Ортогональные координаты

Набор координат, в котором все координатные гиперповерхности пересекаются под прямым углом.

В математике ортогональные координаты определяются как набор d координат , в котором все координатные гиперповерхности пересекаются под прямым углом (обратите внимание, что верхние индексы являются индексами , а не показателями степени ). Координатная поверхность для конкретной координаты q ^k — это кривая , поверхность или гиперповерхность , на которой q ^k — константа. Например, трехмерная декартова система координат ( x , y , z ) является ортогональной системой координат, поскольку ее координатные поверхности x = константа, y = константа и z = константа являются плоскостями, пересекающимися под прямым углом друг к другу, т. е. перпендикулярны. Ортогональные координаты — это особый, но чрезвычайно распространенный случай криволинейных координат . ${\displaystyle \mathbf {q} =(q^{1},q^{2},\dots ,q^{d})}$

Мотивация

Конформное отображение, действующее на прямоугольную сетку. Обратите внимание, что ортогональность изогнутой сетки сохраняется.

В то время как векторные операции и физические законы обычно проще всего выводить в декартовых координатах , для решения различных задач, особенно задач с граничными значениями , например, возникающих в полевых теориях квантовой механики , течения жидкости , электродинамики , физики плазмы и диффузии химических веществ или тепла , часто используются недекартовы ортогональные координаты.

Главное преимущество недекартовых координат заключается в том, что их можно выбирать в соответствии с симметрией задачи. Например, волна давления, вызванная взрывом вдали от земли (или других преград), зависит от трехмерного пространства в декартовых координатах, однако давление в основном движется от центра, так что в сферических координатах задача становится почти одномерной (поскольку волна давления в основном зависит только от времени и расстояния от центра). Другим примером является (медленная) жидкость в прямой круглой трубе: в декартовых координатах необходимо решить (сложную) двумерную граничную задачу с частным дифференциальным уравнением, но в цилиндрических координатах задача становится одномерной с обыкновенным дифференциальным уравнением вместо частного дифференциального уравнения .

Причина предпочтения ортогональных координат вместо общих криволинейных координат заключается в простоте: много осложнений возникает, когда координаты не ортогональны. Например, в ортогональных координатах многие проблемы могут быть решены путем разделения переменных . Разделение переменных — это математический прием, который преобразует сложную d -мерную задачу в d -мерные задачи, которые могут быть решены в терминах известных функций. Многие уравнения могут быть сведены к уравнению Лапласа или уравнению Гельмгольца . Уравнение Лапласа разделимо в 13 ортогональных системах координат (14 перечислены в таблице ниже, за исключением тороидальной ), а уравнение Гельмгольца разделимо в 11 ортогональных системах координат. ^{[1] [2]}

Ортогональные координаты никогда не имеют недиагональных членов в своем метрическом тензоре . Другими словами, бесконечно малый квадрат расстояния ds ² всегда может быть записан как масштабированная сумма квадратов бесконечно малых смещений координат

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}}$

где d — размерность и масштабирующие функции (или масштабные коэффициенты)

${\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|}$

равны квадратным корням диагональных компонент метрического тензора или длинам локальных базисных векторов, описанных ниже. Эти масштабирующие функции h _i используются для вычисления дифференциальных операторов в новых координатах, например, градиента , лапласиана , дивергенции и ротора . ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

Простой метод создания ортогональных систем координат в двух измерениях — конформное отображение стандартной двумерной сетки декартовых координат ( x , y ) . Комплексное число z = x + iy может быть образовано из действительных координат x и y , где i представляет мнимую единицу . Любая голоморфная функция w = f ( z ) с ненулевой комплексной производной даст конформное отображение ; если полученное комплексное число записать как w = u + iv , то кривые констант u и v пересекаются под прямым углом, как и исходные линии констант x и y .

Ортогональные координаты в трех и более измерениях могут быть получены из ортогональной двумерной системы координат, либо путем проецирования ее в новое измерение ( цилиндрические координаты ), либо путем вращения двумерной системы вокруг одной из ее осей симметрии. Однако существуют и другие ортогональные системы координат в трех измерениях, которые не могут быть получены путем проецирования или вращения двумерной системы, такие как эллипсоидальные координаты . Более общие ортогональные координаты могут быть получены, начиная с некоторых необходимых координатных поверхностей и рассматривая их ортогональные траектории .

Базисные векторы

Ковариантный базис

В декартовых координатах базисные векторы фиксированы (постоянны). В более общей установке криволинейных координат точка в пространстве задается координатами, и в каждой такой точке связан набор базисных векторов, которые, как правило, не являются постоянными: это суть криволинейных координат в целом и является очень важной концепцией. Что отличает ортогональные координаты, так это то, что, хотя базисные векторы изменяются, они всегда ортогональны по отношению друг к другу. Другими словами,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j}$

Эти базисные векторы по определению являются касательными векторами кривых, полученных путем изменения одной координаты при фиксированных других:

Визуализация двумерных ортогональных координат. Показаны кривые, полученные путем удержания всех, кроме одной, координаты постоянными, а также базисные векторы. Обратите внимание, что базисные векторы не имеют одинаковой длины: они не обязаны быть таковыми, они должны быть только ортогональными.

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}$

где r — некоторая точка, а q ⁱ — координата, для которой извлекается базисный вектор. Другими словами, кривая получается путем фиксации всех координат, кроме одной; нефиксированная координата варьируется как в параметрической кривой , а производная кривой по параметру (изменяющейся координате) является базисным вектором для этой координаты.

Обратите внимание, что векторы не обязательно имеют одинаковую длину. Полезные функции, известные как масштабные коэффициенты координат, являются просто длинами базисных векторов (см. таблицу ниже). Масштабные коэффициенты иногда называют коэффициентами Ламе , не путать с параметрами Ламе (механика твердого тела) . ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}}$

Нормализованные базисные векторы обозначаются знаком «шапочка» и получаются путем деления на длину:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}}$

Векторные поля могут быть заданы его компонентами относительно базисных векторов или нормализованных базисных векторов, и нужно быть уверенным, какой случай имеется в виду. Компоненты в нормализованном базисе наиболее распространены в приложениях для ясности величин (например, может потребоваться иметь дело с тангенциальной скоростью вместо тангенциальной скорости, умноженной на масштабный коэффициент); в выводах нормализованный базис встречается реже, поскольку он более сложен.

Контравариантный базис

Базисные векторы, показанные выше, являются ковариантными базисными векторами (потому что они «ковариируют» с векторами). В случае ортогональных координат контравариантные базисные векторы легко найти, поскольку они будут иметь то же направление, что и ковариантные векторы, но обратную длину (по этой причине два набора базисных векторов называются обратными по отношению друг к другу):

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}}$

это следует из того, что по определению, , используя дельту Кронекера . Обратите внимание, что: ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$

Теперь мы сталкиваемся с тремя различными базисными наборами, обычно используемыми для описания векторов в ортогональных координатах: ковариантный базис e _i , контравариантный базис e ⁱ и нормализованный базис ê ⁱ . В то время как вектор является объективной величиной , то есть его идентичность не зависит от какой-либо системы координат, компоненты вектора зависят от того, в каком базисе представлен вектор.

Чтобы избежать путаницы, компоненты вектора x относительно базиса e _i представлены как x ⁱ , тогда как компоненты относительно базиса e ⁱ представлены как x _i :

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

Положение индексов показывает, как вычисляются компоненты (верхние индексы не следует путать с возведением в степень ). Обратите внимание, что символы суммирования Σ (заглавная Сигма ) и диапазон суммирования, указывающий на суммирование по всем базисным векторам ( i = 1, 2, ..., d ), часто опускаются . Компоненты связаны просто:

${\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}$

Не существует какой-либо общепринятой системы обозначений для векторных компонентов относительно нормализованного базиса; в этой статье мы будем использовать нижние индексы для векторных компонентов и отметим, что компоненты вычисляются в нормализованном базисе.

Векторная алгебра

Сложение и отрицание векторов выполняются покомпонентно, как и в декартовых координатах, без каких-либо осложнений. Для других векторных операций могут потребоваться дополнительные соображения.

Однако следует отметить, что все эти операции предполагают, что два вектора в векторном поле привязаны к одной и той же точке (другими словами, хвосты векторов совпадают). Поскольку базисные векторы обычно различаются в ортогональных координатах, если добавляются два вектора, компоненты которых вычисляются в разных точках пространства, необходимо учитывать различные базисные векторы.

Скалярное произведение

Скалярное произведение в декартовых координатах ( евклидово пространство с ортонормированным базисом) — это просто сумма произведений компонентов. В ортогональных координатах скалярное произведение двух векторов x и y принимает эту знакомую форму, когда компоненты векторов вычисляются в нормализованном базисе:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}$

Это является непосредственным следствием того факта, что нормализованный базис в некоторой точке может образовывать декартову систему координат: базисный набор является ортонормированным .

Для компонентов в ковариантных или контравариантных базисах,

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}}$

Это можно легко получить, записав векторы в компонентной форме, нормализуя базисные векторы и взяв скалярное произведение. Например, в 2D:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}$

где использован тот факт, что нормализованные ковариантные и контравариантные основания равны.

