Форма волны Мааса

Комплекснозначные гладкие функции верхней полуплоскости (тема гармонического анализа)

В математике формы Маасса или волновые формы Маасса изучаются в теории автоморфных форм . Формы Маасса — это комплекснозначные гладкие функции верхней полуплоскости, которые преобразуются аналогичным образом под действием дискретной подгруппы как модулярные формы. Они являются собственными формами гиперболического оператора Лапласа, определенного на и удовлетворяющего определенным условиям роста на вершинах фундаментальной области . В отличие от модулярных форм, формы Маасса не обязательно должны быть голоморфными. Впервые они были изучены Гансом Маасом в 1949 году. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Общие замечания

Группа

${\displaystyle G:=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {R} ):ad-bc=1\right\}}$

действует на верхней полуплоскости

${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

дробно-линейными преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Его можно расширить до операции, определив: ${\displaystyle \mathbb {H} \cup \{\infty \}\cup \mathbb {\mathbb {R} } }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\begin{cases}{\frac {az+b}{cz+d}}&{\text{if }}cz+d\neq 0,\\\infty &{\text{if }}cz+d=0,\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot \infty :=\lim _{\operatorname {Im} (z)\to \infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\begin{cases}{\frac {a}{c}}&{\text{if }}c\neq 0\\\infty &{\text{if }}c=0\end{cases}}}$

Мера Радона

${\displaystyle d\mu (z):={\frac {dxdy}{y^{2}}}}$

определено на инвариантно относительно операции . ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Пусть будет дискретной подгруппой группы . Фундаментальная область для является открытым множеством , так что существует система представителей с ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\subset \mathbb {H} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$

${\displaystyle F\subset R\subset {\overline {F}}{\text{ and }}\mu ({\overline {F}}\setminus F)=0.}$

Фундаментальная область для модулярной группы задается формулой ${\displaystyle \Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle F:=\left\{z\in \mathbb {H} \mid \left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\frac {1}{2}},|z|>1\right\}}$

(см. Модульная форма ).

Функция называется -инвариантной, если выполняется для всех и всех . ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z)}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$

Для каждой измеримой, -инвариантной функции уравнение ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{F}f(z)\,d\mu (z)=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z)\,d\mu (z),}$

выполняется. Здесь мера в правой части уравнения является индуцированной мерой на частном ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} .}$

Классические формы Мааса

Определение гиперболического оператора Лапласа

Гиперболический оператор Лапласа определяется как ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \Delta :C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),}$

${\displaystyle \Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

Определение формы Мааса

Форма Мааса для группы — это комплекснозначная гладкая функция , удовлетворяющая ${\displaystyle \Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

1. ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z){\text{ for all }}\gamma \in \Gamma (1),\qquad z\in \mathbb {H} }$
2. ${\displaystyle {\text{there exists }}\lambda \in \mathbb {C} {\text{ with }}\Delta (f)=\lambda f}$
3. ${\displaystyle {\text{there exists }}N\in \mathbb {N} {\text{ with }}f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N}){\text{ for }}y\geq 1}$

Если

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{\text{ for all }}z\in \mathbb {H} }$

мы называем форму бугорка Мааса. ${\displaystyle f}$

Связь между формами Мааса и рядами Дирихле

Пусть будет формой Мааса. Так как ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \gamma :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)}$

у нас есть:

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {H} :\qquad f(z)=f(\gamma z)=f(z+1).}$

Поэтому имеет разложение Фурье вида ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx},}$

с коэффициентными функциями ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} .}$

Легко показать, что является формой возврата Мааса тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{0}(y)=0\;\;\forall y>0}$

Мы можем точно вычислить коэффициентные функции. Для этого нам понадобится функция Бесселя . ${\displaystyle K_{v}}$

Определение: Функция Бесселя определяется как ${\displaystyle K_{v}}$

${\displaystyle K_{s}(y):={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {y(t+t^{-1})}{2}}}t^{s}{\frac {dt}{t}},\qquad s\in \mathbb {C} ,y>0.}$

Интеграл сходится локально равномерно абсолютно при и неравенство ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle K_{s}(y)\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatorname {Re} (s)}(2)}$

