Эквивалентный радиус

Радиус круга или сферы, эквивалентный некруглому или несферическому объекту.

В прикладных науках эквивалентный радиус (или средний радиус ) — это радиус круга или сферы с тем же периметром, площадью или объемом, что и некруглый или несферический объект. Эквивалентный диаметр (или средний диаметр ) ( ) в два раза больше эквивалентного радиуса. ${\displaystyle D}$

Эквивалент периметра

Измерение окружности дерева, лента калибрована для указания диаметра, на высоте груди. Лента принимает круглую форму.

Периметр круга радиусом R равен . Зная периметр некруглого объекта P , можно вычислить его эквивалентный периметру радиус , установив ${\displaystyle 2\pi R}$

${\displaystyle P=2\pi R_{\text{mean}}}$

или, альтернативно:

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\frac {P}{2\pi }}}$

Например, квадрат со стороной L имеет периметр . Приравнивая этот периметр к периметру круга, получаем, что ${\displaystyle 4L}$

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\frac {2L}{\pi }}\approx 0.6366L}$

Приложения:

• Размер шляпы в США — это окружность головы, измеренная в дюймах, деленная на число пи и округленная до ближайшей 1/8 дюйма. Это соответствует среднему диаметру 1D. ^[1]
• Диаметр на высоте груди — это окружность ствола дерева , измеренная на высоте 4,5 фута, деленная на число пи. Это соответствует среднему диаметру 1D. Его можно измерить непосредственно с помощью обхватной ленты. ^[2]

Эквивалент площади

Площадь поперечного сечения трапециевидного открытого канала, красным цветом выделен смоченный периметр , где вода контактирует с каналом. Гидравлический диаметр представляет собой эквивалентную круговую конфигурацию с той же окружностью, что и смоченный периметр.

Площадь круга радиусом R равна . Зная площадь некруглого объекта A , можно вычислить его эквивалентный радиус площади , установив ${\displaystyle \pi R^{2}}$

${\displaystyle A=\pi R_{\text{mean}}^{2}}$

или, альтернативно:

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

Часто рассматриваемая площадь представляет собой площадь поперечного сечения .

Например, квадрат со стороной L имеет площадь . Приравнивая эту площадь к площади круга, получаем, что ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}L\approx 0.3183L}$

Аналогично, эллипс с большой полуосью и малой полуосью имеет средний радиус . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt {a\cdot b}}}$

Для круга, где , это упрощается до . ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}=a}$

Приложения:

• Гидравлический диаметр определяется аналогично как 4-кратная площадь поперечного сечения трубы A , деленная на ее «смоченный» периметр P. Для круглой трубы радиусом R при полном потоке это

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4\pi R^{2}}{2\pi R}}=2R}$

как и следовало ожидать. Это эквивалентно приведенному выше определению 2D среднего диаметра. Однако по историческим причинам гидравлический радиус определяется как площадь поперечного сечения трубы A , деленная на ее смоченный периметр P , что приводит к , а гидравлический радиус составляет половину 2D среднего радиуса. ^[3] ${\displaystyle D_{\text{H}}=4R_{\mathbb {H} }}$

• В классификации агрегатов эквивалентный диаметр — это «диаметр круга с равной площадью сечения агрегата», который рассчитывается по формуле . Он используется во многих программах цифровой обработки изображений. ^[4] ${\displaystyle D=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

Эквивалент объема

Сфера (вверху), эллипсоид вращения (слева) и трехосный эллипсоид (справа)

Объем сферы радиусом R равен . Зная объем несферического объекта V , можно вычислить его эквивалентный радиус объема , установив ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R_{\text{mean}}^{3}}$

или, альтернативно:

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$

Например, куб со стороной L имеет объем . Приравнивая этот объем к объему сферы, получаем, что ${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4\pi }}}L\approx 0.6204L}$

Аналогично, трехосный эллипсоид с осями , и имеет средний радиус . ^[5] Формула для эллипсоида вращения является частным случаем, когда . Аналогично, сплющенный сфероид или эллипсоид вращения с осями и имеет средний радиус . ^[6] Для сферы, где , это упрощается до . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{a\cdot b\cdot c}}}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{a^{2}\cdot c}}}$ ${\displaystyle a=b=c}$ ${\displaystyle R_{\text{mean}}=a}$

Приложения:

• Для планеты Земля , которую можно аппроксимировать как сплющенный сфероид с радиусами6 378,1 км и6 356 .8 км , 3D средний радиус . ^[6] ${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6378.1^{2}\cdot 6356.8}}=6371.0{\text{ km}}}$

Другие эквивалентности

Аутентичный радиус — это радиус, эквивалентный площади поверхности для объемных фигур, таких как эллипсоид.

Соприкасающаяся окружность и соприкасающаяся сфера определяют радиусы кривизны , эквивалентные радиусам в конкретной точке касания для плоских фигур и объемных фигур соответственно.

Смотрите также

• Эквивалентный радиус антенны
• Эффективный радиус падения облаков
• Кубическое среднее
• Земной эллипсоид
• радиус Земли
• Эффективный радиус галактики
• Геоид
• Геометрическое среднее
• Полудиаметр

Ссылки

1. Белло, Игнасио; Бриттон, Джек Рольф (1993). Topics in Contemporary Mathematics (5-е изд.). Лексингтон, Массачусетс: DC Heath. стр. 512. ISBN 9780669289572.
2. West, PW (2004). "Диаметр ствола". Tree and Forest Measurement . New York: Springer. стр. 13 и далее. ISBN 9783540403906.
3. Вэй, Маосин; Чэн, Нянь-Шэн; Лу, Йешэн (октябрь 2023 г.). «Пересмотр концепции гидравлического радиуса». Журнал гидрологии . 625 (часть B): 130134. Bibcode : 2023JHyd..62530134W. doi : 10.1016/j.jhydrol.2023.130134.
4. Сан, Лицзюнь (2016). «Гомогенность асфальтобетонной смеси». Структурное поведение асфальтобетонных покрытий . С. 821–921. doi :10.1016/B978-0-12-849908-5.00013-4. ISBN 978-0-12-849908-5.
5. Leconte, J.; Lai, D.; Chabrier, G. (2011). «Искаженные, несферические транзитные планеты: влияние на глубину транзита и определение радиуса» (PDF) . Astronomy & Astrophysics . 528 (A41): 9. arXiv : 1101.2813 . Bibcode :2011A&A...528A..41L. doi :10.1051/0004-6361/201015811.
6. Chambat, F.; Valette, B. (2001). "Средний радиус, масса и инерция для эталонных моделей Земли" (PDF) . Physics of the Earth and Planetary Interiors . 124 (3–4): 4. Bibcode :2001PEPI..124..237C. doi :10.1016/S0031-9201(01)00200-X.