определению является подмножеством , в то время как линейность следует из свойств линейности определяющего интеграла , т.е. ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }[u(x)+v(x)]\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }v(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=\\&=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle -\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Dv(x)\rangle =-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),[Du(x)+Dv(x)]\rangle \end{aligned}}}$

для всех, следовательно, для всех , и ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle u+v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle u,v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle }$

для всех , следовательно, для всех и всех . Доказанные свойства векторного пространства подразумевают, что является векторным подпространством . Рассмотрим теперь функцию, определенную как ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle cu\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \|\;\|_{\operatorname {BV} }:\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BV} }:=\|u\|_{L^{1}}+V(u,\Omega )}$

где — обычная норма : легко доказать, что это норма на . Чтобы увидеть, что является полной относительно нее, т.е. это банахово пространство , рассмотрим последовательность Коши в . По определению она также является последовательностью Коши в и, следовательно, имеет предел в : поскольку ограничена в для каждого , то по полунепрерывности снизу вариации , следовательно, является функцией BV. Наконец, снова по полунепрерывности снизу, выбрав произвольное малое положительное число ${\displaystyle \|\;\|_{L^{1}}}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Vert u\Vert _{\operatorname {BV} }<+\infty }$ ${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{\operatorname {BV} }<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon }$

Из этого мы делаем вывод, что это непрерывно, поскольку это норма. ${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$

BV(Ω) не является разделимым

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть следующий пример, принадлежащий пространству : ^[6] для каждого 0 <  α  < 1 определим ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$

${\displaystyle \chi _{\alpha }=\chi _{[\alpha ,1]}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\notin \;[\alpha ,1]\\1&{\mbox{if }}x\in [\alpha ,1]\end{cases}}}$

как характеристическая функция левого замкнутого интервала . Затем, выбрав так, чтобы выполнялось следующее соотношение: ${\displaystyle [\alpha ,1]}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,1]}$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

${\displaystyle \Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{\operatorname {BV} }=2}$

Теперь, чтобы доказать, что каждое плотное подмножество не может быть счетным , достаточно увидеть, что для каждого можно построить шары ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (]0,1[)}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle B_{\alpha }=\left\{\psi \in \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1]);\Vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{\operatorname {BV} }\leq 1\right\}}$

Очевидно, что эти шары попарно не пересекаются , а также являются индексированным семейством множеств , множество индексов которых равно . Это подразумевает, что это семейство имеет мощность континуума : теперь, поскольку каждое плотное подмножество должно иметь по крайней мере одну точку внутри каждого члена этого семейства, его мощность по крайней мере равна мощности континуума и, следовательно, не может быть счетным подмножеством. ^[7] Этот пример, очевидно, можно распространить на более высокие измерения, и поскольку он включает только локальные свойства , он подразумевает, что то же свойство верно и для . ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$ ${\displaystyle \operatorname {BV} _{loc}}$

Правило цепочки для локально BV(Ω) функций

Цепные правила для негладких функций очень важны в математике и математической физике , поскольку существует несколько важных физических моделей , поведение которых описывается функциями или функционалами с очень ограниченной степенью гладкости . Следующее цепное правило доказано в статье (Вольперт 1967, с. 248). Обратите внимание, что все частные производные должны интерпретироваться в обобщенном смысле, т. е. как обобщенные производные .

Теорема . Пусть будет функцией класса (т.е. непрерывной и дифференцируемой функцией, имеющей непрерывные производные ) и пусть будет функцией из , причем будет открытым подмножеством . Тогда и ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))}$ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))\in \operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )}$

${\displaystyle {\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n}$

где — среднее значение функции в точке , определяемое как ${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$

${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)\,dt}$

Более общая формула цепного правила для непрерывных функций Липшица была найдена Луиджи Амброзио и Джанни Даль Мазо и опубликована в статье (Ambrosio & Dal Maso 1990). Однако даже эта формула имеет очень важные прямые следствия: мы используем вместо , где также является функцией. Мы должны также предположить, что локально интегрируемо относительно меры для каждого , и что локально интегрируемо относительно меры для каждого . Затем, выбрав , предыдущая формула дает правило Лейбница для функций 'BV' ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{s}}$ ${\displaystyle (u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle v({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle BV_{loc}}$ ${\displaystyle {\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f((u,v))=uv}$

