Линейное приближение

Приближение функции касательной к ней в точке

Касательная линия в точке ( a , f ( a ))

В математике линейная аппроксимация — это приближение общей функции с помощью линейной функции (точнее, аффинной функции ). Они широко используются в методе конечных разностей для создания методов первого порядка решения или аппроксимации решений уравнений.

Определение

Для дважды непрерывно дифференцируемой функции одной действительной переменной теорема Тейлора для этого случая утверждает, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n=1}$

$${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}}$$

${\displaystyle R_{2}}$

$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).}$$

Это хорошее приближение, когда оно достаточно близко к ; поскольку кривая при внимательном рассмотрении начнет напоминать прямую линию. Следовательно, выражение в правой части — это просто уравнение касательной к графику at . По этой причине этот процесс также называют аппроксимацией касательной линии . Линейные аппроксимации в этом случае дополнительно улучшаются, когда вторая производная a достаточно мала (близка к нулю) (т. е. находится в точке перегиба или вблизи нее ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle f''(a)}$

Если вогнута вниз в интервале между и , приближение будет завышенным (поскольку производная убывает в этом интервале). Если вогнута вверх , то приближение будет заниженным. ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

Аналогично получаются линейные аппроксимации вектор- функций векторной переменной с заменой производной в точке матрицей Якоби . Например, если задана дифференцируемая функция с действительными значениями, ее можно аппроксимировать по формуле ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (a,b)}$

$${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}$$

Правая часть представляет собой уравнение плоскости, касательной к графику при ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (a,b).}$

В более общем случае банаховых пространств имеем

$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}$$

производная Фреше ${\displaystyle Df(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Приложения

Оптика

Гауссова оптика — это метод геометрической оптики , который описывает поведение световых лучей в оптических системах с использованием параксиального приближения , в котором рассматриваются только лучи, составляющие малые углы с оптической осью системы. ^[2] В этом приближении тригонометрические функции могут быть выражены как линейные функции углов. Гауссова оптика применяется к системам, в которых все оптические поверхности либо плоские, либо являются частями сферы . В этом случае можно дать простые явные формулы для параметров системы формирования изображений, таких как фокусное расстояние, увеличение и яркость, с точки зрения геометрических форм и свойств материалов составляющих элементов.

Период колебаний

Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины , местной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла , на который маятник отклоняется от вертикали, θ ₀ , называемого амплитудой . ^[3] Это не зависит от массы боба. Истинный период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла идеального простого гравитационного маятника, может быть записан в нескольких различных формах (см. маятник ), одним из примеров является бесконечный ряд : ^{[4] [5]}

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$

где L — длина маятника, а g — местное ускорение силы тяжести .

Однако если принять линейное приближение (т.е. если амплитуда ограничена небольшими колебаниями, ^{[Примечание 1]} ), то период составит: ^[6]

В линейном приближении период колебаний примерно одинаков для колебаний разного размера: то есть период не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронизмом , является причиной того, что маятники так полезны для измерения времени. ^[7] Последовательные колебания маятника, даже если их амплитуда меняется, занимают одинаковое количество времени.

Электрическое сопротивление

Удельное электрическое сопротивление большинства материалов меняется с температурой. Если температура T не меняется слишком сильно, обычно используется линейное приближение:

$${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]}$$

температурным коэффициентом удельного сопротивления^[8] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{15}}$

Смотрите также

• Биномиальное приближение
• метод Эйлера
• Конечные разности
• Методы конечных разностей
• метод Ньютона
• Силовая серия
• Серия Тейлора

Примечания

1. «Маленькое» колебание - это такое, при котором угол θ достаточно мал, чтобы sin (θ) можно было аппроксимировать θ, когда θ измеряется в радианах.

Рекомендации

1. «12.1 Оценка значения функции с использованием линейной аппроксимации» . Проверено 3 июня 2012 г.
2. Липсон, А.; Липсон, СГ; Липсон, Х. (2010). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 51. ИСБН 978-0-521-49345-1.
3. Милхэм, Уиллис И. (1945). Время и хронометристы . Макмиллан. стр. 188–194. ОСЛК  1744137.
4. Нельсон, Роберт; М.Г. Олссон (февраль 1987 г.). «Маятник – богатая физика из простой системы» (PDF) . Американский журнал физики . 54 (2): 112–121. Бибкод : 1986AmJPh..54..112N. дои : 10.1119/1.14703. S2CID  121907349 . Проверено 29 октября 2008 г.
5. Беккет, Эдмунд; и еще три (1911 г.). "Часы"  . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 06 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 534–553, см. стр. 538, второй абзац. Маятник.-включает в себя вывод
6. Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Джерл Уокер (1997). Основы физики, 5-е изд . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 381. ИСБН 0-471-14854-7.
7. Купер, Герберт Дж. (2007). Научные инструменты. Нью-Йорк: Хатчинсон. п. 162. ИСБН 978-1-4067-6879-4.
8. Уорд, MR (1971). Электротехнические науки . МакГроу-Хилл. стр. 36–40. ISBN 0-07-094255-2.

дальнейшее чтение

• Вайнштейн, Алан; Марсден, Джеррольд Э. (1984). Исчисление III . Берлин: Springer-Verlag. п. 775. ИСБН 0-387-90985-0.
• Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление . Колледж Уэлсли. п. 94. ИСБН 0-9614088-2-0.
• Бок, Дэвид; Хокетт, Ширли О. (2005). Как подготовиться к расчету AP . Хауппож, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэрронса. п. 118. ИСБН 0-7641-2382-3.