справедливо для всех . ${\displaystyle y>4}$

Следовательно, уменьшается экспоненциально для . Кроме того, для всех имеем . ${\displaystyle |K_{s}|}$ ${\displaystyle y\to \infty }$ ${\displaystyle K_{-s}(y)=K_{s}(y)}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,y>0}$

Теорема (коэффициенты Фурье форм Маасса)  —  Пусть — собственное значение формы Маасса, соответствующее Существуют , единственные с точностью до знака, такие, что . Тогда коэффициенты Фурье для равны ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta .}$ ${\displaystyle \nu \in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{4}}-\nu ^{2}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}(y)&=c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)\quad c_{n}\in \mathbb {C} &&n\neq 0\\a_{0}(y)&=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }\quad c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} &&n=0\end{aligned}}}$$

Доказательство: У нас есть

${\displaystyle \Delta (f)=\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f.}$

По определению коэффициентов Фурье получаем

${\displaystyle a_{n}(y)=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx}$

для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

Вместе это следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}(y)&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\right)\\[4pt]&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\[4pt]&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}}$

для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

В (1) мы использовали, что n- й коэффициент Фурье для первого члена суммирования. Во втором члене мы изменили порядок интегрирования и дифференцирования, что допускается, поскольку f является гладкой по y. Получаем линейное дифференциальное уравнение второй степени: ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$ ${\displaystyle (2\pi in)^{2}a_{n}(y)}$

${\displaystyle y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2}\right)a_{n}(y)=0}$

Ибо можно показать, что для каждого решения существуют уникальные коэффициенты со свойством ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }.}$

Для каждого решения есть коэффициенты вида ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi |n|y)}$

для уникального . Здесь и — функции Бесселя. ${\displaystyle c_{n},d_{n}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K_{v}(s)}$ ${\displaystyle I_{v}(s)}$

Функции Бесселя растут экспоненциально, в то время как функции Бесселя убывают экспоненциально. Вместе с условием полиномиального роста 3) мы получаем (также ) для уникального . QED ${\displaystyle I_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle f:a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)}$ ${\displaystyle d_{n}=0}$ ${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$

Чётные и нечётные формы Маасса: Пусть . Тогда i действует на все функции по и коммутирует с гиперболическим Лапласианом. Форма Маасса называется чётной, если и нечётной, если . Если f — форма Маасса, то — чётная форма Маасса и нечётная форма Маасса, и выполняется условие . ${\displaystyle i(z):=-{\overline {z}}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle i(f):=f(i(z))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i(f)=f}$ ${\displaystyle i(f)=-f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f+i(f))}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$ ${\displaystyle f={\tfrac {1}{2}}(f+i(f))+{\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$

Теорема: L-функция формы Мааса

Позволять

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n\neq 0}c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)e^{2\pi inx}}$

быть формой Мааса. Мы определяем L-функцию как ${\displaystyle f}$

${\displaystyle L(s,f)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}.}$

Тогда ряд сходится при и мы можем продолжить его до целой функции на . ${\displaystyle L(s,f)}$ ${\textstyle \Re (s)>{\frac {3}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Если четное или нечетное, то получаем ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Lambda (s,f):=\pi ^{-s}\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon +\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon -\nu }{2}}\right)L(s,f).}$

Здесь если четно и если нечетно. Тогда удовлетворяет функциональному уравнению ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon =-1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda (s,f)=(-1)^{\varepsilon }\Lambda (1-s,f).}$

Пример: неголоморфный ряд Эйзенштейна E

Неголоморфный ряд Эйзенштейна определяется для и как ${\displaystyle z=x+iy\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle E(z,s):=\pi ^{-s}\Gamma (s){\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}}$

где - гамма-функция . ${\displaystyle \Gamma (s)}$

Ряд сходится абсолютно в при и локально равномерно в , поскольку можно показать, что ряд ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \times \{\Re (s)>1\}}$

${\displaystyle S(z,s):=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{|mz+n|^{s}}}}$

сходится абсолютно в , если . Точнее, он сходится равномерно на каждом множестве , для каждого компактного множества и каждого . ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \Re (s)>2}$ ${\displaystyle K\times \{\Re (s)\geq \alpha \}}$ ${\displaystyle K\subset \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \alpha >2}$

