Логарифмическая форма

В алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий логарифмическая дифференциальная форма — это дифференциальная форма с полюсами определенного вида. Это понятие было введено Пьером Делинем . ^{[1] Короче говоря,} логарифмические дифференциалы имеют самые мягкие возможные особенности, необходимые для того, чтобы дать информацию об открытом подмногообразии (дополнение к дивизору полюсов). (Эта идея уточняется несколькими версиями теоремы де Рама, обсуждаемыми ниже.)

Пусть X — комплексное многообразие, D ⊂ X — приведенный дивизор (сумма различных комплексных подпространств коразмерности 1), а ω — голоморфная p -форма на X − D . Если и ω, и d ω имеют полюс порядка не более 1 вдоль D , то говорят, что ω имеет логарифмический полюс вдоль D . ω также известна как логарифмическая p -форма. P -формы с логарифмическими полюсами вдоль D образуют подпучок мероморфных p -форм на X , обозначаемый

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D).}$

Название происходит от того факта, что в комплексном анализе , ; здесь типичный пример 1-формы на комплексных числах C с логарифмическим полюсом в начале координат. Дифференциальные формы, такие как , имеют смысл в чисто алгебраическом контексте, где нет аналога функции логарифма . ${\displaystyle d(\log z)=dz/z}$ ${\displaystyle dz/z}$ ${\displaystyle dz/z}$

Логарифмический комплекс де Рама

Пусть X — комплексное многообразие, а D — приведенный дивизор на X. По определению и тому факту, что внешняя производная d удовлетворяет d ² = 0, имеем ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

${\displaystyle d\Omega _{X}^{p}(\log D)(U)\subset \Omega _{X}^{p+1}(\log D)(U)}$

для каждого открытого подмножества U из X. Таким образом, логарифмические дифференциалы образуют комплекс пучков , известный как логарифмический комплекс де Рама, связанный с дивизором D. Это подкомплекс прямого образа , где — включение, а — комплекс пучков голоморфных форм на X − D. ${\displaystyle (\Omega _{X}^{\bullet }(\log D),d)}$ ${\displaystyle j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })}$ ${\displaystyle j:X-D\rightarrow X}$ ${\displaystyle \Omega _{X-D}^{\bullet }}$

Особый интерес представляет случай, когда D имеет нормальные пересечения : то есть D локально является суммой комплексных подмногообразий коразмерности 1, пересекающихся трансверсально. В этом случае пучок логарифмических дифференциальных форм является подалгеброй, порожденной голоморфными дифференциальными формами вместе с 1-формами для голоморфных функций , которые не равны нулю вне D. ^[2] Обратите внимание, что ${\displaystyle j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle df/f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{fg}}={\frac {df}{f}}+{\frac {dg}{g}}.}$

Конкретно, если D — дивизор с нормальными пересечениями на комплексном многообразии X , то каждая точка x имеет открытую окрестность U , на которой существуют голоморфные функции координат, такие, что x — начало координат, а D определяется уравнением для некоторого . На открытом множестве U сечения задаются как ^[3] ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle z_{1}\cdots z_{k}=0}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)={\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{k}}{z_{k}}}\oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{k+1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{n}.}$

Это описывает голоморфное векторное расслоение на . Тогда для любого векторное расслоение является k -й внешней степенью , ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{k}(\log D)}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{k}(\log D)=\bigwedge ^{k}\Omega _{X}^{1}(\log D).}$

Логарифмическое касательное расслоение означает двойственное векторное расслоение к . Явно, сечение является голоморфным векторным полем на X , которое касается D во всех гладких точках D . ^[4] ${\displaystyle TX(-\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$ ${\displaystyle TX(-\log D)}$

Логарифмические дифференциалы и сингулярные когомологии

Пусть X — комплексное многообразие, а D — дивизор с нормальными пересечениями на X. Делинь доказал голоморфный аналог теоремы де Рама в терминах логарифмических дифференциалов. А именно,

${\displaystyle H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} ),}$

где левая часть обозначает когомологии X с коэффициентами в комплексе пучков, иногда называемом гиперкогомологиями . Это следует из естественного включения комплексов пучков

${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X-D}^{\bullet }}$

будучи квазиизоморфизмом . ^[5]

Логарифмические дифференциалы в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии векторное расслоение логарифмических дифференциальных p -форм на гладкой схеме X над полем относительно дивизора с простыми нормальными пересечениями определяется так, как указано выше: сечения из являются (алгебраическими) дифференциальными формами ω на , такими, что и ω, и d ω имеют полюс порядка не более одного вдоль D . ^[6] Явно, для замкнутой точки x , которая лежит в для и не лежит в для , пусть будут регулярными функциями на некоторой открытой окрестности U точки x такой, что является замкнутой подсхемой , определенной внутри U для , а x является замкнутой подсхемой U , определенной . Тогда базис сечений из на U задается как: ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle D=\sum D_{j}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle X-D}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle j>k}$ ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle u_{j}=0}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$ ${\displaystyle u_{1}=\cdots =u_{n}=0}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

