Некоммутативная геометрия ( NCG ) — раздел математики , занимающийся геометрическим подходом к некоммутативным алгебрам и построением пространств , локально представленных некоммутативными алгебрами функций, возможно, в некотором обобщенном смысле. Некоммутативная алгебра — это ассоциативная алгебра , в которой умножение некоммутативно , т. е. для которой не всегда равно ; или, в более общем смысле, алгебраическая структура , в которой одна из основных бинарных операций не является коммутативной; можно также допустить, чтобы дополнительные структуры, например топология или норма , могли переноситься некоммутативной алгеброй функций.
Подход, дающий глубокое понимание некоммутативных пространств, заключается в использовании операторных алгебр , то есть алгебр ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве . [1] Возможно, одним из типичных примеров некоммутативного пространства является « некоммутативный тор », который сыграл ключевую роль в раннем развитии этой области в 1980-х годах и привел к некоммутативным версиям векторных расслоений , связностей , кривизны и т. д . [ 2]
Основная мотивация — распространить коммутативную двойственность между пространствами и функциями на некоммутативную среду. В математике пространства , имеющие геометрическую природу, могут быть связаны с числовыми функциями на них. В общем случае такие функции образуют коммутативное кольцо . Например, можно взять кольцо C ( X ) непрерывных комплексных функций на топологическом пространстве X. Во многих случаях ( например , если X — компактное хаусдорфово пространство ) мы можем восстановить X из C ( X ), и поэтому имеет некоторый смысл говорить, что X имеет коммутативную топологию .
Более конкретно, в топологии компактные топологические пространства Хаусдорфа могут быть восстановлены из банаховой алгебры функций на пространстве ( Гельфанд – Наймарк ). В коммутативной алгебраической геометрии алгебраические схемы представляют собой локально простые спектры коммутативных колец с единицей ( А. Гротендик ), причем каждая квазиразделенная схема может быть восстановлена с точностью до изоморфизма схем из категории квазикогерентных пучков -модулей ( П. Габриэль –А) . Розенберг). Для топологий Гротендика когомологические свойства узла являются инвариантами соответствующей категории пучков множеств, рассматриваемых абстрактно как топос ( А. Гротендик). Во всех этих случаях пространство восстанавливается из алгебры функций или ее категоризированной версии — некоторой категории пучков в этом пространстве.
Функции в топологическом пространстве можно умножать и складывать поточечно, поэтому они образуют коммутативную алгебру; на самом деле эти операции локальны в топологии базового пространства, следовательно, функции образуют пучок коммутативных колец над базовым пространством.
Мечта некоммутативной геометрии состоит в том, чтобы обобщить эту двойственность на двойственность между некоммутативными алгебрами или пучками некоммутативных алгебр, или пучковыми некоммутативными алгебраическими или операторно-алгебраическими структурами и геометрическими объектами определенных видов и дать взаимодействие между алгебраическими и геометрическое описание тех через эту двойственность.
Учитывая, что коммутативные кольца соответствуют обычным аффинным схемам, а коммутативные С*-алгебры — обычным топологическим пространствам, расширение до некоммутативных колец и алгебр требует нетривиального обобщения топологических пространств как «некоммутативных пространств». По этой причине ходят разговоры о некоммутативной топологии , хотя этот термин имеет и другие значения.
Некоторые приложения в физике элементарных частиц описаны в статьях «Некоммутативная стандартная модель» и «Некоммутативная квантовая теория поля» . Внезапный рост интереса к некоммутативной геометрии в физике последовал после предположений о ее роли в М-теории , сделанных в 1997 году [3].
Некоторые из теорий, разработанных Аленом Конном для работы с некоммутативной геометрией на техническом уровне, имеют корни в более старых попытках, в частности, в эргодической теории . Предложение Джорджа Макки создать теорию виртуальных подгрупп , по отношению к которой действия эргодических групп стали бы однородными пространствами расширенного типа, к настоящему времени отнесено к категории.
(Формальные) двойственные некоммутативным С*-алгебрам теперь часто называют некоммутативными пространствами. Это по аналогии с представлением Гельфанда , показывающим, что коммутативные С*-алгебры двойственны локально компактным хаусдорфовым пространствам . Вообще говоря, любой C*-алгебре S можно сопоставить топологическое пространство Ŝ ; см. спектр C*-алгебры .
