Проекция Меркатора

Cylindrical conformal map projection

Меркаторская проекция мира между 85°ю.ш. и 85°с.ш. Обратите внимание на сравнение размеров Гренландии и Африки.

Проекция Меркатора с индикатрисой деформации Тиссо .

Карта мира Меркатора 1569 года ( Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata ), показывающая широты от 66 ° южной широты до 80 ° северной широты.

Проекция Меркатора ( / m ər ˈ k eɪ t ər / ) — это цилиндрическая картографическая проекция , представленная фламандским географом и картографом Герардом Меркатором в 1569 году. Она стала стандартной картографической проекцией для навигации , поскольку она уникальна тем, что представляет север как верх, а юг как вниз повсюду, сохраняя при этом местные направления и формы. Таким образом, карта является конформной . В качестве побочного эффекта проекция Меркатора увеличивает размеры объектов вдали от экватора. Эта инфляция очень мала вблизи экватора, но ускоряется с увеличением широты и становится бесконечной на полюсах. В результате такие массивы суши, как Гренландия , Антарктида , Канада и Россия, кажутся намного больше, чем они есть на самом деле, по сравнению с массивами суши вблизи экватора, такими как Центральная Африка.

История

Есть некоторые разногласия по поводу происхождения Меркатора. Немецкий эрудит Эрхард Эцлауб выгравировал миниатюрные «компасные карты» (около 10 × 8 см) Европы и некоторых частей Африки, охватывающие широту 0–67 °, чтобы можно было регулировать свои портативные карманные солнечные часы . Проекция, найденная на этих картах и ​​датируемая 1511 годом, была заявлена ​​Джоном Снайдером ^[1] в 1987 году как та же проекция, что и проекция Меркатора. Однако, учитывая геометрию солнечных часов, эти карты вполне могли быть основаны на аналогичной центральной цилиндрической проекции , предельном случае гномонической проекции , которая является основой солнечных часов. В 1993 году Снайдер изменил свою оценку на «аналогичный прогноз». ^[2]

Джозеф Нидэм , историк Китая, предположил, что некоторые звездные карты китайской династии Сун , возможно, были основаны на проекции Меркатора; ^[3] однако это утверждение было представлено без доказательств, и историк астрономии Кадзухико Миядзима с помощью картометрического анализа пришел к выводу, что вместо этого на этих картах использовалась равноугольная проекция . ^[4]

Португальский математик и космограф Педро Нуньес первым описал математический принцип локсодрома и его использование в морской навигации . В 1537 году он предложил построить морской атлас, состоящий из нескольких крупномасштабных листов в равноугольной проекции, чтобы минимизировать искажение направлений. Если бы эти листы привести к одному масштабу и собрать, они бы приблизились к проекции Меркатора.

В 1569 году Герхард Кремер, известный под своим торговым именем Герард Меркатор, объявил о новой проекции, опубликовав большую планисферическую карту размером 202 на 124 см (80 на 49 дюймов), напечатанную на восемнадцати отдельных листах. Меркатор назвал карту Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata : «Новое и дополненное описание Земли, исправленное для использования моряками». Это название, а также подробное объяснение использования проекции, которая отображается в виде части текста на карте, показывает, что Меркатор точно понимал, чего он достиг, и что он намеревался использовать проекцию для облегчения навигации. Меркатор никогда не объяснял ни метод строительства, ни то, как он к нему пришел. На протяжении многих лет выдвигались различные гипотезы, но в любом случае дружба Меркатора с Педро Нуньесом и его доступ к локсодромным таблицам, созданным Нуньесом, вероятно, способствовали его усилиям.

Английский математик Эдвард Райт опубликовал первые точные таблицы для построения проекции в 1599 году, а более подробно — в 1610 году, назвав свой трактат «Некоторые ошибки в навигации». Первая математическая формулировка была опубликована около 1645 года математиком по имени Генри Бонд ( ок.  1600–1678 ). Однако соответствующие математические методы были разработаны, но никогда не публиковались математиком Томасом Харриотом примерно с 1589 года. ^[5]

Разработка проекции Меркатора стала крупным прорывом в морской картографии 16 века. Однако он значительно опередил свое время, поскольку старые навигационные и геодезические методы были несовместимы с его использованием в мореплавании. Две основные проблемы препятствовали его немедленному применению: невозможность определения долготы на море с достаточной точностью и тот факт, что в навигации использовались магнитные направления вместо географических . Лишь в середине XVIII века, после того как был изобретен морской хронометр и стало известно пространственное распределение магнитного склонения , проекция Меркатора смогла быть полностью принята мореплавателями.