${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$

Обобщения и расширения

Взвешенные функции BV

Можно обобщить вышеприведенное понятие полной вариации так, чтобы различные вариации весились по-разному. Точнее, пусть будет любой возрастающей функцией такой, что ( весовая функция ) и пусть будет функцией из интервала принимающей значения в нормированном векторном пространстве . Тогда -вариация над определяется как ${\displaystyle \varphi :[0,+\infty )\longrightarrow [0,+\infty )}$ ${\displaystyle \varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0}$ ${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow X}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle \subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,T]}$

${\displaystyle \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(|f(t_{j+1})-f(t_{j})|_{X}\right),}$

где, как обычно, супремум берется по всем конечным разбиениям интервала , т.е. всем конечным множествам действительных чисел таким , что ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.}$

Исходное понятие вариации, рассмотренное выше, является частным случаем θ-вариации, для которой весовая функция является функцией тождества : поэтому интегрируемая функция называется взвешенной BV-функцией (веса θ ), если и только если ее θ-вариация конечна. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f)<+\infty }$

Пространство является топологическим векторным пространством относительно нормы ${\displaystyle \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)}$

${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} _{\varphi }}:=\|f\|_{\infty }+\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f),}$

где обозначает обычную супремум-норму . Взвешенные функции BV были введены и изучены в полном объеме Владиславом Орличем и Джулианом Мусиелаком в статье Musielak & Orlicz 1959: Лоренс Чисхолм Янг ранее изучал случай, когда — положительное целое число. ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi (x)=x^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Функции СБВ

Функции SBV , т.е. специальные функции ограниченной вариации, были введены Луиджи Амброзио и Эннио Де Джорджи в статье (Ambrosio & De Giorgi 1988), посвященной вариационным задачам со свободной разрывностью : если задано открытое подмножество , то пространство является собственным линейным подпространством , поскольку слабый градиент каждой функции , принадлежащей ему, состоит в точности из суммы -мерного носителя и -мерной меры носителя и не содержит промежуточных размерных членов , как видно из следующего определения . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {SBV} (\Omega )}$ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

Определение . Если задана локально интегрируемая функция , то тогда и только тогда, когда ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in \operatorname {SBV} (\Omega )}$

1. Существуют две функции Бореля и области определения и области определения такие, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\infty .}$

2. Для всех непрерывно дифференцируемых векторных функций компактного носителя, содержащихся в , т.е. для всех , справедлива следующая формула: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle \,dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle \,dH^{n-1}.}$

где - мера Хаусдорфа . ​ ${\displaystyle H^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Подробную информацию о свойствах функций SBV можно найти в работах, цитируемых в разделе библиографии: в частности, полезная библиография содержится в статье (De Giorgi 1992) .

Последовательности BV

В качестве частных примеров банаховых пространств Данфорд и Шварц (1958, Глава IV) рассматривают пространства последовательностей ограниченной вариации , в дополнение к пространствам функций ограниченной вариации. Полная вариация последовательности x =  ( x _i ) действительных или комплексных чисел определяется как

${\displaystyle \operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Пространство всех последовательностей конечной полной вариации обозначается как BV. Норма на BV задается как

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} }=|x_{1}|+\operatorname {TV} (x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

При этой норме пространство BV является банаховым пространством, изоморфным . ${\displaystyle \ell _{1}}$

Полная вариация сама по себе определяет норму на определенном подпространстве BV, обозначаемом BV ₀ , состоящем из последовательностей x = ( x _i ), для которых

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=0.}$

Норма на BV ₀ обозначается

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} _{0}}=\operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Относительно этой нормы BV ₀ также становится банаховым пространством, которому он изоморфен и изометричен (хотя и не естественным образом). ${\displaystyle \ell _{1}}$

Меры ограниченной вариации

Говорят, что знаковая ( или комплексная ) мера на измеримом пространстве имеет ограниченную вариацию, если ее полная вариация ограничена: см. Халмош (1950, стр. 123), Колмогоров и Фомин (1969, стр. 346) или статью « Полная вариация » для получения дополнительных сведений. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Vert \mu \Vert =|\mu |(X)}$

Примеры

Функция f ( x ) = sin(1/ x ) не имеет ограниченной вариации на интервале . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Как упоминалось во введении, два больших класса примеров функций BV — это монотонные функции и абсолютно непрерывные функции. Для отрицательного примера: функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