Из-за двойственности между σ-конечными пространствами с мерой и коммутативными алгебрами фон Неймана некоммутативные алгебры фон Неймана называются некоммутативными пространствами с мерой .
Гладкое риманово многообразие M представляет собой топологическое пространство с большим количеством дополнительной структуры. Из его алгебры непрерывных функций C ( M ) мы восстанавливаем M только топологически. Алгебраический инвариант, восстанавливающий риманову структуру, представляет собой спектральную тройку . Он построен из гладкого векторного расслоения E над M , например расслоения внешней алгебры. Гильбертово пространство L 2 ( M , E ) квадратно интегрируемых сечений E несет представление C ( M ) операторами умножения, и мы рассматриваем неограниченный оператор D в L 2 ( M , E ) с компактной резольвентой (например, сигнатурой оператор ), такие, что коммутаторы [ D , f ] ограничены, если f является гладким. Глубокая теорема [4] утверждает, что M как риманово многообразие можно восстановить по этим данным.
Это предполагает, что можно определить некоммутативное риманово многообразие как спектральную тройку ( A , H , D ), состоящую из представления C*-алгебры A в гильбертовом пространстве H вместе с неограниченным оператором D в H с компактом резольвента, такая что [ D , a ] ограничено для всех a в некоторой плотной подалгебре A . Исследования спектральных троек очень активны, и было построено множество примеров некоммутативных многообразий.
По аналогии с двойственностью между аффинными схемами и коммутативными кольцами мы определяем категорию некоммутативных аффинных схем как двойственную категории ассоциативных колец с единицей. В этом контексте существуют определенные аналоги топологии Зарисского, позволяющие приклеивать такие аффинные схемы к более общим объектам.
Существуют также обобщения конуса и Proj коммутативного градуированного кольца, имитирующие теорему Серра о Proj. А именно, категория квазикогерентных пучков O-модулей на Proj коммутативной градуированной алгебры эквивалентна категории градуированных модулей над кольцом, локализованным на подкатегории Серра градуированных модулей конечной длины; существует также аналогичная теорема для когерентных пучков, когда алгебра нётерова. Эта теорема расширена как определение некоммутативной проективной геометрии Майклом Артином и Дж. Дж. Чжаном [5] , которые также добавляют некоторые общие условия теории колец (например, регулярность Артина–Шельтера).
Многие свойства проективных схем распространяются и на этот контекст. Например, существует аналог знаменитой двойственности Серра для некоммутативных проективных схем Артина и Чжана. [6]
А. Л. Розенберг создал довольно общее относительное понятие некоммутативной квазикомпактной схемы (над базовой категорией), абстрагируя исследования Гротендика морфизмов схем и накрытий в терминах категорий квазикогерентных пучков и плоских функторов локализации. [7] Существует еще один интересный подход, основанный на теории локализации, предложенный Фредом Ван Ойстейеном , Люком Виллаертом и Аленом Вершореном, где основной концепцией является схематическая алгебра . [8] [9]
Некоторые из мотивирующих вопросов теории связаны с распространением известных топологических инвариантов на формальные двойственные некоммутативные (операторные) алгебры и другие замены и кандидаты в некоммутативные пространства. Одной из основных отправных точек направления Алена Конна в некоммутативной геометрии является открытие им новой теории гомологии, связанной с некоммутативными ассоциативными алгебрами и некоммутативными операторными алгебрами, а именно циклической гомологии и ее связи с алгебраической K-теорией (прежде всего через Конн– Карта персонажей Черна).
Теория характеристических классов гладких многообразий была распространена на спектральные тройки с использованием инструментов операторной К-теории и циклических когомологий . Несколько обобщений теперь уже классических теорем об индексе позволяют эффективно извлекать числовые инварианты из спектральных троек. Фундаментальный характеристический класс в циклических когомологиях, коцикл JLO , обобщает классический характер Черна .
Связность Конна — это некоммутативное обобщение связности в дифференциальной геометрии . Он был введен Аленом Конном , а позже был обобщен Иоахимом Кунцем и Дэниелом Квилленом .
Для правого A -модуля E связность Конна на E является линейным отображением.
что удовлетворяет правилу Лейбница . [11]