Несмотря на эти ограничения в определении местоположения, проекцию Меркатора можно найти на многих картах мира спустя столетия после первой публикации Меркатора. Однако он начал доминировать на картах мира только в XIX веке, когда проблема определения местоположения была в основном решена. После того, как проекция Меркатора стала обычной проекцией для коммерческих и образовательных карт, она подверглась постоянной критике со стороны картографов за несбалансированное изображение суши и неспособность с пользой показать полярные регионы.

Критика, высказанная в адрес ненадлежащего использования проекции Меркатора, привела к появлению множества новых изобретений в конце 19 - начале 20 века, которые часто прямо рекламировались как альтернативы проекции Меркатора. Из-за этого давления издатели постепенно сокращали использование прогнозов в течение 20 века. Однако появление веб-картографии привело к внезапному возрождению этой проекции в форме проекции Веб-Меркатора .

Сегодня Меркатор можно найти на морских картах, периодических картах мира и веб-картографических сервисах, но коммерческие атласы в значительной степени отказались от него, а настенные карты мира можно найти во многих альтернативных проекциях. Карты Google , которые полагались на него с 2005 года, до сих пор используют его для карт местности, но в 2017 году отказались от проекции с настольных платформ для карт, масштаб которых уменьшен за пределы местности. Многие другие картографические онлайн-сервисы по-прежнему используют исключительно Web Mercator.

Характеристики

Сравнение касательных и секущих форм нормальной, косой и поперечной проекций Меркатора со стандартными параллелями, выделенными красным цветом.

Как и во всех цилиндрических проекциях , параллели и меридианы Меркатора прямые и перпендикулярны друг другу. При этом неизбежное растяжение карты с востока на запад, которое увеличивается по мере удаления от экватора , сопровождается в проекции Меркатора соответствующим растяжением с севера на юг, так что в каждой точке масштаб восток-запад является такой же, как масштаб север-юг, что делает его конформной картографической проекцией . Конформные проекции сохраняют углы во всех местах.

Поскольку линейный масштаб карты Меркатора увеличивается с широтой, он искажает размеры географических объектов вдали от экватора и передает искаженное восприятие общей геометрии планеты. На широтах более 70° северной или южной широты проекция Меркатора практически непригодна, поскольку на полюсах линейный масштаб становится бесконечно большим. Таким образом, карта Меркатора никогда не может полностью отобразить полярные области (пока проекция основана на цилиндре с центром на оси вращения Земли; см. поперечную проекцию Меркатора для другого применения).

Проекция Меркатора отображает траектории постоянного пеленга (называемые румбическими линиями или локсодромами ) в прямые линии и, таким образом, уникально подходит для морской навигации : курсы и пеленги измеряются с помощью компасной розы или транспортира, а соответствующие направления легко переносятся из точки в точку. точку на карте, например, с помощью параллельной линейки .

Проекцию Меркатора часто сравнивают и путают с центральной цилиндрической проекцией , которая является результатом проецирования точек сферы на касательный цилиндр по прямым радиальным линиям, как будто от источника света, расположенного в центре Земли. ^[6] Оба имеют сильное искажение вдали от экватора и не могут показать полюса. Однако это разные проекции и имеют разные свойства.

Искажение размеров

Пропорции видимого и реального размера (анимированные)

Как и во всех картографических проекциях , формы и размеры искажают истинное расположение поверхности Земли.

Проекция Меркатора преувеличивает области, расположенные далеко от экватора .

Примеры искажения размеров

• Гренландия кажется такого же размера, как Африка , хотя на самом деле площадь Африки в 14 раз больше. ^[7]
  • Реальная площадь Гренландии сравнима с площадью одной лишь Демократической Республики Конго .
  • Африка кажется примерно такого же размера, как Южная Америка , хотя на самом деле Африка в полтора раза больше.

• Аляска кажется такого же размера, как Австралия , хотя на самом деле Австралия в 4,5 раза больше.
  • Аляска также занимает на карте такую ​​же площадь, как и Бразилия , тогда как площадь Бразилии почти в 5 раз превышает площадь Аляски.

• Мадагаскар и Великобритания выглядят примерно одинакового размера, тогда как на самом деле Мадагаскар более чем в два раза больше Великобритании.