не имеет ограниченной вариации на интервале ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Функция f ( x ) =  x  sin(1/ x ) не имеет ограниченной вариации на интервале . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Хотя это и сложнее увидеть, непрерывная функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

также не имеет ограниченной вариации на интервале . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Функция f ( x ) =  x ²  sin(1/ x ) имеет ограниченную вариацию на интервале . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

В то же время функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

имеет ограниченную вариацию на интервале . Однако все три функции имеют ограниченную вариацию на каждом интервале с . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a>0}$

Всякая монотонная ограниченная функция имеет ограниченную вариацию. Для такой функции на интервале и любого разбиения этого интервала можно увидеть, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P=\{x_{0},\ldots ,x_{n_{P}}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|=|f(b)-f(a)|}$

из того, что сумма слева телескопическая . Из этого следует, что для таких , ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)|.}$

В частности, монотонная функция Кантора является хорошо известным примером функции ограниченной вариации, которая не является абсолютно непрерывной . ^[8]

Пространство Соболева является собственным подмножеством . Фактически, для каждого в можно выбрать меру (где — мера Лебега на ) такую, что выполняется равенство ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \mu :=\nabla u{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int u\operatorname {div} \phi =-\int \phi \,d\mu =-\int \phi \,\nabla u\qquad \forall \phi \in C_{c}^{1}}$

справедливо, поскольку это не более чем определение слабой производной , и, следовательно, справедливо. Можно легко найти пример функции BV, которая не является : в размерности один подойдет любая ступенчатая функция с нетривиальным скачком. ${\displaystyle W^{1,1}}$

Приложения

Математика

Функции ограниченной вариации изучались в связи с множеством разрывов функций и дифференцируемостью действительных функций, и следующие результаты хорошо известны. Если — действительная функция ограниченной вариации на интервале , то ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

• ${\displaystyle f}$непрерывен , за исключением, самое большее, счётного множества ;
• ${\displaystyle f}$имеет односторонние пределы всюду (пределы слева всюду в , и справа всюду в  ; ${\displaystyle (a,b]}$ ${\displaystyle [a,b)}$
• производная существует почти всюду (т.е. за исключением множества меры нуль ). ${\displaystyle f'(x)}$

Для действительных функций нескольких действительных переменных

• Характеристической функцией множества Каччиопполи является функция BV: функции BV лежат в основе современной теории периметров.
• Минимальные поверхности являются графиками функций BV: в этом контексте см. ссылку (Giusti 1984).

Физика и техника

Способность функций BV иметь дело с разрывами сделала их использование широко распространенным в прикладных науках: решения задач механики, физики, химической кинетики очень часто представляются функциями ограниченной вариации. В книге (Худжаев и Вольперт 1985) подробно излагается очень обширный набор приложений функций BV в математической физике. Также есть некоторые современные приложения, которые заслуживают краткого описания.

• Функционал Мамфорда –Шаха : задача сегментации двумерного изображения, т. е. задача точного воспроизведения контуров и оттенков серого, эквивалентна минимизации такого функционала .
• Полное шумоподавление вариации

Смотрите также

• Ренато Каччиопполи
• набор Каччиопполи
• Ламберто Чезари
• Эннио Де Джорджи
• Теорема выбора Хелли
• Локально интегрируемая функция
• L ^p (Ω) пространство
• Интеграл Лебега–Стилтьеса
• Радоновая мера
• Сокращенная производная
• Интеграл Римана–Стилтьеса
• Общая вариация
• Квадратичная вариация
• p-вариация
• Айзик Исаакович Вольперт
• Полное шумоподавление вариации
• Общее изменение уменьшается

Примечания

1. Тонелли ввел то, что теперь называется в его честь вариацией плоскости Тонелли : для анализа этой концепции и ее связей с другими обобщениями см. статью « Полная вариация ».
2. См., например, Колмогоров и Фомин (1969, стр. 374–376).
3. Общие сведения по этой теме см. в Riesz & Szőkefalvi-Nagy (1990).
4. В этом контексте «конечный» означает, что его значение никогда не бывает бесконечным , т.е. это конечная мера .
5. Более подробную информацию см. в разделе « Общее изменение ».
6. Пример взят из Giaquinta, Modica & Souček (1998, стр. 331): см. также (Kannan & Krueger 1996, пример 9.4.1, стр. 237).
7. Тот же аргумент используют Колмогоров и Фомин (1969, пример 7, стр. 48–49), чтобы доказать неразделимость пространства ограниченных последовательностей , а также Каннан и Крюгер (1996, пример 9.4.1, стр. 237).
8. «Действительный анализ. Непрерывное и ограниченное изменение не подразумевает абсолютной непрерывности».

