Ссылка на крендель

Звено, образованное конечным числом скрученных секций

Узел крендель (−2,3,7) имеет два правых поворота в первом сплетении , три левых поворота во втором и семь левых поворотов в третьем.

Только два узла являются одновременно тором и кренделем ^[1]

В математической теории узлов крендель-связка — это особый вид связи . Она состоит из конечного числа клубков, образованных двумя переплетенными круговыми спиралями . Клубки соединены циклически, ^[2] и первый компонент первого клубка соединен со вторым компонентом второго клубка, первый компонент второго клубка соединен со вторым компонентом третьего клубка и так далее. Наконец, первый компонент последнего клубка соединен со вторым компонентом первого. Крендель-связка, которая также является узлом ( то есть связью с одним компонентом), является узлом-претцелем .

Каждый клубок характеризуется своим числом поворотов: положительным, если они против часовой стрелки или левые, отрицательным, если по часовой стрелке или правые. В стандартной проекции крендельного звена есть левые перекрестки в первом клубке, во втором и, в общем, в n -м. ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

Крендельную связь также можно описать как связь Монтесиноса с целочисленными переплетениями.

Некоторые основные результаты

Крендельное звено является узлом тогда и только тогда, когда оба и все нечетные или ровно один из является четным. ^[3] ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Связь кренделя разделяется , если хотя бы два из них равны нулю ; но обратное утверждение неверно. ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Ссылка «Крендель» — это зеркальное отражение ссылки «Крендель». ${\displaystyle (-p_{1},-p_{2},\dots ,-p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$

Связь кренделя изотопна связи кренделя. Таким образом, связь кренделя изотопна связи кренделя. ^[3] ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{2},\,p_{3},\dots ,\,p_{n},\,p_{1})}$ ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{k},\,p_{k+1},\dots ,\,p_{n},\,p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{k-1})}$

Связь кренделя изотопна связи кренделя. Однако, если ориентировать связи каноническим образом, то эти две связи будут иметь противоположные ориентации. ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{n},\,p_{n-1},\dots ,\,p_{2},\,p_{1})}$

Некоторые примеры

Узел крендель (1, 1, 1) — это (правый) трилистник ; узел крендель (−1, −1, −1) — это его зеркальное отражение .

Узел «крендель» (5, −1, −1) — это стивидорный узел  (6 ₁ ).

Если p , q , r — различные нечетные целые числа, большие 1, то узел крендель ( p ,  q ,  r ) является необратимым узлом .

Крендельная связь (2 p , 2 q , 2 r ) — это связь, образованная тремя связанными трижды незамкнутыми узлами .

Узел крендель (−3, 0, −3) ( квадратный узел (математика) ) представляет собой связанную сумму двух узлов-трилистников .

Крендельное звено (0,  q , 0) представляет собой разделенное объединение незавязанного узла и другого узла.

Монтесинос

Связь Монтесиноса — это особый вид связи , обобщающий связи кренделя (связь кренделя также можно описать как связь Монтесиноса с целочисленными связями). Связь Монтесиноса, которая также является узлом (т. е. связью с одним компонентом), называется узел Монтесиноса .

Связь Монтесиноса состоит из нескольких рациональных сплетений . Одной из нотаций связи Монтесиноса является . ^[4] ${\displaystyle K(e;\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n})}$

В этой нотации и все и являются целыми числами. Связь Монтесиноса, заданная этой нотацией, состоит из суммы рациональных плетений, заданных целым числом , и рациональных плетений ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n}}$

Эти узлы и связи названы в честь испанского тополога Хосе Марии Монтесиноса Амилибии, который впервые представил их в 1973 году. ^[5]

Утилита

(−2, 3, 2 n  + 1) крендельные связи особенно полезны при изучении 3-многообразий . Было установлено много результатов о многообразиях, которые получаются в результате хирургии Дена на (−2,3,7) крендельном узле в частности.

Гиперболический объем дополнения к зацеплению кренделя (−2,3,8) равен 4 константам Каталана , приблизительно 3,66. Это дополнение к зацеплению кренделя является одним из двух гиперболических многообразий с двумя выступами с минимально возможным объемом, другое является дополнением зацепления Уайтхеда . ^[6]

Ссылки

1. "10 124", The Knot Atlas . Доступ 19 ноября 2017 г.
2. Ссылка Pretzel на Mathcurve
3. Kawauchi, Akio (1996). Обзор теории узлов . Биркхойзер. ISBN  3-7643-5124-1
4. Цишанг, Хайнер (1984), «Классификация узлов Монтесиноса», Топология (Ленинград, 1982) , Lecture Notes in Mathematics, т. 1060, Берлин: Springer, стр. 378–389, doi :10.1007/BFb0099953, MR  0770257
5. Монтесинос, Хосе М. (1973), «Многообразия Зейферта, которые представляют собой разветвленные двухлистные циклические накрытия», Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana , 2, 18 : 1–32, MR  0341467
6. Агол, Ян (2010), «Ориентируемые гиперболические 2-каспидные 3-многообразия минимального объема», Труды Американского математического общества , 138 (10): 3723–3732, arXiv : 0804.0043 , doi : 10.1090/S0002-9939-10-10364-5, MR  2661571.

Дальнейшее чтение

• Троттер, Хейл Ф.: Необратимые узлы существуют , Топология , 2 (1963), 272–280.
• Бурде, Герхард; Цишанг, Хайнер (2003). Узлы . Де Грюйтер изучает математику. Том. 5 (2-е исправленное и расширенное изд.). Вальтер де Грютер. ISBN 3110170051. ISSN  0179-0986. Збл  1009.57003.