Критика

Из-за значительных искажений площади суши такие критики, как Джордж Келлауэй и Ирвинг Фишер, считают эту проекцию непригодной для общих карт мира. Поскольку он показывает, что страны вблизи экватора слишком малы по сравнению со странами Европы и Северной Америки, это было предположено ^{[ кем? ]} , чтобы люди считали эти страны менее важными. ^[8] Сам Меркатор использовал равновеликую синусоидальную проекцию , чтобы показать относительные площади. Однако, несмотря на такую ​​​​критику, проекция Меркатора была, особенно в конце 19 - начале 20 веков, пожалуй, самой распространенной проекцией, используемой на картах мира. ^{[9] [10] [11]}

Атласы в основном перестали использовать проекцию Меркатора для карт мира или для областей, удаленных от экватора, в 1940-х годах, отдав предпочтение другим цилиндрическим проекциям или формам равновеликой проекции . Однако проекция Меркатора по-прежнему широко используется для областей вблизи экватора, где искажения минимальны. Его также часто можно встретить на картах часовых поясов. ^[12] Из-за своего общего использования проекция Меркатора была предложена ^{[ кем? ]} повлиять на взгляд людей на мир. ^[13]

Арно Петерс вызвал споры, начавшиеся в 1972 году, когда он предложил то, что сейчас обычно называют проекцией Галла-Питерса , для решения проблем Меркатора, утверждая, что это его собственная оригинальная работа, не ссылаясь на предыдущие работы картографов, такие как работа Галла 1855 года. Проекция, которую он продвигал, представляет собой специфическую параметризацию цилиндрической равновеликой проекции . В ответ семь североамериканских географических групп в 1989 году приняли резолюцию, осуждающую использование цилиндрических проекций для карт мира общего назначения, которые будут включать как Меркатора, так и Галла-Питерса. ^[14]

Использование

Практически каждая печатная морская карта основана на проекции Меркатора из-за ее уникально благоприятных свойств для навигации. Он также широко используется службами карт улиц, размещенными в Интернете, из-за его уникально благоприятных свойств для карт местности, вычисляемых по запросу. ^[15] Проекции Меркатора также сыграли важную роль в математическом развитии тектоники плит в 1960-х годах. ^[16]

Морская навигация

Прямая линия (синяя) в сравнении с дугой большого круга (красная) между Лиссабоном, Португалия, и Гаваной, Куба. Вверху: ортогональная проекция. Внизу: проекция Меркатора.

Проекция Меркатора была разработана для использования в морской навигации из-за ее уникального свойства представлять любой курс постоянного пеленга в виде прямого сегмента. Такой курс, известный как румб (или, математически, локсодром), предпочтителен в морской навигации, поскольку суда могут двигаться в постоянном направлении по компасу, что позволяет избежать сложных и подверженных ошибкам корректировок курса, которые в противном случае часто требовались бы при плавании по другому курсу. курс. Для расстояний, малых по сравнению с радиусом Земли, разница между румбом и технически кратчайшим курсом, отрезком большого круга , незначительна, и даже для больших расстояний простота постоянного пеленга делает его привлекательным. По наблюдениям Меркатора, при таком курсе корабль прибудет не кратчайшим путем, но обязательно прибудет. Плавание по румбу означало, что все, что морякам нужно было делать, — это держать постоянный курс до тех пор, пока они знали, где они находились, когда стартовали, и где они намеревались быть, когда финишируют, и имели карту в проекции Меркатора, которая правильно показывала эти два направления. координаты. ^[17]

Веб-Меркатор

Многие крупные онлайн-сервисы картографирования улиц ( Bing Maps , Google Maps , Mapbox , MapQuest , OpenStreetMap , Yahoo! Maps и другие) используют вариант проекции Меркатора для изображений своих карт ^[18] , называемый Web Mercator или Google Web Mercator. Несмотря на очевидную вариацию масштаба в небольших масштабах, проекция хорошо подходит в качестве интерактивной карты мира, которую можно плавно масштабировать до крупномасштабных (локальных) карт, где искажения относительно небольшие из-за почти конформности вариантной проекции .

Системы листов основных онлайн-картографических служб отображают большую часть мира при самом низком уровне масштабирования в виде одного квадратного изображения, исключая полярные регионы путем усечения на широте φ _max  = ± 85,05113 °. (См. ниже.) Значения широты за пределами этого диапазона отображаются с использованием другого соотношения, которое не расходится при  φ  = ± 90 °. ^{[ нужна цитата ]}

Математика

Цилиндрические проекции

Хотя поверхность Земли лучше всего моделируется сплюснутым эллипсоидом вращения , для карт мелкого масштаба эллипсоид аппроксимируется сферой радиуса a , где a составляет примерно 6371 км. Это сферическое приближение Земли можно смоделировать с помощью меньшей сферы радиуса R , называемой в этом разделе глобусом . Глобус определяет масштаб карты. Различные цилиндрические проекции определяют, как географические детали переносятся с земного шара на цилиндр, касательный к нему на экваторе. Затем цилиндр разворачивают, чтобы получить плоскую карту. ^{[19] [20] [ нужна страница ]} Дробьр/аназывается репрезентативной дробью (RF) или основным масштабом проекции. Например, карта Меркатора, напечатанная в книге, может иметь экваториальную ширину 13,4 см, что соответствует радиусу земного шара 2,13 см, и RF примерно1/300М(М используется как сокращение для 1 000 000 при написании RF), тогда как исходная карта Меркатора 1569 года имеет ширину 198 см, что соответствует радиусу земного шара 31,5 см и RF примерно1/20М.