Ссылки

Научно-исследовательские работы

• Амброзио, Луиджи ; Фуско, Никола ; Паллара, Диего (2000), Функции ограниченной вариации и проблемы свободного разрыва , Oxford Mathematical Monographs, Оксфорд: The Clarendon Press / Oxford University Press, стр. xviii+434, ISBN 978-0-19-850245-6, MR  1857292, Zbl  0957.49001.
• Брудный, Юрий (2007), "Многомерные функции ограниченной (k, p)–вариации", в Рандрианантоанина, Беата; Рандрианантоанина, Нарцисс (ред.), Банаховы пространства и их применение в анализе. Труды международной конференции, Университет Майами, Оксфорд, Огайо, США, 22--27 мая 2006 г. В честь 60-летия Найджела Калтона , Берлин–Бостон: Вальтер Де Грюйтер, стр. 37–58, doi :10.1515/9783110918298.37, ISBN 978-3-11-019449-4, MR  2374699, Zbl  1138.46019
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы. Часть I: Общая теория , Чистая и прикладная математика, т. VII, Нью-Йорк–Лондон–Сидней: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3, ЗБЛ  0084.10402. Включает обсуждение функционально-аналитических свойств пространств функций ограниченной вариации.
• Джаквинта, Мариано ; Модика, Джузеппе; Соучек, Иржи (1998), Декартовы течения в вариационном исчислении I, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике, том. 37, Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN 3-540-64009-6, ЗБЛ  0914.49001.
• Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченных вариаций, Монографии по математике, т. 80, Базель–Бостон–Штутгарт: Birkhäuser Verlag, стр. XII+240, ISBN 978-0-8176-3153-6, MR  0775682, Zbl  0545.49018, в частности часть I, глава 1 " Функции ограниченной вариации и множества Каччиопполи ". Хороший справочник по теории множеств Каччиопполи и их применению к задаче о минимальной поверхности .
• Халмос, Пол (1950), Теория меры, Ван Ностранд и компания, ISBN 978-0-387-90088-9, ЗБЛ  0040.16802. Ссылка ведет на предварительный просмотр более позднего переиздания Springer-Verlag.
• Худжаев Сергей Иванович; Вольперт, Айзик Исаакович (1985), Анализ в классах разрывных функций и уравнениях математической физики, Механика: анализ, вып. 8, Дордрехт – Бостон – Ланкастер: Издательство Martinus Nijhoff Publishers, ISBN 90-247-3109-7, MR  0785938, Zbl  0564.46025Вся книга посвящена теории BV -функций и их приложениям к задачам математической физики, связанным с разрывными функциями и геометрическими объектами с негладкими границами .
• Каннан, Рангачари; Крюгер, Кэрол Кинг (1996), Расширенный анализ на действительной прямой , Universitext, Берлин–Гейдельберг–Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. x+259, ISBN 978-0-387-94642-9, MR  1390758, Zbl  0855.26001. Возможно, наиболее полный справочник по теории функций BV с одной переменной: классические результаты и продвинутые результаты собраны в главе 6 " Ограниченная вариация " вместе с несколькими упражнениями. Первый автор был соавтором Ламберто Чезари .
• Колмогоров Андрей Н .; Фомин, Сергей В. (1969), Вводный реальный анализ, Нью-Йорк: Dover Publications, стр. xii + 403, ISBN 0-486-61226-0, MR  0377445, Zbl  0213.07305.
• Леони, Джованни (2017), Первый курс по пространствам Соболева , Graduate Studies in Mathematics (Второе издание), Американское математическое общество, стр. xxii+734, ISBN 978-1-4704-2921-8.
• Малек, Йозеф; Нечас, Йиндржих; Рокита, Мирко; Ружичка, Майкл (1996), Слабые и мерозначные решения эволюционных уравнений в частных производных, Прикладная математика и математические вычисления, т. 13, Лондон–Вайнхайм–Нью-Йорк–Токио–Мельбурн–Мадрас: Chapman & Hall CRC Press, стр. xi+331, ISBN 0-412-57750-X, MR  1409366, Zbl  0851.35002. Одна из наиболее полных монографий по теории мер Юнга , строго ориентированная на приложения в механике сплошных сред жидкостей.
• Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-13589-8, ЗБЛ  0692.46023; в частности, глава 6 "О функциях в пространстве BV(Ω) ". Одна из лучших монографий по теории пространств Соболева .
• Moreau, Jean Jacques (1988), «Ограниченная вариация во времени», в Moreau, JJ; Panagiotopoulos, PD; Strang, G. (ред.), Topics in nonsmooth mechanics , Базель–Бостон–Штутгарт: Birkhäuser Verlag, стр. 1–74, ISBN 3-7643-1907-0, ЗБЛ  0657.28008
• Мусилак, Джулиан; Орлич, Владислав (1959), «Об обобщенных вариациях (I)» (PDF) , Studia Mathematica , 18 , Варшава – Вроцлав: 13–41, doi : 10.4064/sm-18-1-11-41, Zbl  0088.26901В этой статье Мусиелак и Орлич развили концепцию взвешенных функций BV , введенную Лоуренсом Чисхолмом Янгом, до ее полной общности.
• Рисс, Фридьес ; Секефальви-Надь, Бела (1990), Функциональный анализ, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66289-6, ЗБЛ  0732.47001
• Вольперт, Айзик Исаакович (1967), "Пространства БВ и квазилинейные уравнения", Математический сборник , (НС), 73 (115) (2): 255–302, МР  0216338, Збл  0168.07402. Основополагающая статья, в которой тщательно изучаются множества Каччиопполи и функции BV , а также вводится и применяется к теории уравнений с частными производными понятие функциональной суперпозиции : она также была переведена на английский язык как Vol'Pert, AI (1967), "Пространства BV и квазилинейные уравнения", Математика СССР-Сборник , 2 (2): 225–267, Bibcode :1967SbMat...2..225V, doi :10.1070/SM1967v002n02ABEH002340, hdl : 10338.dmlcz/102500 , MR  0216338, Zbl  0168.07402.

