В математике L -функция — это мероморфная функция на комплексной плоскости , связанная с одной из нескольких категорий математических объектов . L -ряд — это ряд Дирихле , обычно сходящийся на полуплоскости , который может привести к L -функции посредством аналитического продолжения . Дзета-функция Римана является примером L -функции, а некоторые важные гипотезы, связанные с L -функциями, — это гипотеза Римана и ее обобщения .
Теория L -функций стала весьма существенной и все еще во многом предположительной частью современной аналитической теории чисел . В ней строятся широкие обобщения дзета-функции Римана и L -ряда для характера Дирихле , а их общие свойства, в большинстве случаев все еще недоступные доказательству, излагаются систематическим образом. Благодаря формуле произведения Эйлера существует глубокая связь между L -функциями и теорией простых чисел .
Математическая область, изучающая L -функции, иногда называется аналитической теорией L -функций .
Вначале мы различаем L -ряд , бесконечное представление ряда (например, ряд Дирихле для дзета-функции Римана ), и L -функцию , функцию в комплексной плоскости, которая является ее аналитическим продолжением . Общие построения начинаются с L -ряда, определяемого сначала как ряд Дирихле , а затем путем разложения в виде произведения Эйлера, индексированного простыми числами. Оценки требуются для доказательства того, что это сходится в некоторой правой полуплоскости комплексных чисел . Затем спрашивается, может ли функция, определенная таким образом, быть аналитически продолжена на остальную часть комплексной плоскости (возможно, с некоторыми полюсами ).
Именно это (предполагаемое) мероморфное продолжение на комплексную плоскость называется L -функцией. В классических случаях уже известно, что полезная информация содержится в значениях и поведении L -функции в точках, где представление ряда не сходится. Общий термин L -функция здесь включает в себя многие известные типы дзета-функций. Класс Сельберга является попыткой охватить основные свойства L -функций в наборе аксиом, тем самым поощряя изучение свойств класса, а не отдельных функций.
Можно перечислить характеристики известных примеров L -функций, которые хотелось бы видеть обобщенными:
Подробная работа породила большой объем правдоподобных предположений, например, о точном типе функционального уравнения, которое должно применяться. Поскольку дзета-функция Римана связана через свои значения в положительных четных целых числах (и отрицательных нечетных целых числах) с числами Бернулли , ищут подходящее обобщение этого явления. В этом случае были получены результаты для p -адических L -функций , которые описывают определенные модули Галуа .
Статистика нулевых распределений представляет интерес из-за их связи с такими проблемами, как обобщенная гипотеза Римана, распределение простых чисел и т. д. Связи с теорией случайных матриц и квантовым хаосом также представляют интерес. Фрактальная структура распределений была изучена с использованием анализа масштабированного диапазона . [2] Самоподобие нулевого распределения весьма примечательно и характеризуется большой фрактальной размерностью 1,9. Эта довольно большая фрактальная размерность обнаружена над нулями , охватывающими по крайней мере пятнадцать порядков величины для дзета-функции Римана , а также для нулей других L -функций различных порядков и проводников.
Одним из влиятельных примеров, как для истории более общих L -функций, так и в качестве все еще открытой исследовательской проблемы, является гипотеза, разработанная Брайаном Бирчем и Питером Суиннертоном-Дайером в начале 1960-х годов. Она применима к эллиптической кривой E , и проблема, которую она пытается решить, - это предсказание ранга эллиптической кривой по рациональным числам (или другому глобальному полю ): т. е. числа свободных генераторов ее группы рациональных точек. Многие предыдущие работы в этой области начали объединяться вокруг лучшего знания L -функций. Это было что-то вроде парадигмального примера зарождающейся теории L -функций.
Эта разработка опередила программу Ленглендса на несколько лет и может рассматриваться как дополнение к ней: работа Ленглендса в значительной степени связана с L -функциями Артина , которые, как и L -функции Гекке , были определены несколькими десятилетиями ранее, а также с L -функциями, связанными с общими автоморфными представлениями .
Постепенно стало яснее, в каком смысле конструкция дзета-функций Хассе–Вейля может быть использована для предоставления действительных L -функций в аналитическом смысле: должен быть некоторый ввод из анализа, что означало автоморфный анализ. Общий случай теперь объединяет на концептуальном уровне ряд различных исследовательских программ.