Цилиндрическая картографическая проекция задается формулами, связывающими географические координаты широты  φ и долготы  λ с декартовыми координатами на карте с началом координат на экваторе и осью x вдоль экватора. По построению все точки на одном меридиане лежат на одной и той же образующей ^[a] цилиндра при постоянном значении x , но расстояние y вдоль образующей (отсчитываемое от экватора) является произвольной ^[b] функцией широты, у ( φ ). В общем, эта функция не описывает геометрическую проекцию (например, лучей света на экран) из центра земного шара в цилиндр, что является лишь одним из неограниченного числа способов концептуального проецирования цилиндрической карты.

Поскольку цилиндр расположен по касательной к земному шару на экваторе, масштабный коэффициент между земным шаром и цилиндром равен единице на экваторе, но нигде больше. В частности, поскольку радиус параллели или круга широты равен R  cos  φ , соответствующая параллель на карте должна была быть растянута в раз.1/потому что φ= сек φ . Этот масштабный коэффициент на параллели условно обозначается буквой k , а соответствующий масштабный коэффициент на меридиане обозначается  h . ^[21]

Масштаб

Проекция Меркатора конформна . Одним из следствий этого является «изотропия масштабных коэффициентов», что означает, что масштабный коэффициент точки не зависит от направления, так что небольшие формы сохраняются при проекции. Это означает, что вертикальный масштабный коэффициент h равен горизонтальному масштабному коэффициенту k . Поскольку k = sec φ , то же самое должно быть и с h .

На графике показано изменение этого масштабного коэффициента в зависимости от широты. Некоторые числовые значения перечислены ниже.

на широте 30° масштабный коэффициент равен   k  = sec 30° = 1,15,

на широте 45° масштабный коэффициент равен   k  = sec 45° = 1,41,

на широте 60° масштабный коэффициент равен   k  = sec 60° = 2,

на широте 80° масштабный коэффициент равен   k  = sec 80° = 5,76,

на широте 85° масштабный коэффициент равен   k  = sec 85° = 11,5.

Масштабный коэффициент площади представляет собой произведение параллельного и меридионального масштабов hk = sec ² φ . Для Гренландии, если принять за среднюю широту 73°, hk = 11,7. Для Австралии, принимая 25° в качестве средней широты, hk = 1,2. Для Великобритании, приняв 55° за среднюю широту, hk = 3,04.

Изменение широты иногда обозначается несколькими линейчатыми шкалами , как показано ниже.

Индикатрисы Тиссо в проекции Меркатора

Классический способ показать искажение, свойственное проекции, — использовать индикатрису Тиссо . Николя Тиссо отметил, что масштабные коэффициенты в точке картографической проекции, заданные числами h и k , определяют эллипс в этой точке. Для цилиндрических проекций оси эллипса совпадают с меридианами и параллелями. ^{[22] [c]} Для проекции Меркатора h  =  k , поэтому эллипсы вырождаются в круги с радиусом, пропорциональным значению масштабного коэффициента для этой широты. Эти круги отображаются на проецируемой карте с резкими вариациями размера, что указывает на различия в масштабе Меркатора.

Преобразования проекции Меркатора

Вывод

Как обсуждалось выше, условие изотропии подразумевает, что h = k = sec φ . Рассмотрим точку на земном шаре радиуса R с долготой λ и широтой φ . Если φ увеличивается на бесконечно малую величину dφ , точка перемещается R dφ вдоль меридиана земного шара радиуса R , поэтому соответствующее изменение y , dy , должно быть hR dφ = R  sec  φ dφ . Следовательно, y′ ( φ ) знак равно  р  сек  φ . Аналогично, увеличение λ на dλ перемещает точку R cos φ dλ вдоль параллели земного шара, поэтому dx = kR cos φ dλ = R dλ . То есть x′ ( λ ) =  R . Интегрирование уравнений

${\displaystyle x'(\lambda )=R,\qquad y'(\varphi )=R\sec \varphi ,}$

с x ( λ ₀ ) = 0 и y (0) = 0, дает x(λ) и y(φ) . Значение λ ₀ представляет собой долготу произвольного центрального меридиана, который обычно, но не всегда, является долготой Гринвича (т. е. равен нулю). Углы λ и φ выражаются в радианах. Интегралом от секанса , ^{[23] [24]}

${\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].}$

Рядом с φ изображена функция y ( φ ) для случая R  = 1: она стремится к бесконечности в полюсах. Линейные значения оси Y обычно не отображаются на печатных картах; вместо этого на некоторых картах справа показана нелинейная шкала значений широты. Чаще всего на картах отображается лишь сетка избранных меридианов и параллелей.

