В математике арифметика абелевых многообразий — это изучение теории чисел абелева многообразия или семейства абелевых многообразий. Она восходит к исследованиям Пьера де Ферма того, что сейчас признано эллиптическими кривыми ; и стала весьма существенной областью арифметической геометрии как с точки зрения результатов, так и гипотез. Большинство из них можно сформулировать для абелева многообразия A над числовым полем K ; или в более общем смысле (для глобальных полей или более общих конечно-порожденных колец или полей).
Здесь есть некоторое напряжение между концепциями: целая точка принадлежит в некотором смысле к аффинной геометрии , в то время как абелево многообразие по своей сути определено в проективной геометрии . Основные результаты, такие как теорема Зигеля о целых точках , исходят из теории диофантовых приближений .
Основной результат, теорема Морделла–Вейля в диофантовой геометрии , гласит, что A ( K ), группа точек на A над K , является конечно-порожденной абелевой группой . Известен большой объем информации о ее возможных подгруппах кручения , по крайней мере, когда A является эллиптической кривой. Вопрос о ранге считается связанным с L-функциями (см. ниже).
Теория торсора здесь приводит к группе Сельмера и группе Тейта–Шафаревича , причем последняя (предположительно конечная) трудна для изучения.
Теория высот играет важную роль в арифметике абелевых многообразий. Например, каноническая высота Нерона–Тейта является квадратичной формой с замечательными свойствами, которые появляются в формулировке гипотезы Бирча и Суиннертона–Дайера .
Редукция абелева многообразия A по модулю простого идеала (целых чисел) K — скажем, простого числа p — для получения абелево многообразия A p над конечным полем возможна для почти всех p . Известно, что «плохие» простые числа, для которых редукция вырождается , приобретая особые точки , раскрывают очень интересную информацию. Как часто бывает в теории чисел, «плохие» простые числа играют довольно активную роль в теории.
Здесь не всегда можно обойтись без уточненной теории (фактически) правого сопряженного к редукции mod p — модели Нерона . В случае эллиптической кривой есть алгоритм Джона Тейта, описывающий ее.
Для абелевых многообразий, таких как A p , доступно определение локальной дзета-функции . Чтобы получить L-функцию для самого A, берется подходящее произведение Эйлера таких локальных функций; чтобы понять конечное число множителей для «плохих» простых чисел, нужно обратиться к модулю Тейта A, который является (двойственным) группе этальных когомологий H 1 (A), и действию группы Галуа на нем. Таким образом, получается солидное определение L-функции Хассе–Вейля для A. В целом ее свойства, такие как функциональное уравнение , все еще являются предположительными — гипотеза Таниямы–Шимуры (которая была доказана в 2001 году) была всего лишь частным случаем, так что это неудивительно.
Именно в терминах этой L-функции и выдвигается гипотеза Бирча и Суиннертона-Дайера . Это всего лишь один особенно интересный аспект общей теории о значениях L-функций L( s ) при целых значениях s , и существует множество эмпирических свидетельств, подтверждающих это.
Со времен Карла Фридриха Гаусса (который знал о случае функции лемнискаты ) была известна особая роль этих абелевых многообразий с дополнительными автоморфизмами и, в более общем смысле, эндоморфизмами. В терминах кольца существует определение абелева многообразия CM-типа , которое выделяет самый богатый класс. Они являются специальными в своей арифметике. Это видно по их L-функциям в довольно благоприятных условиях — требуемый гармонический анализ полностью относится к типу двойственности Понтрягина , а не требует более общих автоморфных представлений . Это отражает хорошее понимание их модулей Тейта как модулей Галуа . Это также затрудняет работу с ними в терминах предполагаемой алгебраической геометрии ( гипотеза Ходжа и гипотеза Тейта ). В этих задачах специальная ситуация более требовательна, чем общая.
В случае эллиптических кривых Kronecker Jugendtraum была программой, предложенной Леопольдом Кронекером , для использования эллиптических кривых типа CM для явного построения теории полей классов для мнимых квадратичных полей – таким образом, как корни из единицы позволяют сделать это для поля рациональных чисел. Это обобщает, но в некотором смысле с потерей явной информации (что типично для нескольких комплексных переменных ).
Гипотеза Манина–Мамфорда Юрия Манина и Дэвида Мамфорда , доказанная Мишелем Рейно [1] [ 2], утверждает, что кривая C в ее якобиевом многообразии J может содержать только конечное число точек, имеющих конечный порядок ( точку кручения ) в J , если только C = J. Существуют и другие более общие версии, такие как гипотеза Богомолова , которая обобщает это утверждение на точки без кручения.
