Лоренц-фактор

Количество в релятивистской физике

Определение фактора Лоренца γ

Фактор Лоренца или член Лоренца (также известный как гамма-фактор ^[1] ) — это величина , которая выражает, насколько изменяются измерения времени, длины и других физических свойств объекта во время его движения. Выражение появляется в нескольких уравнениях специальной теории относительности и возникает при выводе преобразований Лоренца . Название происходит от его более раннего появления в лоренцевой электродинамике – в честь голландского физика Хендрика Лоренца . ^[2]

Обычно его обозначают γ (греческая строчная буква гамма ). Иногда (особенно при обсуждении сверхсветового движения ) коэффициент записывается как Γ (греческая заглавная гамма), а не как γ .

Определение

Фактор Лоренца γ определяется как ^[3]

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }},}$$

• v - относительная скорость между инерциальными системами отсчета,
• c – скорость света в вакууме,
• β — отношение v к c ,
• t — координатное время ,
• τ — собственное время для наблюдателя (измерение временных интервалов в собственной системе отсчета наблюдателя).

Это наиболее часто используемая на практике форма, хотя и не единственная (альтернативные формы см. ниже).

В дополнение к определению некоторые авторы определяют обратную величину ^[4]

$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};}$$

формулу сложения скоростей

Вхождение

Ниже приводится список формул специальной теории относительности, в которых γ используется как сокращение: ^{[3] [5]}

• Преобразование Лоренца : Самый простой случай — это усиление в направлении x (более общие формы, включая произвольные направления и вращения, не перечисленные здесь), которое описывает, как координаты пространства-времени изменяются от одной инерциальной системы координат с использованием координат ( x , y , z , t ). в другой ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) с относительной скоростью v :
  $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),\\[1ex]x'&=\gamma \left(x-vt\right).\end{aligned}}}$$

Следствием вышеуказанных преобразований являются результаты:

• Замедление времени : время ( ∆ t ′ ) между двумя тактами, измеренное в кадре, в котором движутся часы, больше, чем время ( ∆ t ) между этими тактами, измеренное в остальном кадре часов:
  $${\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.}$$
• Сокращение длины : длина (∆x′ ) объекта , измеренная в кадре, в котором он движется, короче, чем его длина ( ∆x ) в его собственном кадре покоя:
  $${\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .}$$

Применение закона сохранения импульса и энергии приводит к следующим результатам:

• Релятивистская масса : Масса m движущегося объекта зависитот _массы покоя m 0 : ${\displaystyle \gamma }$
  $${\displaystyle m=\gamma m_{0}.}$$
• Релятивистский импульс : соотношение релятивистского импульса принимает ту же форму, что и для классического импульса, но с использованием указанной выше релятивистской массы:
  $${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.}$$
• Релятивистская кинетическая энергия : соотношение релятивистской кинетической энергии принимает слегка измененную форму:
  $${\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}$$
  Как и функция от , нерелятивистский предел дает , как и ожидалось из ньютоновских соображений. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {v}{c}}}$ ${\textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$

Числовые значения

Фактор Лоренца γ как функция скорости. Его начальное значение равно 1 (когда v = 0 ); и когда скорость приближается к скорости света ( v → c ) γ неограниченно увеличивается ( γ → ∞) .

α (обратный фактор Лоренца) как функция скорости - дуга окружности

В таблице ниже в левом столбце скорости показаны как различные доли скорости света (т.е. в единицах c ). В среднем столбце указан соответствующий коэффициент Лоренца, в последнем — обратный. Значения, выделенные жирным шрифтом, являются точными.

Альтернативные представления

Есть и другие способы записи фактора. Выше использовалась скорость v , но могут оказаться удобными и связанные с ней переменные, такие как импульс и быстрота .

Импульс

Решение предыдущего уравнения релятивистского импульса для γ приводит к

$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

распределении Максвелла-Юттнера^[6]

Быстрота

Применяя определение быстроты как гиперболического угла : ^[7] ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \tanh \varphi =\beta }$$

γгиперболических тождеств

$${\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}$$

Используя свойство преобразования Лоренца , можно показать, что быстрота аддитивна, а это полезное свойство, которого нет у скорости. Таким образом, параметр быстроты образует однопараметрическую группу , являющуюся основой физических моделей.