Исторические справки

• Адамс, К. Рэймонд ; Кларксон, Джеймс А. (1933), «Об определениях ограниченной вариации для функций двух переменных», Труды Американского математического общества , 35 (4): 824–854, doi : 10.1090/S0002-9947-1933-1501718-2 , MR  1501718, Zbl  0008.00602.
• Альберти, Джованни; Мантегацца, Карло (1997), «Заметки по теории функций SBV», Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , IV Serie, 11 (2): 375–382, MR  1459286, Zbl  0877.49001В данной работе авторы доказывают компактность пространства функций SBV.
• Амброзио, Луиджи ; Даль Мазо, Джанни (1990), "Общее цепное правило для распределительных производных", Труды Американского математического общества , 108 (3): 691, doi : 10.1090/S0002-9939-1990-0969514-3 , MR  0969514, Zbl  0685.49027. Статья, содержащая очень общую формулу цепного правила для композиции функций BV.
• Амбросио, Луиджи ; Де Джорджи, Эннио (1988), «Un nuovo typo di funzionale del Calcolo delle variazioni» [Новый вид функционала в вариационном исчислении], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , VIII (на итальянском языке), LXXXII (2): 199–210, MR  1152641, Zbl  0715.49014.. Первая статья о функциях SBV и связанных с ними вариационных задачах.
• Чезари, Ламберто (1936), «Sulle funzioni a variazione limitata», Annali della Scuola Normale Superiore , Serie II (на итальянском языке), 5 (3–4): 299–313, MR  1556778, Zbl  0014.29605. Доступно на Numdam. В статье " О функциях ограниченной вариации " (перевод названия на английский язык) Чезари расширяет ныне называемую Тонелли концепцию вариации плоскости , включив в определение подкласс класса интегрируемых функций.
• Чезари, Ламберто (1986), «Опера Леониды Тонелли и ее грипп nel pensiero Scientifico del secolo», в Монталенти, Дж.; Америо, Л .; Аккуаро, Г.; Байада, Э.; и др. (ред.), Convegno celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 дней 1985 г.), Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), vol. 77, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 41–73, заархивировано из оригинала 23 февраля 2011 г.. « Труды Леонида Тонелли и его влияние на научное мышление в этом столетии » (перевод названия на английский язык) — обширная памятная статья, в которой приводятся воспоминания автора об учителях и коллегах, а также подробный обзор его и их научных работ, представленный на Международном конгрессе по случаю празднования столетия со дня рождения Мауро Пиконе и Леониды Тонелли (состоявшемся в Риме 6–9 мая 1985 г.).
• Conway, Edward D.; Smoller, Joel A. (1966), "Глобальные решения задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка с несколькими пространственными переменными", Communications on Pure and Applied Mathematics , 19 (1): 95–105, doi :10.1002/cpa.3160190107, MR  0192161, Zbl  0138.34701Важная работа, в которой свойства функций BV были применены для получения глобальной во времени теоремы существования для отдельных гиперболических уравнений первого порядка с любым числом переменных .