Ээто форма Мааса

Мы показываем только -инвариантность и дифференциальное уравнение. Доказательство гладкости можно найти в Deitmar или Bump. Условие роста следует из разложения Фурье ряда Эйзенштейна. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Сначала покажем -инвариантность. Пусть ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}}$

быть стабилизирующей группой, соответствующей операции на . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \cup \{\infty \}}$

Предложение. E является -инвариантным. ${\displaystyle \Gamma (1)}$

Доказательство. Определить:

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}.}$

(а) сходится абсолютно в для и ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s).}$

С

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)\Longrightarrow \Im (\gamma z)={\frac {\Im (z)}{|cz+d|^{2}}},}$

мы получаем

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.}$

Это доказывает абсолютную сходимость в для ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

Кроме того, следует, что

${\displaystyle \zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}},}$

так как карта

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:(x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\\(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)\end{cases}}}$

является биекцией (а) следует.

(б) У нас для всех . ${\displaystyle E(\gamma z,s)=E(z,s)}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$

Ибо мы получаем ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)}$

${\displaystyle {\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im ({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(z,s).}$

Вместе с (а) также инвариантен относительно . КЭД ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma (1)}$

Предложение. E — собственная форма гиперболического оператора Лапласа

Нам понадобится следующая лемма:

Лемма: коммутирует с операцией на . Точнее для всех имеем: ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle L_{g}\Delta =\Delta L_{g}.}$

Доказательство: Группа образована элементами вида ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {R} ^{\times };\quad {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R} ;\quad S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.}$

Вычисляем требование для этих генераторов и получаем требование для всех . QED ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Поскольку достаточно показать дифференциальное уравнение для . Имеем: ${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)}$

Кроме того, есть

${\displaystyle \Delta \left(\Im (z)^{s}\right)=\Delta (y^{s})=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}}\right)=s(1-s)y^{s}.}$

Поскольку оператор Лапласа коммутирует с операцией , получаем ${\displaystyle \Gamma (1)}$

${\displaystyle \forall \gamma \in \Gamma (1):\quad \Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)=s(1-s)\Im (\gamma z)^{s}}$

и так

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s).}$

Следовательно, дифференциальное уравнение справедливо для E в . Чтобы получить утверждение для всех , рассмотрим функцию . Явно вычисляя разложение Фурье этой функции, получаем, что она мероморфна. Поскольку она обращается в нуль для , она должна быть нулевой функцией по теореме о тождестве . ${\displaystyle \Re (s)>3}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>3}$

Разложение ФурьеЭ

Неголоморфный ряд Эйзенштейна имеет разложение Фурье

${\displaystyle E(z,s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y,s)e^{2\pi inx}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}(y,s)&=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^{1-s}\\a_{n}(y,s)&=2|n|^{s-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}(|n|){\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi |n|y)&&n\neq 0\end{aligned}}}$

Если , имеет мероморфное продолжение на . Он голоморфен, за исключением простых полюсов в ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle E(z,s)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s=0,1.}$

Ряд Эйзенштейна удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle E(z,s)=E(z,1-s)}$

для всех . ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$

Локально равномерно в условиях роста ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle E(x+iy,s)={\mathcal {0}}(y^{\sigma })}$

держит, где ${\displaystyle \sigma =\max(\operatorname {Re} (s),1-\operatorname {Re} (s)).}$

Мероморфное продолжение E очень важно в спектральной теории гиперболического оператора Лапласа.

Массовые формы весак

Подгруппы конгруэнтности

Пусть будет ядром канонической проекции ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Gamma (N)}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).}$

Мы называем главную конгруэнтную подгруппу уровня . Подгруппа называется конгруэнтной подгруппой, если существует , так что . Все конгруэнтные подгруппы дискретны. ${\displaystyle \Gamma (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Gamma (N)\subseteq \Gamma }$

Позволять

${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}:=\Gamma (1)/\{\pm 1\}.}$

Для конгруэнтной подгруппы пусть будет образом в . Если S — система представителей , то ${\displaystyle \Gamma ,}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\backslash {\overline {\Gamma (1)}}}$