Функция Бесселя

Тождество Банни представляет фактор Лоренца в терминах бесконечной серии функций Бесселя : ^[8]

$${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(J_{m-1}^{2}(m\beta )+J_{m+1}^{2}(m\beta )\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}$$

Расширение серии (скорость)

Фактор Лоренца имеет ряд Маклорена :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\[1ex]&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\[1ex]&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\end{aligned}}}$$

биномиального ряда

Приближение может быть использовано для расчета релятивистских эффектов на малых скоростях. Он сохраняется с точностью до 1% для v  < 0,4  c ( v  < 120 000 км/с) и с точностью до 0,1 % для v  < 0,22  c ( v  < 66 000 км/с). ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$

Усеченные версии этой серии также позволяют физикам доказать, что специальная теория относительности сводится к механике Ньютона на низких скоростях. Например, в специальной теории относительности выполняются следующие два уравнения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=\gamma m\mathbf {v} ,\\E&=\gamma mc^{2}.\end{aligned}}}$$

Для и соответственно они сводятся к своим ньютоновским эквивалентам: ${\displaystyle \gamma \approx 1}$ ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=m\mathbf {v} ,\\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}.\end{aligned}}}$$

Уравнение фактора Лоренца также можно обратить, чтобы получить

$${\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}.}$$

$${\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots \,.}$$

Первые два члена иногда используются для быстрого расчета скорости по большим значениям γ . Аппроксимация сохраняется с точностью до 1% для γ > 2 и с точностью до 0,1% для γ > 3,5 . ${\textstyle \beta \approx 1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}}$

Приложения в астрономии

Стандартная модель длительных гамма-всплесков (GRB) утверждает, что эти взрывы являются ультрарелятивистскими (начальное значение γ больше примерно 100), что призвано объяснить так называемую проблему «компактности»: отсутствие этой ультрарелятивистской При расширении выброс будет оптически толстым для образования пар при типичных пиковых спектральных энергиях в несколько 100 кэВ, тогда как мгновенное излучение не является тепловым. ^[9]

Мюоны , субатомные частицы, движутся с такой скоростью, что имеют относительно высокий фактор Лоренца и, следовательно, испытывают чрезвычайное замедление времени . Поскольку среднее время жизни мюонов составляет всего 2,2  мкс , мюоны, генерируемые в результате столкновений космических лучей на высоте 10 км (6,2 мили) в атмосфере Земли, должны быть необнаружимы на Земле из-за скорости их распада. Однако примерно 10% мюонов от этих столкновений все еще можно обнаружить на поверхности, что демонстрирует влияние замедления времени на скорость их распада. ^[10]

Смотрите также

• Инерциальная система отсчета
• Правильная скорость
• Псевдобыстрота

Рекомендации

1. "Гамма-фактор". webs.morningside.edu . Проверено 14 января 2024 г.
2. Тайсон, Нил де Грасс ; Лю, Чарльз Цун-Чу ; Ирион, Роберт. «Специальная теория относительности». Одна Вселенная . Национальные академии наук, техники и медицины . Архивировано из оригинала 25 июля 2021 г. Проверено 6 января 2024 г.
3. Форшоу, Джеффри; Смит, Гэвин (2014). Динамика и относительность. Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-1-118-93329-9.
4. Яаков Фридман, Физические применения однородных шаров , Прогресс в математической физике 40 Биркхойзер, Бостон, 2004, страницы 1-21.
5. Янг; Фридман (2008). Физика Университета Сирса и Земански (12-е изд.). Пирсон Эд. и Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-50130-1.
6. Synge, JL (1957). Релятивистский газ. Серия по физике. Северная Голландия. ЛЦН 57-003567
7. Кинематика. Архивировано 21 ноября 2014 г. в Wayback Machine , автор: Дж. Д. Джексон . Определение скорости см. на стр. 7.
8. Кэмерон Р. Д. Банни и Йорма Луко, класс 2023 года. Квантовая гравитация. 40 155001
9. Ценко, С.Б.; и другие. (2015). «iPTF14yb: первое открытие послесвечения гамма-всплеска, независимого от высокоэнергетического триггера». Письма астрофизического журнала . 803 (L24): 803.arXiv : 1504.00673 . Бибкод : 2015ApJ...803L..24C. дои : 10.1088/2041-8205/803/2/L24.
10. «Мюонный эксперимент в теории относительности». HyperPhysics.Phy-Astr.GSU.edu . Проверено 6 января 2024 г.

Внешние ссылки

• Меррифилд, Майкл. «γ – Фактор Лоренца (и замедление времени)». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
• Меррифилд, Майкл. «γ2 – Гамма-перезагрузка». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .