В теории музыки и настройке тональный ромб — это двумерная диаграмма соотношений , в которой одно измерение — это Отональность, а другое — Утональность . [1] Таким образом, тональный ромб n-предела («предел» здесь в смысле нечетного предела, а не простого предела) — это расположение в форме ромба множества рациональных чисел r , , такое, что нечетная часть как числителя , так и знаменателя r , при сведении к наименьшим членам, меньше или равна фиксированному нечетному числу n . Эквивалентно, ромб можно рассматривать как множество классов высоты тона , где класс высоты тона — это класс эквивалентности высот при октавной эквивалентности. Тональный ромб часто рассматривается как включающий множество консонансов n-предела. Хотя изначально тональный ромб был изобретен Максом Фридрихом Мейером [2], сейчас его чаще всего ассоциируют с Гарри Парчем («Многие теоретики чистой интонации считают тональный ромб величайшим вкладом Парча в микротональную теорию». [3] ).
Парч расположил элементы тонального ромба в форме ромба и разделил их на (n+1) 2 /4 меньших ромбов. Вдоль верхней левой стороны ромба размещены нечетные числа от 1 до n, каждое из которых приведено к октаве (делится на минимальную степень 2 так, что ). Затем эти интервалы располагаются в порядке возрастания. Вдоль нижней левой стороны размещены соответствующие обратные числа от 1 до 1/n, также приведенные к октаве (здесь, умноженные на минимальную степень 2 так, что ). Они размещены в порядке убывания. Во всех других местах размещено произведение диагонально верхних и нижних левых интервалов, приведенных к октаве. Это дает все элементы тонального ромба с некоторым повторением. Диагонали, наклоненные в одном направлении, образуют отональности , а диагонали в другом направлении образуют утональности. Один из инструментов Парча, алмазная маримба , устроен по тонологичному строю.
Числовая связь — это тождество, разделяемое двумя или более интервальными отношениями в их числителе или знаменателе , с различными тождествами в другом. [1] Например, в Отональности знаменатель всегда равен 1, поэтому 1 является числовой связью:
В Utonality числитель всегда равен 1, и числовая связь, таким образом, также равна 1:
Например, в тональном ромбе, таком как 11-предельный ромб Гарри Парча , каждое отношение правого наклонного ряда делит числитель, а каждое отношение левого наклонного ряда делит знаменатель. Каждое отношение верхнего левого ряда имеет 7 в качестве знаменателя, в то время как каждое отношение верхнего правого ряда имеет 7 (или 14) в качестве числителя.
Этот бриллиант содержит три идентичности (1, 3, 5).
Этот бриллиант содержит четыре идентичности (1, 3, 5, 7).
Этот ромб содержит шесть идентичностей (1, 3, 5, 7, 9, 11). Гарри Партч использовал ромб с 11-предельной тональностью, но перевернул его на 90 градусов.
Этот бриллиант содержит восемь идентичностей (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).
Пяти- и семипредельные тональные алмазы демонстрируют высокорегулярную геометрию в модуляционном пространстве , что означает, что все неунисонные элементы алмаза находятся всего в одной единице от унисона. Пятипредельный алмаз затем становится правильным шестиугольником, окружающим унисон, а семипредельный алмаз — кубооктаэдром, окружающим унисон. [ требуется цитата ] . Дополнительные примеры решеток алмазов, начиная от триадического и заканчивая огдоадическим алмазом, были реализованы Эрвом Уилсоном , где каждому интервалу дано свое собственное уникальное направление. [4]
Три свойства тонального алмаза и содержащиеся в них соотношения:
Например:
Если φ( n ) — это функция Эйлера , которая вычисляет количество положительных целых чисел, меньших n и взаимно простых с n, то есть она учитывает целые числа, меньшие n, которые не имеют общего множителя с n, и если d(n) обозначает размер ромба тональности n-предела, то мы имеем формулу
Из этого можно сделать вывод, что скорость роста тонального ромба асимптотически равна . Первые несколько значений являются важными, и тот факт, что размер ромба растет как квадрат размера нечетного предела, говорит нам, что он становится большим довольно быстро. Существует семь членов для ромба 5-го предела, 13 для ромба 7-го предела, 19 для ромба 9-го предела, 29 для ромба 11-го предела, 41 для ромба 13-го предела и 49 для ромба 15-го предела; этих членов достаточно для большинства целей.
Юрий Ландман опубликовал диаграмму отональности и утональности, которая проясняет связь тональных ромбов Парча с гармоническими рядами и длинами струн (которые Парч также использовал в своих китарах) и инструментом Ландмана Moodswinger . [6]
В соотношениях Парча число сверху соответствует количеству равных частей колеблющейся струны, а число снизу соответствует тому, на какое деление укорачивается длина струны. Например, 5 ⁄ 4 получается путем деления струны на 5 равных частей и укорачивания длины до 4-й части снизу. В диаграмме Ландмана эти числа инвертируются, изменяя соотношения частот на соотношения длин струн.
