Скобка Ли векторных полей

Оператор в дифференциальной топологии

В математической области дифференциальной топологии скобка Ли векторных полей , также известная как скобка Якоби–Ли или коммутатор векторных полей , представляет собой оператор, который сопоставляет любым двум векторным полям X и Y на гладком многообразии M третье векторное поле, обозначаемое [ X , Y ] .

Концептуально скобка Ли [ X , Y ] является производной Y вдоль потока , порожденного X , и иногда обозначается как («производная Ли Y вдоль X»). Это обобщается до производной Ли любого тензорного поля вдоль потока , порожденного X. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

Скобка Ли является R - билинейной операцией и превращает множество всех гладких векторных полей на многообразии M в (бесконечномерную) алгебру Ли .

Скобка Ли играет важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , например, в теореме Фробениуса об интегрируемости , а также является фундаментальной в геометрической теории нелинейных систем управления . ^[1]

VI Арнольд называет это «производной рыбака», поскольку можно представить себя рыбаком, держащим удочку, сидящим в лодке. И лодка, и поплавок движутся согласно векторному полю X , а рыбак удлиняется/сжимается и поворачивает удочку согласно векторному полю Y. Скобка Ли — это величина сопротивления поплавка относительно окружающей воды. ^[2]

Определения

Существует три концептуально различных, но эквивалентных подхода к определению скобки Ли:

Векторные поля как производные

Каждое гладкое векторное поле на многообразии M можно рассматривать как дифференциальный оператор , действующий на гладкие функции (где и класса ), когда мы определяем как другую функцию, значение которой в точке является производной по направлению от f в точке p в направлении X ( p ). Таким образом, каждое гладкое векторное поле X становится выводом на C ^∞ ( M ). Более того, любой вывод на C ^∞ ( M ) возникает из единственного гладкого векторного поля X . ${\displaystyle X:M\rightarrow TM}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle p}$

В общем случае коммутатор любых двух выводов и снова является выводом, где обозначает композицию операторов. Это можно использовать для определения скобки Ли как векторного поля, соответствующего выводу коммутатора: ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ for all }}f\in C^{\infty }(M).}$

Потоки и ограничения

Пусть — поток , связанный с векторным полем X , и пусть D обозначает оператор производной касательного отображения . Тогда скобка Ли X и Y в точке x ∈ M может быть определена как производная Ли : ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}$

Это также измеряет неспособность потока в последовательных направлениях вернуться в точку x : ${\displaystyle X,Y,-X,-Y}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}$

В координатах

Хотя приведенные выше определения скобок Ли являются внутренними (независимыми от выбора координат на многообразии M ), на практике часто требуется вычислить скобки в терминах конкретной системы координат . Мы записываем для связанного локального базиса касательного расслоения, так что общие векторные поля могут быть записаны и для гладких функций . Тогда скобки Ли можно вычислить как: ${\displaystyle \{x^{i}\}}$ ${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$ ${\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$

Если M — (открытое подмножество) R ⁿ , то векторные поля X и Y можно записать как гладкие отображения вида и , а скобка Ли задается выражением: ${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$

где и являются матрицами Якоби размером n × n ( и соответственно с использованием индексной записи), умноженными на векторы-столбцы X и Y размером n × 1 . ${\displaystyle J_{Y}}$ ${\displaystyle J_{X}}$ ${\displaystyle \partial _{j}Y^{i}}$ ${\displaystyle \partial _{j}X^{i}}$

Характеристики

Скобка Ли векторных полей снабжает действительное векторное пространство всех векторных полей на M (т.е. гладкие сечения касательного расслоения ) структурой алгебры Ли , что означает, что [ • , • ] является отображением с: ${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle V\times V\to V}$

• R - билинейность
• Антисимметрия, ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• тождество Якоби , ${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.}$

Непосредственным следствием второго свойства является то, что для любого . ${\displaystyle [X,X]=0}$ ${\displaystyle X}$

Более того, существует « правило произведения » для скобок Ли. Если задана гладкая (скалярнозначная) функция f на M и векторное поле Y на M , то мы получаем новое векторное поле fY , умножая вектор Y _x на скаляр f ( x ) в каждой точке x ∈ M . Тогда:

• ${\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}$

где мы умножаем скалярную функцию X ( f ) на векторное поле Y , а скалярную функцию f на векторное поле [ X , Y ] . Это превращает векторные поля со скобкой Ли в алгеброид Ли .

Исчезновение скобки Ли X и Y означает, что следование потокам в этих направлениях определяет поверхность, вложенную в M , с X и Y в качестве координатных векторных полей:

Теорема: тогда и только тогда, когда потоки X и Y коммутируют локально, то есть для всех x ∈ M и достаточно малых s , t . ${\displaystyle [X,Y]=0\,}$ ${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}$

Это частный случай теоремы Фробениуса об интегрируемости .

Примеры

Для группы Ли G соответствующая алгебра Ли — это касательное пространство в единице , которое можно отождествить с векторным пространством левоинвариантных векторных полей на G. Скобка Ли двух левоинвариантных векторных полей также является левоинвариантной, что определяет операцию скобки Якоби–Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T_{e}G}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Для матричной группы Ли, элементами которой являются матрицы , каждое касательное пространство может быть представлено в виде матриц: , где означает матричное умножение, а I — единичная матрица. Инвариантное векторное поле, соответствующее , задается выражением , а вычисление показывает, что скобка Ли на соответствует обычному коммутатору матриц: ${\displaystyle g\in G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{I}G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}=T_{I}G}$ ${\displaystyle X_{g}=g\cdot X\in T_{g}G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]\ =\ X\cdot Y-Y\cdot X.}$

Обобщения

Как уже упоминалось выше, производную Ли можно рассматривать как обобщение скобки Ли. Другим обобщением скобки Ли (на векторнозначные дифференциальные формы ) является скобка Фрёлихера–Нийенхейса .

Ссылки

1. Исайя 2009, стр. 20–21, неголономные системы ; Халиль 2002, стр. 523–530, линеаризация с обратной связью .
2. Арнольд, VI; Хесин, Борис А. (1999). Топологические методы в гидродинамике . Прикладные математические науки (Корр. 2-е печатное изд.). Нью-Йорк Берлин Гейдельберг: Springer. С. 6. ISBN 978-0-387-94947-5.

• «Скобка Ли», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Исайя, Пантелис (2009), «Управляемая парковка [Спросите экспертов]», Журнал IEEE Control Systems , 29 (3): 17–21, 132, doi :10.1109/MCS.2009.932394, S2CID  42908664
• Халил, ХК (2002), Нелинейные системы (3-е изд.), Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall , ISBN 0-13-067389-7
• Коларж, И., Михор, П. и Словак, Й. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-56235-4{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)Подробное обсуждение скобок Ли и общей теории производных Ли.
• Ланг, С. (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1Для обобщений на бесконечные измерения.
• Уорнер, Франк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3