Обратные преобразования

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =2\tan ^{-1}\left[\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right]-{\frac {\pi }{2}}\,.}$

Выражение справа от второго уравнения определяет функцию Гудермана ; т. е. φ  = gd(й/р): поэтому прямое уравнение можно записать как y  =  R ·gd ⁻¹ ( φ ). ^[23]

Альтернативные выражения

Существует множество альтернативных выражений для y ( φ ), все они получены путем элементарных манипуляций. ^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=&{\frac {R}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right]&=&{R}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right]&=R\ln \left(\sec \varphi +\tan \varphi \right)\\[2ex]&=&R\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)&=&R\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)&=R\operatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1}\left(\sec \varphi \right)=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).\end{aligned}}}$

Соответствующие обратные значения:

${\displaystyle \varphi =\sin ^{-1}\left(\tanh {\frac {y}{R}}\right)=\tan ^{-1}\left(\sinh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {sgn} (y)\sec ^{-1}\left(\cosh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {gd} {\frac {y}{R}}.}$

Для углов, выраженных в градусах:

${\displaystyle x={\frac {\pi R(\lambda ^{\circ }-\lambda _{0}^{\circ })}{180}},\qquad \quad y=R\ln \left[\tan \left(45+{\frac {\varphi ^{\circ }}{2}}\right)\right].}$

Приведенные выше формулы записаны через радиус глобуса R. Часто удобно работать напрямую с шириной карты W  = 2 π R . Например, основные уравнения преобразования принимают вид

${\displaystyle x={\frac {W}{2\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\qquad \quad y={\frac {W}{2\pi }}\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].}$

Усечение и соотношение сторон

Ордината y проекции Меркатора становится бесконечной на полюсах, и на какой-то широте меньше девяноста градусов карту приходится усекать. Это не обязательно делать симметрично. Исходная карта Меркатора усечена по координатам 80° с.ш. и 66° ю.ш., в результате чего европейские страны были перемещены к центру карты. Соотношение сторон его карты198/120= 1,65. Были использованы еще более радикальные сокращения: финский школьный атлас был усечен примерно до 76° с.ш. и 56° ю.ш., соотношение сторон 1,97.

Во многих веб-картографиях используется масштабируемая версия проекции Меркатора с соотношением сторон, равным единице. В этом случае максимальная достигнутая широта должна соответствовать y  = ±Вт/2или эквивалентной/р =  π . Для расчета соответствующих широт можно использовать любую из формул обратного преобразования:

${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y}{R}}\right)\right]=\tan ^{-1}\left[\sinh \pi \right]=\tan ^{-1}\left[11.5487\right]=85.05113^{\circ }.}$

Малая геометрия элемента

Связь между y ( φ ) и свойствами проекции, такими как трансформация углов и изменение масштаба, вытекает из геометрии соответствующих малых элементов на глобусе и карте. На рисунке ниже показана точка P на широте  φ и долготе  λ на земном шаре, а также близлежащая точка Q на широте φ  +  δφ и долготе λ  +  δλ . Вертикальные линии PK и MQ представляют собой дуги меридианов длины Rδφ . ^[d] Горизонтальные прямые PM и KQ представляют собой дуги параллелей длины R (cos  φ ) δλ . Соответствующие точки проекции определяют прямоугольник шириной  δx и высотой  δy .

Для небольших элементов угол PKQ примерно прямой и поэтому

${\displaystyle \tan \alpha \approx {\frac {R\cos \varphi \,\delta \lambda }{R\,\delta \varphi }},\qquad \qquad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}},}$

Ранее упомянутые коэффициенты масштабирования от шара к цилиндру определяются выражением

параллельный масштабный коэффициент     ${\displaystyle \quad k(\varphi )\;=\;{\frac {P'M'}{PM}}\;=\;{\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\delta \lambda }},}$

масштабный коэффициент меридиана   ${\displaystyle \quad h(\varphi )\;=\;{\frac {P'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,}}.}$

Поскольку меридианы отображаются на линии постоянного x , мы должны иметь x = R ( λ − λ ₀ ) и δx  =  Rδλ , ( λ в радианах). Поэтому в пределе бесконечно малых элементов

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {R\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k=\sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}{R}}.}$

В случае проекции Меркатора y' ( φ ) = R sec φ , что дает нам h = k и α = β . Тот факт, что h = k , является изотропией масштабных факторов, о которой говорилось выше. Тот факт, что α = β, отражает еще одно следствие конформности отображения, а именно тот факт, что курс плавания с постоянным азимутом на земном шаре отображается в ту же самую постоянную сетку, опирающуюся на карту.

