Параллелограммоид Леви-Чивиты

В математической области дифференциальной геометрии параллелограммоид Леви-Чивиты — это четырёхугольник ^[1] в искривлённом пространстве , конструкция которого обобщает конструкцию параллелограмма в евклидовой плоскости . Он назван в честь своего первооткрывателя Туллио Леви-Чивиты . Подобно параллелограмму, две противоположные стороны AA ′ и BB ′ параллелограммоида параллельны (посредством параллельного переноса вдоль стороны AB ) и имеют одинаковую длину, но четвёртая сторона A ′ B ′ в общем случае не будет параллельной или иметь ту же длину, что и сторона AB, хотя она будет прямой ( геодезической ). ^[2]

Строительство

Параллелограмм в евклидовой геометрии можно построить следующим образом:

Начнем с отрезка прямой AB и еще одного отрезка прямой AA ′.
Переместите отрезок AA ′ вдоль AB до конечной точки B , сохраняя угол с AB постоянным и оставаясь в той же плоскости , что и точки A , A ′ и B.
Обозначим конечную точку полученного отрезка B ′, чтобы отрезок стал BB ′.
Начертите прямую линию A ′ B ′.

В искривленном пространстве, таком как риманово многообразие или, в более общем смысле, любое многообразие, снабженное аффинной связью , понятие «прямой линии» обобщается до понятия геодезической . В подходящей окрестности (например, шар в нормальной системе координат ) любые две точки могут быть соединены геодезической. Идея скольжения одной прямой вдоль другой уступает место более общему понятию параллельного переноса . Таким образом, предполагая, что либо многообразие является полным , либо что построение происходит в подходящей окрестности, шаги для создания параллелограмма Леви-Чивиты следующие:

Начнем с геодезической AB и еще одной геодезической AA ′. Предполагается, что эти геодезические параметризованы длиной дуги в случае риманова многообразия или несут выбор аффинного параметра в общем случае аффинной связности.
«Скольжение» ( параллельный перенос ) касательного вектора AA ′ из точки A в точку B.
Результирующий касательный вектор в точке B генерирует геодезическую с помощью экспоненциального отображения . Обозначим конечную точку этой геодезической как B ′, а саму геодезическую как BB ′.
Соединим точки A ′ и B ′ геодезической линией A ′ B ′.

Количественная оценка отличия от параллелограмма

Длина этой последней геодезической, построенной, соединяющей оставшиеся точки A ′ B ′, может в общем случае отличаться от длины основания AB . Эта разница измеряется тензором кривизны Римана . Чтобы точно сформулировать соотношение, пусть AA ′ будет экспонентой касательного вектора X в точке A , а AB — экспонентой касательного вектора Y в точке A . Тогда

|A'B'|^{2}=|AB|^{2}+{\frac {8}{3}}\langle R(X,Y)X,Y\rangle +{\text{члены более высокого порядка}}

где члены более высокого порядка в длине сторон параллелограмма были опущены.

Дискретное приближение

Параллельный перенос можно дискретно аппроксимировать лестницей Шильда , которая аппроксимирует параллелограммоиды Леви-Чивиты аппроксимированными параллелограммами.

Примечания

^ Леви-Чивита, Туллио (1917), «Nozione di Parallismo in una varietà qualunque e conseguente specazione геометрическая della Curvatura riemanniana» [Понятие параллелизма в любом разнообразии и последующая геометрическая спецификация римановой кривизны], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo ( на итальянском языке), 42 : 199.
^ В статье Леви-Чивиты (1917, стр. 199) отрезки AB и A'B ′ называются (соответственно) основанием и супрабазой рассматриваемого параллелограммоида.

Ссылки

Леви-Чивита, Туллио (1917), «Nozione di Parallismo in una varietà qualunque e conseguente specazione геометрической della Curvatura riemanniana» [Понятие параллелизма в любом разнообразии и последующая геометрическая спецификация римановой кривизны], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (в Итальянский), 42 : 173–205, дои :10.1007/BF03014898, JFM 46.1125.02, S2CID 122088291
Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств , Math Sci Press, Массачусетс