Марковский спектр

В математике марковский спектр , разработанный Андреем Марковым , представляет собой сложный набор действительных чисел, возникающий в марковских диофантовых уравнениях , а также в теории диофантовых приближений .

Характеристика квадратичной формы

Рассмотрим квадратичную форму, заданную как f ( x , y ) = ax ² + bxy + cy ² , и предположим, что ее дискриминант фиксирован, скажем, равен −1/4. Другими словами, b ²  − 4 ac = 1.

Можно задать вопрос о минимальном значении, достигаемом при оценке при ненулевых векторах сетки , а если этот минимум не существует, то о нижней гранью . ${\displaystyle \left\vert f(x,y)\right\vert }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Марковский спектр M — это множество, полученное путем повторения этого поиска с различными квадратичными формами с дискриминантом, фиксированным на −1/4: $${\displaystyle M=\left\{\left(\inf _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}|f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}}$$

Спектр Лагранжа

Исходя из теоремы Гурвица о диофантовых приближениях, что любое действительное число имеет последовательность рациональных приближений m / n, стремящуюся к нему с ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}},}$

можно спросить для каждого значения 1/ c с 1/ c ≥ √ 5 о существовании некоторых , для которых ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}}$

для такой последовательности, для которой c является наилучшим возможным (максимальным) значением. Такие 1/ c составляют спектр Лагранжа L , набор действительных чисел по крайней мере √ 5 (что является наименьшим значением спектра). Формулировка с обратной величиной неудобна, но традиционное определение ее предполагает; рассмотрение набора c вместо этого позволяет вместо этого определить с помощью нижнего предела . Для этого рассмотрим

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,}$

где m выбирается как целочисленная функция n , чтобы сделать разницу минимальной. Это функция , а обратная величина спектра Лагранжа — это диапазон значений, которые он принимает для иррациональных чисел. ${\displaystyle \xi }$

Связь с марковским спектром

Начальная часть спектра Лагранжа, а именно часть, лежащая в интервале [ √ 5 , 3) ​​, также является начальной частью спектра Маркова. Первые несколько значений равны √ 5 , √ 8 , √ 221 /5, √ 1517 /13, ... ^[1] и n- е число этой последовательности (то есть n -е число Лагранжа ) может быть вычислено из n- го числа Маркова по формуле Постоянная Фреймана — это название, данное концу последнего пробела в спектре Лагранжа, а именно: $${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots }$(последовательность A118472 в OEIS ).

Все действительные числа в [ ) ${\displaystyle {F},\infty }$ - известные как луч Холла - являются членами спектра Лагранжа. ^[2] Более того, можно доказать, что L строго содержится в M . ^[3]

Геометрия марковского и лагранжева спектра

С одной стороны, начальная часть спектра Маркова и Лагранжа, лежащие в интервале [ √ 5 , 3), оба равны и представляют собой дискретное множество. С другой стороны, конечные части этих множеств, лежащие после постоянной Фреймана, также равны, но представляют собой непрерывное множество. Геометрия части между начальной частью и конечной частью имеет фрактальную структуру и может рассматриваться как геометрический переход между дискретной начальной частью и непрерывной конечной частью. Это точно утверждается в следующей теореме: ^[4]

Теорема  —  При условии , размерность Хаусдорфа равна размерности Хаусдорфа . Более того, если d — функция, определяемая как , где dim _H обозначает размерность Хаусдорфа, то d непрерывна и отображает R на [0,1]. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L\cap (-\infty ,t)}$ ${\displaystyle M\cap (-\infty ,t)}$ ${\displaystyle d(t):=\dim _{H}(M\cap (-\infty ,t))}$

Смотрите также

• Число Маркова

Ссылки

1. Касселс (1957) стр.18
2. Константа Фреймана Вайсштейн, Эрик В. "Константа Фреймана". Из MathWorld—A Wolfram Web Resource), доступ получен 26 августа 2008 г.
3. Cusick, Thomas; Flahive, Mary (1989). "Сравнение спектров Маркова и Лагранжа". Спектры Маркова и Лагранжа . Математические обзоры и монографии. Том 30. С. 35–45. doi :10.1090/surv/030/03. ISBN 9780821815311.
4. Moreira, Carlos Gustavo (июль 2018 г.). «Геометрические свойства спектров Маркова и Лагранжа». Annals of Mathematics . 188 (1): 145–170. arXiv : 1612.05782 . doi : 10.4007/annals.2018.188.1.3. ISSN  0003-486X. JSTOR  10.4007/annals.2018.188.1.3. S2CID  15513612.

Дальнейшее чтение

• Айгнер, Мартин (2013). Теорема Маркова и 100 лет гипотезы уникальности: математическое путешествие от иррациональных чисел к идеальным паросочетаниям . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5. OCLC  853659945.
• Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К. Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 188–189, 1996.
• Cusick, TW и Flahive, ME Спектры Маркова и Лагранжа. Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc., 1989.
• Касселс, Дж. В. С. (1957). Введение в диофантовы приближения . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Т. 45. Издательство Кембриджского университета . Zbl  0077.04801.

Внешние ссылки

• «Проблема спектра Маркова», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]