Нормированное векторное пространство

Вектор пространства, на котором определено расстояние

Иерархия математических пространств. Нормированные векторные пространства являются надмножеством пространств скалярного произведения и подмножеством метрических пространств , которое в свою очередь является подмножеством топологических пространств .

В математике нормированное векторное пространство или нормированное пространство — это векторное пространство над действительными или комплексными числами, на котором определена норма . ^[1] Норма — это обобщение интуитивного понятия «длина» в физическом мире. Если — векторное пространство над , где — поле, равное или , то норма на — это отображение , обычно обозначаемое как , удовлетворяющее следующим четырем аксиомам: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

1. Неотрицательность: для каждого , . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$
2. Положительная определенность: для любого тогда и только тогда, когда — нулевой вектор. ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$ ${\displaystyle x}$
3. Абсолютная однородность: для любого и , ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle x\in V}$ $${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. Неравенство треугольника : для каждого и , ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in V}$ $${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

Если — действительное или комплексное векторное пространство, как указано выше, и — норма на , то упорядоченная пара называется нормированным векторным пространством. Если из контекста ясно, какая норма подразумевается, то принято обозначать нормированное векторное пространство просто как . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$ ${\displaystyle V}$

Норма индуцирует расстояние , называемое ее (нормой) индуцированной метрикой , по формуле , которая превращает любое нормированное векторное пространство в метрическое пространство и топологическое векторное пространство . Если это метрическое пространство является полным, то нормированное пространство является банаховым пространством . Каждое нормированное векторное пространство может быть «однозначно расширено» до банахова пространства, что делает нормированные пространства тесно связанными с банаховыми пространствами. Каждое банахово пространство является нормированным пространством, но обратное утверждение неверно. Например, множество конечных последовательностей действительных чисел может быть нормировано с помощью евклидовой нормы , но оно не является полным для этой нормы. $${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$

Пространство внутреннего произведения — это нормированное векторное пространство, норма которого равна квадратному корню из внутреннего произведения вектора и самого себя. Евклидова норма евклидова векторного пространства — это частный случай, позволяющий определить евклидово расстояние по формуле $${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

Изучение нормированных пространств и пространств Банаха является фундаментальной частью функционального анализа — важнейшего раздела математики.

Определение

Нормированное векторное пространство — это векторное пространство, снабженное нормой .Полунормированное векторное пространство — это векторное пространство, снабженноеполунормой.

Полезная вариация неравенства треугольника для любых векторов и $${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Это также показывает, что векторная норма является (равномерно) непрерывной функцией .

Свойство 3 зависит от выбора нормы в поле скаляров. Когда скалярное поле является (или, в более общем смысле, подмножеством ), это обычно принимается за обычное абсолютное значение , но возможны и другие варианты. Например, для векторного пространства над можно принять за -адическое абсолютное значение . ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle p}$

Топологическая структура

Если — нормированное векторное пространство, то норма индуцирует метрику (понятие расстояния ) и, следовательно, топологию на Эта метрика определяется естественным образом: расстояние между двумя векторами и задается выражением Эта топология — это в точности слабейшая топология, которая делает непрерывным и которая совместима с линейной структурой в следующем смысле: ${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V}$

1. Сложение векторов является совместно непрерывным относительно этой топологии. Это следует непосредственно из неравенства треугольника . ${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$
2. Скалярное умножение , где — базовое скалярное поле, является совместно непрерывным. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы. ${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle V,}$

Аналогично, для любого полунормированного векторного пространства мы можем определить расстояние между двумя векторами и как Это превращает полунормированное пространство в псевдометрическое пространство (обратите внимание, что это слабее, чем метрика) и позволяет определить такие понятия, как непрерывность и сходимость . Говоря более абстрактно, каждое полунормированное векторное пространство является топологическим векторным пространством и, таким образом, несет топологическую структуру , которая индуцируется полунормой. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$

Особый интерес представляют полные нормированные пространства, которые известны как банаховы пространства . Каждое нормированное векторное пространство находится как плотное подпространство внутри некоторого банахова пространства; это банахово пространство по существу однозначно определяется и называется пополнением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

Две нормы на одном и том же векторном пространстве называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же топологию . На конечномерном векторном пространстве все нормы эквивалентны, но это неверно для бесконечномерных векторных пространств.