${\displaystyle SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D}$

является фундаментальной областью для . Множество однозначно определяется фундаментальной областью . Кроме того, является конечным. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle SD}$ ${\displaystyle S}$

Точки для называются точками возврата фундаментальной области . Они являются подмножеством . ${\displaystyle \gamma \infty }$ ${\displaystyle \gamma \in S}$ ${\displaystyle SD}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$

Для каждого каспа существует с . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (1)}$ ${\displaystyle \sigma \infty =c}$

Массовые формы весак

Пусть будет конгруэнтной подгруппой и ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Мы определяем гиперболический оператор Лапласа веса как ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \Delta _{k}:C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),}$

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$

Это обобщение гиперболического оператора Лапласа . ${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta }$

Мы определяем операцию on с помощью ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {H} )}$

${\displaystyle f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(gz)}$

где

${\displaystyle z\in \mathbb {H} ,g={\begin{pmatrix}\ast &\ast \\c&d\\\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ).}$

Можно показать, что

${\displaystyle (\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)}$

справедливо для всех и каждого . ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ),k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Следовательно, действует на векторное пространство ${\displaystyle \Delta _{k}}$

${\displaystyle C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k):=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ):f_{||k}\gamma =f\forall \gamma \in \Gamma \}}$.

Определение. Форма Маасса веса для — это функция , которая является собственной функцией и имеет умеренный рост в точках возврата. ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$

Термин умеренный рост в точках возврата требует пояснения. Бесконечность является точкой возврата для функции имеет умеренный рост в , если ограничена полиномом по y при . Пусть будет другой точкой возврата. Тогда существует с . Пусть . Тогда , где — конгруэнт-подгруппа . Мы говорим, что имеет умеренный рост в точке возврата , если имеет умеренный рост в . ${\displaystyle \Gamma ,}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(x+iy)}$ ${\displaystyle y\to \infty }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \theta \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \theta (\infty )=c}$ ${\displaystyle f':=f_{||k}\theta }$ ${\displaystyle f'\in C^{\infty }(\Gamma '\backslash \mathbb {H} ,k)}$ ${\displaystyle \Gamma '}$ ${\displaystyle \theta ^{-1}\Gamma \theta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \infty }$

Определение. Если содержит главную конгруэнтную подгруппу уровня , то мы говорим, что она каспидальна в бесконечности, если ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {H} :\quad \int _{0}^{N}f(z+u)du=0.}$

Мы говорим, что каспидальна в точке каспида , если каспидальна в бесконечности. Если каспидальна в каждой точке каспида, мы называем каспидальной формой . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Приведем простой пример формы веса Мааса для модульной группы: ${\displaystyle k>1}$

Пример. Пусть — модулярная форма равномерного веса для Тогда — форма Маасса веса для группы . ${\displaystyle g:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma (1).}$ ${\displaystyle f(z):=y^{\frac {k}{2}}g(z)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma (1)}$

Спектральная проблема

Пусть будет конгруэнтной подгруппой и пусть будет векторным пространством всех измеримых функций с для всех удовлетворяющих ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f_{||k}\gamma =f}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

${\displaystyle \|f\|^{2}:=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }|f(z)|^{2}d\mu (z)<\infty }$

Функции по модулю с Интеграл хорошо определен, поскольку функция -инвариантна . Это гильбертово пространство со скалярным произведением ${\displaystyle \|f\|=0.}$ ${\displaystyle |f(z)|^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z){\overline {g(z)}}d\mu (z).}$

Оператор может быть определен в векторном пространстве , плотном в . Существует положительно полуопределенный симметричный оператор. Можно показать, что существует единственное самосопряженное продолжение на ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle B\subset L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).}$

Определим как пространство всех касповых форм Тогда действует на и имеет дискретный спектр. Спектр, принадлежащий ортогональному дополнению, имеет непрерывную часть и может быть описан с помощью (модифицированных) неголоморфных рядов Эйзенштейна, их мероморфных продолжений и их остатков. (См. Bump или Iwaniec). ${\displaystyle C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$

Если — дискретная (без кручения) подгруппа , так что фактор компактен, спектральная задача упрощается. Это происходит потому, что дискретная кокомпактная подгруппа не имеет каспов. Здесь все пространство является суммой собственных пространств. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$