${\displaystyle {du_{1} \over u_{1}},\dots ,{du_{k} \over u_{k}},\,du_{k+1},\dots ,du_{n}.}$

Это описывает векторное расслоение на X , а затем является p -й внешней степенью . ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

На X имеется точная последовательность когерентных пучков :

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{1}\to \Omega _{X}^{1}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}{\mathcal {O}}_{D_{j}}\to 0,}$

где — включение неприводимого компонента D . Здесь β называется отображением вычетов ; поэтому эта последовательность говорит, что 1-форма с логарифмическими полюсами вдоль D является регулярной (то есть не имеет полюсов) тогда и только тогда, когда ее вычеты равны нулю. В более общем случае для любого p ≥ 0 существует точная последовательность когерентных пучков на X : ${\displaystyle i_{j}:D_{j}\to X}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{p}\to \Omega _{X}^{p}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}\Omega _{D_{j}}^{p-1}(\log(D-D_{j}))\to \cdots \to 0,}$

где суммы пробегают все неприводимые компоненты заданной размерности пересечений делителей D _j . Здесь снова β называется отображением вычетов.

Явно, на открытом подмножестве , которое соответствует только одному компоненту , с локально определенным , остаток логарифмической -формы вдоль определяется следующим образом: остаток регулярной p -формы равен нулю, тогда как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D_{j}}$

${\displaystyle {\text{Res}}_{D_{j}}{\bigg (}{\frac {df}{f}}\wedge \alpha {\bigg )}=\alpha |_{D_{j}}}$

для любой регулярной -формы . ^[7] Некоторые авторы определяют остаток, говоря, что имеет остаток , что отличается от определения здесь знаком . ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \wedge (df/f)}$ ${\displaystyle \alpha |_{D_{j}}}$ ${\displaystyle (-1)^{p-1}}$

Пример остатка

Над комплексными числами остаток дифференциальной формы с логарифмическими полюсами вдоль делителя можно рассматривать как результат интегрирования по циклам в вокруг . В этом контексте остаток можно назвать вычетом Пуанкаре . ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{j}}$

Для явного примера ^[8] рассмотрим эллиптическую кривую D в комплексной проективной плоскости , заданную в аффинных координатах уравнением где и — комплексное число. Тогда D — гладкая гиперповерхность степени 3 в и, в частности, дивизор с простыми нормальными пересечениями. Существует мероморфная 2-форма на , заданная в аффинных координатах уравнением ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\{[x,y,z]\}}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle g(x,y)=y^{2}-f(x)=0,}$ ${\displaystyle f(x)=x(x-1)(x-\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0,1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

${\displaystyle \omega ={\frac {dx\wedge dy}{g(x,y)}},}$

который имеет логарифмические полюса вдоль D . Поскольку каноническое расслоение изоморфно линейному расслоению , дивизор полюсов должен иметь степень 3. Таким образом, дивизор полюсов состоит только из D (в частности, не имеет полюса вдоль линии на бесконечности). Вычет ω вдоль D задается голоморфной 1-формой ${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{2}}=\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-3)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle {\text{Res}}_{D}(\omega )=\left.{\frac {dy}{\partial g/\partial x}}\right|_{D}=\left.-{\frac {dx}{\partial g/\partial y}}\right|_{D}=\left.-{\frac {1}{2}}{\frac {dx}{y}}\right|_{D}.}$

Отсюда следует, что продолжается до голоморфной одномерной формы на проективной кривой D в , эллиптической кривой. ${\displaystyle dx/y|_{D}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

Рассматриваемое здесь отображение вычетов является частью линейного отображения , которое можно назвать «отображением Гайсина». Это часть последовательности Гайсина , связанной с любым гладким дивизором D в комплексном многообразии X : ${\displaystyle H^{0}(\mathbf {P} ^{2},\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}(\log D))\to H^{0}(D,\Omega _{D}^{1})}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {P} ^{2}-D,\mathbf {C} )\to H^{1}(D,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle \cdots \to H^{j-2}(D)\to H^{j}(X)\to H^{j}(X-D)\to H^{j-1}(D)\to \cdots .}$

Историческая терминология

В теории эллиптических функций 19-го века 1-формы с логарифмическими полюсами иногда назывались интегралами второго рода (и, с досадной непоследовательностью, иногда дифференциалами третьего рода ). Например, дзета-функция Вейерштрасса, связанная с решеткой в ​​C, называлась «интегралом второго рода», что означает, что ее можно записать ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \zeta (z)={\frac {\sigma '(z)}{\sigma (z)}}.}$

В современных терминах отсюда следует, что является 1-формой на C с логарифмическими полюсами на , поскольку является нулевым множеством сигма-функции Вейерштрасса ${\displaystyle \zeta (z)dz=d\sigma /\sigma }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \sigma (z).}$