Формулы расстояния

Преобразовать расстояние по линейке на карте Меркатора в истинное ( большое круговое ) расстояние на сфере можно просто вдоль экватора, но больше нигде. Одна проблема заключается в изменении масштаба в зависимости от широты, а другая заключается в том, что прямые линии на карте ( румбовидные линии ), кроме меридианов или экватора, не соответствуют большим кругам.

Различие между прямым (парусным) расстоянием и расстоянием по большому кругу (истинным) ясно понимал Меркатор. (См. легенду 12 на карте 1569 года.) Он подчеркнул, что расстояние по прямой линии является приемлемым приближением для истинного расстояния по большому кругу для курсов на короткие или умеренные расстояния, особенно на более низких широтах. Он даже дает количественную оценку своему утверждению: «Когда расстояния по большому кругу, которые необходимо измерить вблизи экватора, не превышают 20 градусов большого круга, или 15 градусов вблизи Испании и Франции, или 8 и даже 10 градусов в северных частях удобно пользоваться расстояниями по прямой линии».

Для измерения линейки короткой линии со средней точкой на широте  φ , где масштабный коэффициент равен k  = sec  φ  = 1/потому что  φ:

Истинное расстояние = расстояние по румбу ≅ расстояние по линейке × cos  φ /RF. (короткие строки)

При радиусе и окружности большого круга, равных 6371 км и 40030 км соответственно, RF1/300М, для которого R  = 2,12 см и W  = 13,34 см, подразумевает размер линейки 3 мм. в любую сторону от точки на экваторе соответствует примерно 900 км. Соответствующие расстояния для широт 20°, 40°, 60° и 80° составляют 846 км, 689 км, 450 км и 156 км соответственно.

Большие расстояния требуют различных подходов.

На экваторе

Масштаб равен единице на экваторе (для несекущей проекции). Поэтому интерпретировать измерения линейки на экваторе просто:

Истинное расстояние = расстояние по линейке / RF (экватор).

Для приведенной выше модели при RF = 1/300М, 1 см соответствует 3000 км.

О других параллелях

При любой другой параллели масштабный коэффициент равен sec φ , так что

Расстояние параллельности = расстояние линейки × cos  φ / RF (параллельно).

Для приведенной выше модели 1 см соответствует 1500 км на широте 60°.

Это не самое короткое расстояние между выбранными конечными точками параллели, поскольку параллель не является большим кругом. Разница невелика на коротких расстояниях, но увеличивается по мере увеличения λ , продольного расстояния. Для двух точек A и B, разделенных 10° долготы на параллели под углом 60°, расстояние вдоль параллели примерно на 0,5 км больше, чем расстояние по большому кругу. (Расстояние AB вдоль параллели равно ( a  cos  φ )  λ . Длина хорды AB равна 2( a  cos  φ ) sin λ/2. Эта хорда образует угол в центре, равный 2arcsin(cos  φ  sin λ/2), а расстояние по большому кругу между A и B равно 2 a  arcsin(cos  φ  sin λ/2)) В крайнем случае, когда продольное расстояние составляет 180°, расстояние вдоль параллели составляет половину окружности этой параллели; т.е. 10 007,5 км. С другой стороны, геодезическая между этими точками представляет собой дугу большого круга, проходящего через полюс, образующую угол 60 ° в центре: длина этой дуги составляет одну шестую окружности большого круга, около 6672 км. Разница составляет 3338 км, поэтому расстояние по линейке, измеренное по карте, вводит в заблуждение даже после поправки на изменение масштабного коэффициента по широте.

