состояние Новикова

В теории вероятностей условие Новикова является достаточным условием для того, чтобы случайный процесс , который принимает форму производной Радона–Никодима в теореме Гирсанова, был мартингалом . Если оно выполняется вместе с другими условиями, теорема Гирсанова может быть применена к случайному процессу броуновского движения для перехода от исходной меры к новой мере, определяемой производной Радона–Никодима.

Это условие было предложено и доказано Александром Новиковым . Существуют и другие результаты, которые могут быть использованы для доказательства того, что производная Радона–Никодима является мартингалом, такие как более общий критерий условие Казамаки , однако условие Новикова является наиболее известным результатом.

Предположим, что это действительно значимый адаптированный процесс на вероятностном пространстве и является адаптированным броуновским движением : ^{[1] : 334} ${\displaystyle (X_{t})_{0\leq t\leq T}}$ ${\displaystyle \left(\Omega ,({\mathcal {F}}_{t}),\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle (W_{t})_{0\leq t\leq T}}$

Если условие

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|X|_{t}^{2}\,dt}\right]<\infty }$

выполняется, то процесс

${\displaystyle \ {\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}X_{s}\;dW_{s}\right)\ =e^{\int _{0}^{t}X_{s}\,dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}X_{s}^{2}\,ds},\quad 0\leq t\leq T}$

является мартингалом относительно вероятностной меры и фильтрации . Здесь обозначает экспоненту Долеанса-Дейда . ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Ссылки

1. Паскуччи, Андреа (2011). Методы PDE и Мартингейла в ценообразовании опционов . Bocconi & Springer. Том 2. Милан: Springer-Verlag . ISBN 978-88-470-1780-1.

Внешние ссылки

• Krogstad, HE (2003). "Комментарии к теореме Гирсанова" (PDF) . IMF . Архивировано из оригинала (PDF) 1 декабря 2005 г.