Все нормы на конечномерном векторном пространстве эквивалентны с топологической точки зрения, поскольку они индуцируют одну и ту же топологию (хотя результирующие метрические пространства не обязательно должны быть одинаковыми). ^[2] И поскольку любое евклидово пространство является полным, мы можем, таким образом, заключить, что все конечномерные нормированные векторные пространства являются банаховыми пространствами. Нормированное векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда компактен единичный шар , что имеет место тогда и только тогда, когда является конечномерным; это следствие леммы Рисса . (На самом деле, верен более общий результат: топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Дело здесь в том, что мы не предполагаем, что топология исходит из нормы.) ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle V}$

Топология полунормированного векторного пространства имеет много хороших свойств. Учитывая систему соседства вокруг 0, мы можем построить все другие системы соседства, как с ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$ $${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

Более того, существует базис окрестностей для начала координат, состоящий из поглощающих и выпуклых множеств . Поскольку это свойство очень полезно в функциональном анализе , обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются под названием локально выпуклых пространств .

Норма (или полунорма ) в топологическом векторном пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда топология , индуцирующая на , грубее, чем ( то есть ), что происходит тогда и только тогда, когда существует некоторый открытый шар в (такой, например, как ), который открыт в (говоря иначе, такой что ). ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B\in \tau }$

Нормируемые пространства

Топологическое векторное пространство называется нормируемым, если существует норма на такая, что каноническая метрика индуцирует топологию на Следующая теорема принадлежит Колмогорову : ^[3] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Критерий нормируемости Колмогорова : Хаусдорфово топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда существует выпуклая, ограниченная по фон Нейману окрестность ${\displaystyle 0\in X.}$

Произведение семейства нормируемых пространств нормируемо тогда и только тогда, когда только конечное число пространств нетривиально (то есть ). ^[3] Более того, фактор нормируемого пространства по замкнутому векторному подпространству нормируем, и если в дополнение топология задается нормой , то отображение, заданное является хорошо определенной нормой на , которая индуцирует топологию фактора на ^[4] ${\displaystyle \neq \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$ ${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$ ${\displaystyle X/C}$ ${\displaystyle X/C.}$

Если — хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является нормируемым.
2. ${\displaystyle X}$имеет ограниченную окрестность начала координат.
3. сильное двойственное пространство является нормируемым. ^[5] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
4. сильное двойственное пространство метризуемо . [ ⁵ ] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Более того, является конечномерным тогда и только тогда, когда является нормируемым (здесь обозначает наделенное слабой- * топологией ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Топология пространства Фреше , определенная в статье о пространствах тестовых функций и распределений , определяется счетным семейством норм, но не является нормируемым пространством, поскольку не существует такой нормы на , что топология, индуцируемая этой нормой, равна ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$

Даже если метризуемое топологическое векторное пространство имеет топологию, которая определяется семейством норм, то оно все равно может не быть нормируемым пространством (имея в виду, что его топология не может быть определена какой-либо одной нормой). Примером такого пространства является пространство Фреше , определение которого можно найти в статье о пространствах тестовых функций и распределений , поскольку его топология определяется счетным семейством норм, но оно не является нормируемым пространством, поскольку не существует никакой нормы на , такой, что топология, индуцируемая этой нормой, равна На самом деле, топология локально выпуклого пространства может быть определена семейством норм на , если и только если существует по крайней мере одна непрерывная норма на ^[6] ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Линейные отображения и двойственные пространства

Наиболее важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются непрерывные линейные отображения . Вместе с этими отображениями нормированные векторные пространства образуют категорию .