Перекрестное произведение

Векторным произведением в трехмерных декартовых координатах является:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$

Приведенная выше формула остается справедливой в ортогональных координатах, если компоненты вычисляются в нормализованном базисе.

Чтобы построить векторное произведение в ортогональных координатах с ковариантными или контравариантными базисами, мы снова должны просто нормализовать базисные векторы, например:

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}$

который, написанный развернуто,

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}}$

Краткая запись для векторного произведения, упрощающая обобщение на неортогональные координаты и более высокие измерения, возможна с помощью тензора Леви-Чивиты , который будет иметь компоненты, отличные от нулей и единиц, если не все масштабные коэффициенты равны единице.

Векторные исчисления

Дифференциация

Рассматривая бесконечно малое смещение из некоторой точки, становится очевидным, что

${\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

По определению градиент функции должен удовлетворять (это определение остается верным, если ƒ — любой тензор )

${\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}$

Из этого следует, что оператор del должен быть:

${\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

и это остается верным в общих криволинейных координатах. Такие величины, как градиент и Лапласиан, следуют за правильным применением этого оператора.

Базисные векторные формулы

Из d r и нормализованных базисных векторов ê _i можно построить следующее. ^{[3] [4]}

где

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}}$

— определитель Якоби , который имеет геометрическую интерпретацию деформации объема от бесконечно малого куба d x d y d z до бесконечно малого искривленного объема в ортогональных координатах.

Интеграция

Используя показанный выше линейный элемент, линейный интеграл вдоль пути вектора F равен: ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}}$

Бесконечно малый элемент площади для поверхности, описываемой сохранением одной постоянной координаты q _k, равен:

${\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}}$

Аналогично, элемент объема равен:

${\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}}$

где большой символ Π (заглавная буква Пи ) обозначает произведение так же, как большая Σ обозначает суммирование. Обратите внимание, что произведение всех масштабных множителей является определителем Якоби .

Например, поверхностный интеграл векторной функции F по постоянной поверхности q ¹ в трехмерном пространстве равен: ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}$

Обратите внимание, что F ¹ / h ₁ — это составляющая F, нормальная к поверхности.

Дифференциальные операторы в трех измерениях

Поскольку эти операции широко применяются, все векторные компоненты в этом разделе представлены относительно нормализованного базиса: . ${\displaystyle {\hat {F}}_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$

Выражения выше можно записать в более компактной форме, используя символ Леви-Чивиты и определитель Якоби , предполагая суммирование по повторяющимся индексам: ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3}}$

Также обратите внимание, что градиент скалярного поля можно выразить через матрицу Якоби J, содержащую канонические частные производные:

${\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]}$

при изменении основания :

${\displaystyle \nabla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} \mathbf {J} ^{T}}$

где матрицы вращения и масштабирования:

${\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]}$

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).}$

Таблица двумерных ортогональных координат

Примеры двумерных ортогональных координат (https://www.desmos.com/calculator/m5gmtg4n1d).

Таблица трехмерных ортогональных координат

Помимо обычных декартовых координат, ниже приведены 13 других. ^{[5] Для компактности в столбце криволинейных координат используется} интервальная нотация , а записи сгруппированы по их интервальным сигнатурам, например, COxCCxCO для сферических координат, где x в каждой сигнатуре указывает на декартово произведение с теоретическим пределом в 27 произведений. Из симметрии мы можем сделать вывод, что это полный список. Записи не сортируются по их интервальным сигнатурам в алфавитном порядке, и сигнатуры не включены. После группировки записей по интервальной сигнатуре порядок сортировки здесь алфавитный по имени криволинейной системы координат.

Смотрите также

• Криволинейные координаты
• Геодезические координаты
• Тензор
• Вектор поля
• Наклонные координаты
• Сбалансированная троичная система счисления

Примечания

1. Эрик В. Вайсштейн . "Ортогональная система координат". MathWorld . Получено 10 июля 2008 г.
2. Морзе и Фешбах 1953, Том 1, стр. 494–523, 655–666.
3. Математический справочник формул и таблиц (3-е издание), С. Липшуц, М. Р. Шпигель, Дж. Лю, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 . 
4. Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
5. Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 

Ссылки

• Корн ГА и Корн ТМ . (1961) Математический справочник для ученых и инженеров , McGraw-Hill, стр. 164–182.
• Морзе и Фешбах (1953). Методы теоретической физики, том 1. McGraw-Hill.
• Маргенау Х. и Мерфи ГМ. (1956) Математика физики и химии , 2-е изд., Ван Ностранд, стр. 172–192.
• Леонид П. Лебедев и Майкл Дж. Клауд (2003) Тензорный анализ , стр. 81 – 88.