Встраивание в пространствоЛ2(Г \Г)

${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$— локально компактная унимодулярная группа с топологией Пусть — конгруэнц-подгруппа. Так как дискретна в , то она также замкнута в . Группа унимодулярна, и так как мера подсчета является мерой Хаара на дискретной группе , также унимодулярна. По формуле частного интеграла существует -правоинвариантная мера Радона на локально компактном пространстве . Пусть — соответствующее -пространство. Это пространство разлагается в прямую сумму гильбертова пространства: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$

где

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k):=\left\{\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G)\mid \phi (xk_{\theta })=e^{ik\theta }F(x)\forall x\in \Gamma \backslash G\forall \theta \in \mathbb {R} \right\}}$

и

${\displaystyle k_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\\\end{pmatrix}}\in SO(2),\theta \in \mathbb {R} .}$

Гильбертово пространство может быть изометрически вложено в гильбертово пространство . Изометрия задается отображением ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{k}:L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\to L^{2}(\Gamma \backslash G,k)\\\psi _{k}(f)(g):=f_{||k}\gamma (i)\end{cases}}}$

Следовательно, все формы каспов Маасса для группы конгруэнтности можно рассматривать как элементы . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$— гильбертово пространство, несущее операцию группы , так называемое правое регулярное представление: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle R_{g}\phi :=\phi (xg),{\text{ where }}x\in \Gamma \backslash G{\text{ and }}\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G).}$

Можно легко показать, что является унитарным представлением в гильбертовом пространстве . Интересует разложение на неприводимые подпредставления. Это возможно только если кокомпактно. В противном случае также существует непрерывная гильбертово-интегральная часть. Интересно то, что решение этой задачи также решает спектральную проблему форм Мааса. (см. Bump, C. 2.3) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Форма бугорка Мааса

Форма Мааса каспа , подмножество форм Мааса, представляет собой функцию на верхней полуплоскости , которая преобразуется как модулярная форма , но не обязательно должна быть голоморфной . Впервые они были изучены Гансом Маасом в Maass (1949).

Определение

Пусть k — целое число, s — комплексное число, а Γ — дискретная подгруппа SL 2 ( R ) . Форма Мааса веса k для Γ с собственным значением Лапласа s — это гладкая функция из верхней полуплоскости в комплексные числа , удовлетворяющая следующим условиям:

• Для всех и каждого у нас есть ${\displaystyle \gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k}f(z).}$
• Имеем , где вес k гиперболического Лапласа определяется как ${\displaystyle \Delta _{k}f=sf}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ $${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$$
• Функция имеет максимум полиномиальный рост в точках возврата . ${\displaystyle f}$

Слабая форма Мааса определяется аналогично, но третье условие заменяется на «Функция имеет не более чем линейный экспоненциальный рост в точках возврата». Более того, называется гармонической , если она уничтожается оператором Лапласа. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Основные результаты

Пусть будет формой Мааса с весом 0. Ее нормализованный коэффициент Фурье при простом p ограничен p ^7/64 + p ^−7/64 . Эта теорема принадлежит Генри Киму и Питеру Сарнаку . Она является приближением к гипотезе Рамануджана-Петерссона . ${\displaystyle f}$

Более высокие измерения

Формы Мааса каспа можно рассматривать как автоморфные формы на GL(2). Естественно определить формы Мааса каспа на GL( n ) как сферические автоморфные формы на GL( n ) над полем рациональных чисел. Их существование доказано Миллером, Мюллером и т. д.