На меридиане

Меридиан карты представляет собой большой круг на земном шаре, но непрерывное изменение масштаба означает, что одни измерения линейкой не могут дать истинное расстояние между удаленными точками на меридиане. Однако если на карте нанесена точная и мелко расположенная широтная шкала, по которой широту можно непосредственно прочитать, как в случае с картой мира Меркатора 1569 года (листы 3, 9, 15) и всеми последующими морскими картами, то меридиан Расстояние между двумя широтами φ ₁ и φ ₂ просто

${\displaystyle m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.}$

Если широту конечных точек невозможно определить с уверенностью, ее можно найти путем расчета на расстоянии по линейке. Называя линейку расстояний от конечных точек на карте меридианом, измеренным от экватора y ₁ и y ₂ , истинное расстояние между этими точками на сфере определяется с помощью любой из обратных формул Меркатора:

${\displaystyle m_{12}=a\left|\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)\right]-\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right]\right|,}$

где R можно вычислить по ширине W карты по формуле R  = Вт/2 π. Например, на карте с R  = 1 значения y  = 0, 1, 2, 3 соответствуют широтам φ  = 0°, 50°, 75°, 84° и, следовательно, последовательным интервалам в 1 см на карте. соответствуют интервалам широт на земном шаре 50°, 25°, 9° и расстояниям на Земле 5560 км, 2780 км и 1000 км.

На румбе

Прямая линия на карте Меркатора под углом α к меридианам является прямой линией . Когда α  = π/2или3 π/2румб соответствует одной из параллелей; только один, экватор, представляет собой большой круг. Когда α  = 0 или π , это соответствует большому меридиану (если продолжаться вокруг Земли). Для всех остальных значений это спираль от полюса к полюсу земного шара, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом, и, следовательно, не являющаяся большим кругом. ^[24] В этом разделе обсуждается только последний из этих случаев.

Если α не равно ни 0, ни π , то приведенный выше рисунок бесконечно малых элементов показывает, что длина бесконечно малой прямой линии на сфере между широтами φ ; и φ  +  δφ представляет собой сек  α  δφ  . Поскольку α постоянно на румбе, это выражение можно проинтегрировать, чтобы получить для конечных румбов на Земле:

${\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \,|\varphi _{1}-\varphi _{2}|=a\,\sec \alpha \;\Delta \varphi .}$

Опять же, если Δ φ можно прочитать непосредственно по точной шкале широты на карте, то расстояние по прямой между точками карты с широтами φ ₁ и φ ₂ определяется вышеизложенным. Если такого масштаба нет, то расстояния линейки между конечными точками и экватором, y ₁ и y ₂ , дают результат по обратной формуле:

${\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \left|\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)-\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right|.}$

Эти формулы дают прямые расстояния на сфере, которые могут сильно отличаться от истинных расстояний, определение которых требует более сложных вычислений. ^[э]

Обобщение на эллипсоид

Когда Земля моделируется сфероидом ( эллипсоидом вращения ), проекцию Меркатора необходимо изменить, чтобы она оставалась конформной . Уравнения преобразования и масштабный коэффициент для несекущей версии: ^[25]

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\\y&=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]=R\left(\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right),\\k&=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}.\end{aligned}}}$$

Масштабный коэффициент на экваторе равен единице, как и должно быть, поскольку цилиндр касается эллипсоида на экваторе. Эллипсоидальная поправка масштабного коэффициента увеличивается с широтой ^, но никогда не превышает e2 , т.е. поправка менее 1%. (Значение e ² составляет около 0,006 для всех опорных эллипсоидов.) Это намного меньше, чем погрешность масштаба, за исключением очень близкого расположения к экватору. Только точные проекции Меркатора для регионов вблизи экватора потребуют эллипсоидных поправок.

Обратное решается итеративно, поскольку используется изометрическая широта .

Смотрите также

• Картография
• Центральная цилиндрическая проекция – более искажена; иногда ошибочно называют методом построения проекции Меркатора.
• Конформная картографическая проекция
• Равноугольная проекция - менее искаженная, но не равновеликая.
• Проекция Галла – Петерса - цилиндрическая проекция равной площади.
• Джордан Поперечный Меркатор
• Список картографических проекций
• Карта мира Меркатора 1569 года.
• Морская карта
• Отсутствие Новой Зеландии на картах - часто считается, что это вызвано проекцией Меркатора.
• Румлайновая сеть
• Индикатриса Тиссо
• Поперечная проекция Меркатора
• Универсальная поперечная система координат Меркатора

Примечания

1. Образующая цилиндра — прямая линия на поверхности, параллельная оси цилиндра.
2. Функция y ( φ ) не является полностью произвольной: она должна быть монотонно возрастающей и антисимметричной ( y (− φ ) = - y ( φ ), так что y (0)=0): она обычно непрерывна с непрерывным первым производная.
3. Более общий пример индикатрисы Тиссо: трипельная проекция Винкеля.
4. R - радиус земного шара.
5. См. Расстояние по большому кругу , формулы Винсенти или Mathworld.

