проблема Наполеона

Задача Наполеона — это задача на построение с помощью циркуля . В ней даны окружность и ее центр . Задача состоит в том, чтобы разделить окружность на четыре равные дуги, используя только циркуль . ^{[1] [2]} Наполеон был известен как математик-любитель, но неизвестно, создал ли он или решил эту задачу. Друг Наполеона, итальянский математик Лоренцо Маскерони, ввел ограничение на использование только циркуля (без линейки) в геометрических построениях . Но на самом деле задача выше проще, чем настоящая задача Наполеона , состоящая в нахождении центра заданной окружности, используя только циркуль. В следующих разделах будут описаны решения трех задач и доказательства того, что они работают.

Книга Георга Мора « Евклид Даник », написанная в 1672 году, предвосхитила идею Маскерони, хотя книга была вновь обнаружена только в 1928 году.

Деление заданного круга на четыре равные дуги с учетом его центра

С центром в любой точке X на окружности C проведите дугу через O (центр C ), которая пересекает C в точках V и Y. Сделайте то же самое с центром в Y через O, пересекая C в точках X и Z. Обратите внимание , что отрезки OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ имеют одинаковую длину, все расстояния равны радиусу окружности C.

Теперь нарисуйте дугу с центром в точке V, проходящую через Y, и дугу с центром в точке Z, проходящую через X; назовем точку пересечения этих двух дуг буквой T. Обратите внимание, что расстояния VY и XZ умножены на радиус окружности C. ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Приравняем радиус циркуля к расстоянию OT ( умноженному на радиус окружности C ) и проведем дугу с центром в точке Z, которая пересекает окружность C в точках U и W. UVWZ — квадрат , а дуги C UV , VW, WZ и ZU каждая равна четверти окружности C. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Нахождение центра заданной окружности

Пусть (C) — круг, центр которого нужно найти. ^[3]

Пусть A — точка на (C).

Окружность (C1) с центром в точке A пересекает (C) в точках B и B'.

Две окружности (C2) с центрами B и B' и радиусом AB снова пересекаются в точке C.

Окружность (C3) с центром в точке C и радиусом AC пересекает (C1) в точках D и D'.

Две окружности (C4) с центрами D и D' и радиусом AD пересекаются в точке A и в точке O, искомом центре (C).

Примечание: чтобы это сработало, радиус окружности (C1) не должен быть ни слишком маленьким, ни слишком большим. Точнее, этот радиус должен быть между половиной и двойным радиусом (C): если радиус больше диаметра (C), (C1) не пересечет (C); если радиус меньше половины радиуса (C), точка C будет между A и O, а (C3) не пересечет (C1).

Доказательство

Идея доказательства состоит в том, чтобы с помощью одного циркуля построить длину b²/a, когда длины a и b известны, а a/2 ≤ b ≤ 2a.

На рисунке справа нарисована окружность радиусом a с центром в точке O; на ней выбрана точка A, из которой можно определить точки B и B' так, что AB и AB' имеют длину b . Точка A' лежит напротив A, но ее не нужно строить (для этого потребуется линейка); аналогично точка H является (виртуальным) пересечением AA' и BB'. Точка C может быть определена из B и B' с помощью окружностей радиусом b .

Треугольник ABA' имеет прямой угол B, а BH перпендикулярен AA', поэтому:

${\displaystyle {\frac {AH}{AB}}={\frac {AB}{AA'}}}$

Следовательно, и AC = b²/a. ${\displaystyle AH={\frac {b^{2}}{2a}}}$

В приведенной выше конструкции центра такая конфигурация появляется дважды:

• точки A, B и B' находятся на окружности (C), радиус a
  ₁= r ; AB, AB', BC и B'C равны b
  ₁= Р, поэтому ; ${\displaystyle AC={\frac {R^{2}}{r}}}$
• точки A, D и D' находятся на окружности с центром C, радиус  ; DA, D'A, DO и D'O равны b ${\displaystyle a_{2}={\frac {R^{2}}{r}}}$
  ₂= Р, так что . ${\displaystyle AO={\frac {R^{2}}{R^{2}/r}}=r}$

Следовательно, О — центр окружности (С).

Нахождение середины заданного расстояния или отрезка прямой

Построение середины расстояния или отрезка прямой только с помощью циркуля, анимацию смотрите здесь.

Пусть |AD| — расстояние , центр которого требуется найти. ^[4]

Две окружности (C ₁ ) с центром в точке A и (C ₂ ) с центром в точке D с радиусом |AD| пересекаются в точках B и B'.

Окружность (C ₃ ) с центром в точке B' и радиусом |B'B| пересекает окружность (C ₂ ) в точке A'.

Окружность (C ₄ ) с центром в точке A' и радиусом |A'A| пересекает окружность (C ₁ ) в точках E и E'.

Две окружности (C ₅ ) с центром в точке E и (C ₆ ) с центром в точке E' с радиусом |EA| пересекаются в точках A и O. O — искомый центр |AD|.

• Принцип проектирования можно применить и к отрезку прямой AD .
• Описанное выше доказательство применимо и к этой конструкции.

Примечание: Точка А в дизайне эквивалентна точке А в доказательстве .

Следовательно, радиус: (C ₂ ) ≙ (C) и точки: O ≙ H, B ≙ B, D ≙ O и A' ≙ A'.

Смотрите также

• Теорема Мора–Маскерони
• Теорема Наполеона
• Наполеон указывает

Ссылки

1. Программа Folens MATHS, 9-й год, 3. Конструкции Маскерони, задача Наполеона, стр. 72–73 Руководитель проекта: Мэри Пардо, 2003 г., Folens Limited, ISBN  1 84303 358-5 Дата обращения 07.06.2018 г.
2. Задача Наполеона
3. Август Адлер (1906), «Mascheronische Konstruktionen стр. 119, рис. 96», Theorie der geometrischen Konstruktionen (на немецком языке), Лейпциг: GJ Göschensche Verlagshandlung, стр. 301 , получено 3 июня 2018 г.
4. Август Адлер (1906), «Mascheronische Konstruktionen стр. 97–98, рис. 73», Theorie der geometrischen Konstruktionen (на немецком языке), Лейпциг: GJ Göschensche Verlagshandlung, стр. 301 , получено 3 июня 2018 г.