Автоморфные представления группы аделей

Группа ГЛ2(А)

Пусть будет коммутативным кольцом с единицей и пусть будет группой матриц с элементами в и обратимым определителем. Пусть будет кольцом рациональных аделей, кольцом конечных (рациональных) аделей и для простого числа пусть будет полем p -адических чисел. Кроме того, пусть будет кольцом p -адических целых чисел (см. кольцо аделей ). Определим . Обе и являются локально компактными унимодулярными группами, если снабдить их топологиями подпространств соответственно . Тогда: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G_{R}:=\mathrm {GL} _{2}(R)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\text{fin}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle G_{p}:=G_{\mathbb {Q} _{p}}}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle G_{\text{fin}}:=G_{\mathbb {A} _{\text{fin}}}\cong {\widehat {\prod _{p<\infty }^{K_{p}}}}G_{p}.}$

Правая часть — ограниченное произведение, касающееся компактных открытых подгрупп . Тогда локально компактная группа, если мы снабдим ее топологией ограниченного произведения. ${\displaystyle K_{p}:=G_{\mathbb {Z} _{p}}}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$

Группа изоморфна ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$

${\displaystyle G_{\text{fin}}\times G_{\mathbb {R} }}$

и является локально компактной группой с топологией произведения, поскольку и оба локально компактны. ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$

Позволять

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p<\infty }\mathbb {Z} _{p}.}$

Подгруппа

${\displaystyle G_{\widehat {\mathbb {Z} }}:=\prod _{p<\infty }K_{p}}$

является максимальной компактной, открытой подгруппой и может рассматриваться как подгруппа , когда мы рассматриваем вложение . ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle x_{\text{fin}}\mapsto (x_{\text{fin}},1_{\infty })}$

Мы определяем как центр , то есть это группа всех диагональных матриц вида , где . Мы думаем о как о подгруппе , поскольку мы можем вложить группу в . ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle G_{\infty }}$ ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &\\&\lambda \\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle z\mapsto (1_{G_{\text{fin}}},z)}$

Группа вложена диагонально в , что возможно, поскольку все четыре элемента a могут иметь только конечное количество простых делителей и, следовательно, для всех, кроме конечного числа простых чисел . ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle x\in G_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle x\in K_{p}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$

Пусть будет группой всех с . (см. Кольцо Адели для определения абсолютного значения иделя). Можно легко вычислить, что является подгруппой . ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$ ${\displaystyle x\in G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle |\det(x)|=1}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$

С помощью карты один к одному мы можем идентифицировать группы и друг друга. ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}\hookrightarrow G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }}$

Группа плотна в и дискретна в . Фактор не компактен, но имеет конечную меру Хаара. ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }=G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$

Следовательно, представляет собой решетку, подобную классическому случаю модулярной группы и . С помощью гармонического анализа также получается, что является унимодулярной. ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1},}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$

Аделизация бугорков

Теперь мы хотим встроить классические формы Мааса каспа веса 0 для модулярной группы в . Этого можно добиться с помощью «теоремы сильного приближения», которая утверждает, что отображение ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }}$

${\displaystyle \psi :G_{\mathbb {Z} }x_{\infty }\mapsto G_{\mathbb {Q} }(1,x_{\infty })G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$

является -эквивариантным гомеоморфизмом. Итак, мы получаем ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$

${\displaystyle G_{\mathbb {Z} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$

и более того

${\displaystyle G_{\mathbb {Z} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}.}$

Формы Мааса веса 0 для модульной группы могут быть встроены в

${\displaystyle L^{2}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ))\cong L^{2}(\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )Z_{\mathbb {R} }\backslash \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {R} )).}$

По теореме о сильной аппроксимации это пространство унитарно изоморфно

${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }})\cong L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })^{G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}}$

который является подпространством ${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }).}$

Таким же образом можно вложить классические голоморфные касповые формы. С небольшим обобщением теоремы аппроксимации можно вложить все касповые формы Маасса (а также голоморфные касповые формы) любого веса для любой подгруппы конгруэнции в . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$

Пространство автоморфных форм мы называем группой аделей. ${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$

Формы куспида группы адель

Пусть будет кольцом и пусть будет группой всех , где . Эта группа изоморфна аддитивной группе кольца R . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N_{R}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&r\\&1\\\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle r\in R}$

Мы называем функцию касповой формой, если ${\displaystyle f\in L^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})}$

${\displaystyle \int _{N_{\mathbb {Q} }\backslash N_{\mathbb {A} }}f(nx)dn=0}$

выполняется для почти всех . Пусть (или просто ) будет векторным пространством этих касповых форм. является замкнутым подпространством и инвариантно относительно правого регулярного представления ${\displaystyle x\in G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$ ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})}$ ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$ ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}.}$