Смешанная теория Ходжа для гладких многообразий

Над комплексными числами Делинь доказал усиление алгебраической теоремы де Рама Александра Гротендика , связывающей когерентные пучковые когомологии с сингулярными когомологиями . А именно, для любой гладкой схемы X над C с дивизором с простыми нормальными пересечениями D существует естественный изоморфизм

${\displaystyle H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} )}$

для каждого целого числа k , где группы слева определены с использованием топологии Зарисского , а группы справа используют классическую (евклидову) топологию. ^[9]

Более того, когда X является гладким и правильным над C , результирующая спектральная последовательность

${\displaystyle E_{1}^{pq}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))\Rightarrow H^{p+q}(X-D,\mathbf {C} )}$

вырождается при . ^[10] Таким образом, когомологии с комплексными коэффициентами имеют убывающую фильтрацию, фильтрацию Ходжа , чьи связанные градуированные векторные пространства являются алгебраически определенными группами . ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle X-D}$ ${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))}$

Это часть смешанной структуры Ходжа , которую Делинь определил на когомологиях любого комплексного алгебраического многообразия. В частности, существует также весовая фильтрация на рациональных когомологиях . Результирующая фильтрация на может быть построена с использованием логарифмического комплекса де Рама. А именно, определим возрастающую фильтрацию с помощью ${\displaystyle X-D}$ ${\displaystyle H^{*}(X-D,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\Omega _{X}^{p}(\log D)}$

${\displaystyle W_{m}\Omega _{X}^{p}(\log D)={\begin{cases}0&m<0\\\Omega _{X}^{p-m}\cdot \Omega _{X}^{m}(\log D)&0\leq m\leq p\\\Omega _{X}^{p}(\log D)&m\geq p.\end{cases}}}$

Результирующая фильтрация по когомологиям — это весовая фильтрация: ^[11]

${\displaystyle W_{m}H^{k}(X-D,\mathbf {C} )={\text{Im}}(H^{k}(X,W_{m-k}\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\rightarrow H^{k}(X-D,\mathbf {C} )).}$

Основываясь на этих результатах, Элен Эсно и Экарт Фивег обобщили теорему об исчезновении Кодаиры–Акидзуки–Накано в терминах логарифмических дифференциалов. А именно, пусть X — гладкое комплексное проективное многообразие размерности n , D — дивизор с простыми нормальными пересечениями на X , а L — обильное линейное расслоение на X. Тогда

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes L)=0}$

и

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes O_{X}(-D)\otimes L)=0}$

для всех . ^[12] ${\displaystyle p+q>n}$

Смотрите также

• Формула присоединения
• Гомология Бореля–Мура
• Дифференциал первого рода
• Структура журнала
• Смешанная структура Ходжа
• Теорема о вычетах
• Вычет Пуанкаре

Примечания

1. Делинь (1970), раздел II.3.
2. Делинь (1970), Определение II.3.1.
3. Питерс и Стинбринк (2008), раздел 4.1.
4. Делинь (1970), раздел II.3.9.
5. Делинь (1970), Предложение II.3.13.
6. Делинь (1970), Лемма II.3.2.1.
7. Делинь (1970), разделы II.3.5 - II.3.7; Гриффитс и Харрис (1994), раздел 1.1.
8. Гриффитс и Харрис (1994), раздел 2.1.
9. Делинь (1970), Следствие II.6.10.
10. Делинь (1971), Следствие 3.2.13.
11. Петерс и Стинбринк (2008), Теорема 4.2.
12. Esnault & Viehweg (1992), Следствие 6.4.

Ссылки

• Делинь, Пьер (1970), Equations Différentielles à Points Singuliers Réguliers, Конспекты лекций по математике, том. 163, Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0061194, ISBN. 3540051902, MR  0417174, OCLC  169357
• Делинь, Пьер (1971), «Теория де Ходж II», Опубл. Математика. IHÉS , 40 : 5–57, doi : 10.1007/BF02684692, MR  0498551, S2CID  118967613
• Эно, Элен ; Фивег, Эккарт (1992), Лекции по теоремам об исчезновении , Биркхойзер, doi : 10.1007/978-3-0348-8600-0, ISBN 978-3-7643-2822-1, г-н  1193913
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994) [1978], Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library, Wiley Interscience, doi : 10.1002/9781118032527, ISBN 0-471-05059-8, МР  0507725
• Питерс, Крис AM; Стинбринк, Джозеф Х.М. (2008), Смешанные структуры Ходжа , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге / Серия современных обзоров по математике, вып. 52, Спрингер, номер документа : 10.1007/978-3-540-77017-6, ISBN 978-3-540-77017-6, г-н  2393625

Внешние ссылки

• Айзе Йохан де Йонг , Алгебраические когомологии де Рама.