Норма — непрерывная функция на своем векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.

Изометрия между двумя нормированными векторными пространствами — это линейное отображение , которое сохраняет норму (то есть для всех векторов ). Изометрии всегда непрерывны и инъективны . Сюръективная изометрия между нормированными векторными пространствами и называется изометрическим изоморфизмом , а и называются изометрически изоморфными . Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства идентичны для всех практических целей. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Говоря о нормированных векторных пространствах, мы расширяем понятие дуального пространства , чтобы учесть норму. Дуальное пространство нормированного векторного пространства — это пространство всех непрерывных линейных отображений из в базовое поле (комплексы или действительные числа) — такие линейные отображения называются «функционалами». Норма функционала определяется как супремум , где пробегает все единичные векторы (то есть векторы нормы ) в Это превращается в нормированное векторное пространство. Важной теоремой о непрерывных линейных функционалах на нормированных векторных пространствах является теорема Хана–Банаха . ${\displaystyle V^{\prime }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V^{\prime }}$

Нормированные пространства как факторпространства полунормированных пространств

Определение многих нормированных пространств (в частности, банаховых пространств ) включает полунорму, определенную на векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как факторпространство по подпространству элементов нулевой полунормы. Например, для пространств функция, определяемая как, является полунормой на векторном пространстве всех функций, на которых интеграл Лебега в правой части определен и конечен. Однако полунорма равна нулю для любой функции, поддерживаемой на множестве нулевой меры Лебега . Эти функции образуют подпространство, которое мы «факторизуем», делая их эквивалентными нулевой функции. ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$

Конечные пространства произведений

Данные полунормированные пространства с полунормами обозначают пространство произведений , где сложение векторов определяется как , а скалярное умножение определяется как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$ ${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$ $${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$ $${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

Определим новую функцию , по которой является полунормой на Функция является нормой тогда и только тогда, когда все являются нормами. ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{i}}$

В более общем случае, для каждого вещественного числа отображение, определяемое полунормой, определяет одно и то же топологическое пространство. ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$ ${\displaystyle p}$

Прямой аргумент, включающий элементарную линейную алгебру, показывает, что единственными конечномерными полунормированными пространствами являются те, которые возникают как произведение пространства нормированного пространства и пространства с тривиальной полунормой. Следовательно, многие из наиболее интересных примеров и приложений полунормированных пространств происходят для бесконечномерных векторных пространств.

Смотрите также

• Банахово пространство , нормированные векторные пространства, которые полны относительно метрики, индуцированной нормой
• Компакт Банаха – Мазура  - Концепция функционального анализа.
• Финслерово многообразие , где длина каждого касательного вектора определяется нормой
• Пространство внутреннего произведения , нормированные векторные пространства, где норма задается внутренним произведением
• Критерий нормируемости Колмогорова  – Характеристика нормируемых пространств
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Пространство (математика) – математическое множество с некоторой добавленной структурой.
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

Ссылки

1. Callier, Frank M. (1991). Линейная теория систем . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
2. Кедлая, Киран С. (2010),p -адические дифференциальные уравнения , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 125, Cambridge University Press , CiteSeerX  10.1.1.165.270 , ISBN 978-0-521-76879-5, Теорема 1.3.6
3. Schaefer 1999, стр. 41.
4. Шефер 1999, стр. 42.
5. Trèves 2006, стр. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433.
6. Ярхов 1981, стр. 130. sfn error: no target: CITEREFJarchow1981 (help)

Библиография

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Монография Математическая (на французском языке). Том. 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Збл  0005.20901. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Rolewicz, Stefan (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы , математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), т. 29 (перевод с польского под ред. Эвы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: D. Reidel Publishing Co.; PWN — Polish Scientific Publishers, стр. xvi+524, doi :10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR  0920371, OCLC  13064804
• Шефер, ХХ (1999). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Нормированными пространствами на Wikimedia Commons