Снова возникает интерес к разложению на неприводимые замкнутые подпространства. ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$

Имеем следующую теорему :

Пространство разлагается в прямую сумму неприводимых гильбертовых пространств с конечными кратностями : ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$ ${\displaystyle N_{\text{cusp}}(\pi )\in \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}={\widehat {\bigoplus _{\pi \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}}}N_{\text{cusp}}(\pi )\pi }$

Вычисление этих кратностей является одной из важнейших и самых сложных задач в теории автоморфных форм. ${\displaystyle N_{\text{cusp}}(\pi )}$

Куспидальные представления группы Адель

Неприводимое представление группы называется каспидальнм, если оно изоморфно подпредставлению . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$

Неприводимое представление группы называется допустимым, если существует компактная подгруппа группы , такая, что для всех . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subset G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle \dim _{K}(V_{\pi },V_{\tau })<\infty }$ ${\displaystyle \tau \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}$

Можно показать, что каждое каспидальнoe представление допустимо.

Допустимость необходима для доказательства так называемой теоремы о тензорном произведении, которая гласит, что каждое неприводимое, унитарное и допустимое представление группы изоморфно бесконечному тензорному произведению ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$

${\displaystyle \bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}.}$

Это неприводимые представления группы . Почти все они должны быть разветвлены. ${\displaystyle \pi _{p}}$ ${\displaystyle G_{p}}$

(Представление группы называется неразветвленным, если векторное пространство ${\displaystyle \pi _{p}}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle (p<\infty )}$

${\displaystyle V_{\pi _{p}}^{K_{p}}=\left\{v\in V_{\pi _{p}}\mid \pi _{p}(k)v=v\forall k\in K_{p}\right\}}$

(Это не нулевое пространство.)

Построение бесконечного тензорного произведения можно найти в Deitmar,C.7.

Автоморфные L-функции

Пусть — неприводимое, допустимое унитарное представление группы . По теореме о тензорном произведении имеет вид (см. каспидальные представления группы аделей) ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle \pi =\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}}$

Пусть будет конечным множеством мест, содержащим и все разветвленные места. Определяется глобальная функция Гекке как ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle L^{S}(s,\pi ):=\prod _{p\notin S}L(s,\pi _{p})}$

где — так называемая локальная L-функция локального представления . Построение локальных L-функций можно найти в Deitmar C. 8.2. ${\displaystyle L(s,\pi _{p})}$ ${\displaystyle \pi _{p}}$

Если — каспидальнoe представление, то L-функция имеет мероморфное продолжение на . Это возможно, поскольку , удовлетворяет некоторым функциональным уравнениям. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L^{S}(s,\pi )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L^{S}(s,\pi )}$

Смотрите также

• Гармоническая форма Мааса
• Макет модульной формы
• Реальный аналитический сериал Эйзенштейна
• Автоморфная форма
• Модульная форма
• формула Вороного

Ссылки

• Брингманн, Катрин ; Фолсом, Аманда (2014), «Почти гармонические формы Мааса и характеры Каца – Вакимото», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2014 (694): 179–202, arXiv : 1112.4726 , doi : 10.1515/crelle-2012-0102, МР  3259042, S2CID  54896147
• Бамп, Дэниел (1997), Автоморфные формы и представления , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 55, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511609572, ISBN 978-0-521-55098-7, МР  1431508
• Антон Дейтмар: Автоморф Формен . Шпрингер, Берлин/Гейдельберг, 2010 г., ISBN 978-3-642-12389-4 . 
• Дьюк, В .; Фридлендер, JB ; Иванец, Х. (2002), «Проблема подвыпуклости для L -функций Артина», Inventiones Mathematicae , 149 (3): 489–577, Bibcode : 2002InMat.149..489D, doi : 10.1007/s002220200223, MR  1923476, S2CID  121720199
• Генрик Иванец  : Спектральные методы автоморфных форм (Аспирантура по математике) . Американское математическое общество ; Auflage: 2. (ноябрь 2002 г.), ISBN 978-0821831601 . 
• Маасс, Ганс (1949), «Über eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen», Mathematische Annalen , 121 : 141–183,  doi : 10.1007/BF01329622, MR  0031519, 119494842