Рекомендации

1. Снайдер 1987, с. 38.
2. Снайдер 1993, с. 48.
3. Нидхэм, Джозеф (1959). Наука и цивилизация в Китае . Том. 3. Издательство Кембриджского университета. стр. 277, 545.
4. Миядзима, Казухико (1998). «Методы проекции на звездных картах Китая, Кореи и Японии». Основные моменты астрономии . 11 (2): 712–715. дои : 10.1017/s1539299600018554 .
5. Монмонье 2004, с. 72.
6. Фредерик Рики, В.; Тучинский, Филип М. (май 1980 г.). «Приложение географии к математике: история интеграла секанса». Журнал «Математика» . 53 (3): 164. дои : 10.2307/2690106 . Проверено 18 августа 2022 г.
7. «Эта анимированная карта показывает истинный размер каждой страны» . Индекс природы . 27 августа 2019 г. Проверено 20 июня 2023 г.
8. «Проекция Меркатора против проекции Питерса, часть 1» . Мэтт Т. Розенберг, about.com.
9. Келлавей, врач общей практики (1946). Картографические проекции с. 37–38. Лондон: Methuen & Co. LTD. (Согласно этому источнику, утверждалось, что проекция Меркатора использовалась по «империалистическим мотивам»).
10. Абельсон, CE (1954). Общие картографические проекции s. 4. Севеноукс: WH Smith & Sons.
11. Чемберлин, Веллман (1947). Круглая Земля на плоской бумаге . 99. Вашингтон, округ Колумбия: Национальное географическое общество.
12. Монмонье 2004, с. 124–128.
13. «Проекция Меркатора против проекции Питерса, часть 2» . Мэтт Т. Розенберг, about.com.
14. Американский картограф. 1989. 16 (3): 222–223.
15. [1] ^{[ самостоятельно опубликованный источник ]}
16. Кокс, Аллан, изд. (1973). Тектоника плит и геомагнитные инверсии . У. Х. Фриман. п. 46.
17. Осборн 2013, стр. 39–40.
18. Баттерсби, Сара Э.; Финн, Майкл П.; Узери, Э. Линн; Ямамото, Кристина Х. (1 июня 2014 г.). «Последствия Web Mercator и его использование в онлайн-картографии». Cartographica: Международный журнал географической информации и геовизуализации . 49 (2): 85–101. дои : 10.3138/carto.49.2.2313. ISSN  0317-7173.
19. Снайдер 1987, стр. 37–95.
20. Снайдер 1993.
21. Снайдер. Руководство по эксплуатации, стр. 20.
22. Снайдер 1987, с. 20; Снайдер 1993, стр. 147–149.
23. НИСТ. См. разделы 4.26#ii и 4.23#viii.
24. Осборн 2013, Глава 2
25. Осборн 2013, главы 5, 6.

Библиография

• Малинг, Дерек Хилтон (1992), Системы координат и картографические проекции (второе изд.), Pergamon Press, ISBN 0-08-037233-3.
• Монмонье, Марк (2004), Румбы и картографические войны: социальная история проекции Меркатора (изд. в твердом переплете), Чикаго: The University of Chicago Press, ISBN 0-226-53431-6
• Олвер, ФВЮ; Лозье, Д.В.; Буасверт, РФ; и др., ред. (2010), Справочник NIST по математическим функциям, издательство Кембриджского университета
• Осборн, Питер (14 ноября 2013 г.), «Проекции Меркатора» , doi : 10.5281/zenodo.35392(Дополнения: файлы Maxima, коды и рисунки Latex)
• Снайдер, Джон П. (1993), Сглаживание Земли: две тысячи лет картографических проекций , University of Chicago Press, ISBN 0-226-76747-7
• Снайдер, Джон П. (1987), Картографические проекции – Рабочее руководство. Профессиональный документ Геологической службы США 1395, Типография правительства США, Вашингтон, округ КолумбияЭтот документ можно скачать со страниц Геологической службы США. Он дает полную информацию о большинстве прогнозов вместе с интересными вводными разделами, но не выводит ни один из прогнозов из основных принципов.

дальнейшее чтение

• Рэпп, Ричард Х (1991), Геометрическая геодезия, Часть I , Факультет геодезических наук и геодезии Университета штата Огайо, hdl : 1811/24333

Внешние ссылки

• Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam - содержит изображения карты мира Меркатора 1569 года в высоком разрешении.
• Таблица примеров и свойств всех распространенных проекций с сайта radiuscartography.net.
• Интерактивный Java-апплет для изучения метрических деформаций проекции Меркатора.
• Веб-Меркатор: нонконформный, не-Меркатор (Ноэль Зинн, Hydrometronics LLC)
• Проекция Меркатора в Университете Британской Колумбии
• Координаты Google Карт