В алгебраической геометрии схема модулей — это пространство модулей , которое существует в категории схем, разработанных французским математиком Александром Гротендиком . Некоторые важные проблемы модулей алгебраической геометрии могут быть удовлетворительно решены с помощью одной только теории схем , в то время как другие требуют некоторого расширения концепции «геометрического объекта» ( алгебраические пространства , алгебраические стеки Майкла Артина ).
Работа Гротендика и Дэвида Мамфорда (см. геометрическая теория инвариантов ) открыла эту область в начале 1960-х годов. Более алгебраический и абстрактный подход к проблемам модулей заключается в том, чтобы задать их как вопрос о представимом функторе , а затем применить критерий, который выделяет представимые функторы для схем. Когда этот программный подход работает, результатом является прекрасная схема модулей . Под влиянием более геометрических идей достаточно найти схему, которая дает правильные геометрические точки . Это больше похоже на классическую идею о том, что проблема модулей заключается в выражении алгебраической структуры, естественно приходящей с набором (скажем, классов изоморфизма эллиптических кривых ).
Результатом тогда является грубая схема модулей . Ее недостаток уточнения, грубо говоря, заключается в том, что она не гарантирует для семейств объектов то, что присуще тонкой схеме модулей. Как указал Мамфорд в своей книге «Геометрическая инвариантная теория» , можно было бы захотеть иметь тонкую версию, но есть техническая проблема ( структура уровней и другие «отметки»), которую необходимо решить, чтобы получить вопрос с шансом получить такой ответ.
Терухиса Мацусака доказал результат, теперь известный как большая теорема Мацусаки , устанавливающая необходимое условие для модульной проблемы для существования грубой модульной схемы. [1]
Мамфорд доказал, что если g > 1, то существует грубая схема модулей гладких кривых рода g , которая является квазипроективной . [2] Согласно недавнему обзору Яноша Коллара , она «имеет богатую и интригующую внутреннюю геометрию, которая связана с основными вопросами во многих разделах математики и теоретической физики». [3] Браунгардт поставил вопрос, можно ли обобщить теорему Белого на многообразия более высокой размерности над полем алгебраических чисел , с формулировкой, что они, как правило, бирациональны для конечного этального покрытия пространства модулей кривых. [4]
Используя понятие стабильного векторного расслоения , было показано, что грубые модульные схемы для векторных расслоений на любом гладком комплексном многообразии существуют и являются квазипроективными: утверждение использует концепцию полустабильности . [5] В математической физике в некоторых случаях можно отождествить грубое модульное пространство специальных инстантонных расслоений с объектами классической геометрии коник. [6]