• Де Джорджи, Эннио (1992), «Проблемы вариаций с прекращением свободы», в Амальди, Э .; Америо, Л .; Фичера, Г .; Грегори, Т.; Гриоли, Г.; Мартинелли, Э .; Монталенти, Г.; Пиньедоли, А.; Сальвини, Джорджо ; Скорца Драгони, Джузеппе (ред.), Convegno internazionale in memoria di Vito Volterra (8–11 октября 1990 г.), Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), vol. 92, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 39–76, ISSN  0391-805X, MR  1783032, Zbl  1039.49507, заархивировано из оригинала 7 января 2017 г.Обзорная статья по вариационным задачам со свободными разрывами , включающая ряд подробностей по теории функций SBV , их приложений и богатую библиографию.
• Фалескини, Бруно (1956a), «Все определения и свойства функций, ограниченные вариациями из-за переменных. Примечание I». [Об определениях и свойствах функций ограниченной вариации двух переменных. Примечание I], Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie III (на итальянском языке), 11 (1): 80–92, MR  0080169, Zbl  0071.27901 .. Первая часть обзора множества различных определений « полной вариации » и связанных с ней функций ограниченной вариации.
• Фалескини, Бруно (1956b), «Все определения и свойства функций, ограниченные вариациями из-за переменных. Примечание II». [Об определениях и свойствах функций ограниченной вариации двух переменных. Примечание I], Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie III (на итальянском языке), 11 (2): 260–75, MR  0080169, Zbl  0073.04501 .. Вторая часть обзора множества различных определений « полной вариации » и связанных с ней функций ограниченной вариации.
• Джордан, Камилла (1881), «Sur la série de Fourier» [О серии Фурье], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , 92 : 228–230(в Галлике ). По словам Бориса Голубова, это первая работа о функциях ограниченной вариации.
• Олейник, Ольга Александровна (1957), "Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений", Успехи математических наук , 12 (3(75)): 3–73, Збл  0080.07701( (на русском языке) ). Важная статья, в которой автор описывает обобщенные решения нелинейных уравнений в частных производных как функции BV .
• Олейник, Ольга А. (1959), "Построение обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения "исчезающей вязкости"", Успехи математических наук , 14 (2(86)): 159–164, Збл  0096.06603( (на русском языке) ). Важная работа, в которой автор строит слабое решение в BV для нелинейного уравнения в частных производных методом исчезающей вязкости.
• Тони Ф. Чан и Цзяньхун (Джеки) Шен (2005), Обработка и анализ изображений — вариационные, дифференциальные уравнения в частных производных, вейвлет- и стохастические методы, издательство SIAM, ISBN 0-89871-589-X (с подробным освещением и широким применением ограниченных вариаций в современной обработке изображений, начатых Рудином, Ошером и Фатеми). 

Внешние ссылки

Теория

• Голубов, Борис И.; Витушкин, Анатолий Г. (2001) [1994], "Вариация функции", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• «Функция BV». PlanetMath ..
• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Ограниченная вариация». MathWorld .
• Функция ограниченной вариации в Энциклопедии математики

Другой

• Домашняя страница Луиджи Амброзио в Высшей нормальной школе Пизы . Академическая домашняя страница (с препринтами и публикациями) одного из авторов теории и приложений функций BV.
• Исследовательская группа по вариационному исчислению и геометрической теории меры, Scuola Normale Superiore di Pisa .

В данной статье использованы материалы из BV function на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .