Ортогональность (математика)

Термин в геометрии математика

В математике ортогональность — это обобщение геометрического понятия перпендикулярности на линейную алгебру билинейных форм .

Два элемента u и v векторного пространства с билинейной формой ортогональны , когда . В зависимости от билинейной формы векторное пространство может содержать ненулевые самоортогональные векторы. В случае функциональных пространств семейства ортогональных функций используются для формирования ортогонального базиса . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}$

Эта концепция использовалась в контексте ортогональных функций , ортогональных многочленов и комбинаторики .

Ортогональность и вращение систем координат сравниваются слева: в евклидовом пространстве через круговой угол ϕ , справа: в пространстве-времени Минковского через гиперболический угол ϕ (красные линии, помеченные буквой c, обозначают мировые линии светового сигнала, вектор ортогонален самому себе, если он лежит на этой линии). ^[1]

Определения

• В геометрии два евклидова вектора ортогональны , если они перпендикулярны , т.е. образуют прямой угол .
• Два вектора u и v в пространстве скалярного произведения ортогональны , если их скалярное произведение равно нулю. ^[2] Это отношение обозначается . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {v} }$
• Ортогональная матрица — это матрица , векторы-столбцы которой ортонормальны друг другу.
• Ортонормированный базис — это базис , векторы которого одновременно ортогональны и нормализованы (являются единичными векторами ).
• Конформное линейное преобразование сохраняет углы и соотношения расстояний, то есть преобразование ортогональных векторов с помощью того же конформного линейного преобразования сохранит эти векторы ортогональны .
• Два векторных подпространства и пространства внутреннего произведения называются ортогональными подпространствами , если каждый вектор в ортогонален каждому вектору в . Наибольшее подпространство из , которое ортогонально данному подпространству, является его ортогональным дополнением . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$
• Для данного модуля и его двойственного элемента из и элемента из ортогональны , если их естественное спаривание равно нулю, т.е. Два множества и ортогональны, если каждый элемент из ортогонален каждому элементу из . ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \langle m',m\rangle =0}$ ${\displaystyle S'\subseteq M^{*}}$ ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$
• Система переписывания терминов называется ортогональной, если она леволинейна и не допускает неоднозначности. Ортогональные системы переписывания терминов являются конфлюэнтными .

Набор векторов в пространстве внутреннего произведения называется попарно ортогональным , если каждая их пара ортогональна. Такой набор называется ортогональным набором .

В некоторых случаях слово нормаль используется для обозначения ортогонального , особенно в геометрическом смысле, как в нормали к поверхности . Например, ось Y является нормалью к кривой в начале координат. Однако нормаль может также относиться к величине вектора. В частности, набор называется ортонормальным (ортогональным плюс нормальным), если он является ортогональным набором единичных векторов . В результате часто избегают использования термина нормальный для обозначения «ортогонального». Слово «нормальный» также имеет другое значение в вероятности и статистике . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Векторные пространства с билинейной формой обобщают случай скалярного произведения. Когда билинейная форма, примененная к двум векторам, дает ноль, то они ортогональны . В случае псевдоевклидовой плоскости используется термин гиперболическая ортогональность . На диаграмме оси x′ и t′ являются гиперболически-ортогональными для любого заданного . ${\displaystyle \phi }$

Евклидовы векторные пространства

В евклидовом пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. они образуют угол в 90° ( радиан ), или один из векторов равен нулю. ^[4] Следовательно, ортогональность векторов является расширением концепции перпендикулярных векторов на пространства любой размерности. ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Ортогональное дополнение подпространства — это пространство всех векторов, которые ортогональны каждому вектору в подпространстве. В трехмерном евклидовом векторном пространстве ортогональное дополнение прямой, проходящей через начало координат, — это плоскость, проходящая через начало координат, перпендикулярная ей, и наоборот. ^[5]

Обратите внимание, что геометрическая концепция перпендикулярности двух плоскостей не соответствует ортогональному дополнению, поскольку в трех измерениях пара векторов, по одному из каждой пары перпендикулярных плоскостей, может встретиться под любым углом.

В четырехмерном евклидовом пространстве ортогональное дополнение прямой является гиперплоскостью и наоборот, а ортогональное дополнение плоскости является плоскостью. ^[5]

Ортогональные функции

Используя интегральное исчисление , обычно используют следующее для определения внутреннего произведения двух функций относительно неотрицательной весовой функции на интервале : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$

В простых случаях . ${\displaystyle w(x)=1}$

Мы говорим, что функции и ортогональны , если их скалярное произведение (что эквивалентно значению этого интеграла) равно нулю: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=0.}$

Ортогональность двух функций относительно одного скалярного произведения не означает ортогональности относительно другого скалярного произведения.

Запишем норму относительно этого внутреннего произведения как

${\displaystyle \|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$

Члены набора функций ортогональны относительно на интервале , если ${\displaystyle {f_{i}\mid i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=0\mid i\neq j.}$

Члены такого набора функций ортонормальны относительно на интервале , если ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=\delta _{ij},}$

где

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&&i=j\\0,&&i\neq j\end{matrix}}\right.}$

это дельта Кронекера .

Другими словами, каждая пара из них (исключая сопряжение функции с самой собой) ортогональна, и норма каждой равна 1. См., в частности, ортогональные многочлены .

Примеры

• Векторы ортогональны друг другу, так как и . ${\displaystyle (1,3,2)^{\text{T}},(3,-1,0)^{\text{T}},(1,3,-5)^{\text{T}}}$ ${\displaystyle (1)(3)+(3)(-1)+(2)(0)=0\ ,}$ ${\displaystyle \ (3)(1)+(-1)(3)+(0)(-5)=0\ ,}$ ${\displaystyle (1)(1)+(3)(3)+(2)(-5)=0}$
• Векторы и ортогональны друг другу. Скалярное произведение этих векторов равно нулю. Затем мы можем сделать обобщение, чтобы рассмотреть векторы в : для некоторого положительного целого числа , и для , эти векторы ортогональны, например , , ортогональны. ${\displaystyle (1,0,1,0,\ldots )^{\text{T}}}$ ${\displaystyle (0,1,0,1,\ldots )^{\text{T}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{k}=\sum _{i=0 \atop ai+k<n}^{n/a}\mathbf {e} _{i}}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq a-1}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&0&1&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0&0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0&0&1&0&0\end{bmatrix}}}$
• Функции и ортогональны относительно единичной весовой функции на интервале от −1 до 1: ${\displaystyle 2t+3}$ ${\displaystyle 45t^{2}+9t-17}$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\,dt=0}$$
• Функции ортогональны относительно интегрирования Римана на интервалах или любом другом замкнутом интервале длины . Этот факт является центральным в рядах Фурье . ${\displaystyle 1,\sin {(nx)},\cos {(nx)}\mid n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle [0,2\pi ],[-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Ортогональные многочлены

Различные полиномиальные последовательности, названные в честь математиков прошлого, являются последовательностями ортогональных полиномов . В частности:

• Полиномы Эрмита ортогональны относительно гауссовского распределения с нулевым средним значением.
• Полиномы Лежандра ортогональны относительно равномерного распределения на интервале . ${\displaystyle [-1,1]}$
• Полиномы Лагерра ортогональны относительно экспоненциального распределения . Несколько более общие последовательности полиномов Лагерра ортогональны относительно гамма-распределений .
• Многочлены Чебышева первого рода ортогональны относительно меры ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$
• Полиномы Чебышева второго рода ортогональны относительно полукругового распределения Вигнера .

Комбинаторика

В комбинаторике два латинских квадрата называются ортогональными, если их наложение дает все возможные комбинации записей. ^[6] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n^{2}}$

Полностью ортогонален

Две плоские плоскости и евклидова четырехмерного пространства называются полностью ортогональными тогда и только тогда, когда каждая прямая в ортогональна каждой прямой в . ^[7] В этом случае плоскости и пересекаются в одной точке , так что если прямая в пересекается с прямой в , они пересекаются в точке . и являются перпендикулярными и параллельными по Клиффорду . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

В 4-мерном пространстве мы можем построить 4 перпендикулярные оси и 6 перпендикулярных плоскостей через точку. Без потери общности мы можем считать их осями и ортогональными центральными плоскостями декартовой системы координат. В 4 измерениях у нас есть те же 3 ортогональные плоскости , что и в 3 измерениях, а также 3 другие . Каждая из 6 ортогональных плоскостей разделяет ось с 4 другими и полностью ортогональна только одной из других: единственной, с которой она не разделяет ось. Таким образом, существует 3 пары полностью ортогональных плоскостей: и пересекаются только в начале координат; и пересекаются только в начале координат; и пересекаются только в начале координат. ${\displaystyle (w,x,y,z)}$ ${\displaystyle (xy,xz,yz)}$ ${\displaystyle (wx,wy,wz)}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle wz}$ ${\displaystyle xz}$ ${\displaystyle wy}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle wx}$

В более общем случае два плоских подпространства и размерностей и евклидова пространства не менее размерностей называются полностью ортогональными , если каждая линия в ортогональна каждой линии в . Если то и пересекаются в одной точке . Если то и могут пересекаться или не пересекаться. Если то линия в и линия в могут пересекаться или не пересекаться; если они пересекаются, то они пересекаются в точке . ^[8] ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M+N}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle \dim(S)=M+N}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \dim(S)>M+N}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle \dim(S)=M+N}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle O}$

Смотрите также

• Мнимое число
• Ортогональное дополнение
• Ортогональная группа
• Ортогональная матрица
• Ортогональные многочлены
• Ортогональная траектория
• Ортогонализация
  • Процесс Грама-Шмидта
• Ортонормированный базис
• Ортонормальность
• Панортогональность встречается в кокватернионах
• Вверх галс

Ссылки

1. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 58. ISBN 0-7167-0344-0.
2. «Wolfram MathWorld».
3. Бурбаки, "гл. II §2.4", Алгебра I , стр. 234
4. Трефетен, Ллойд Н. и Бау, Дэвид (1997). Численная линейная алгебра. СИАМ. п. 13. ISBN 978-0-89871-361-9.
5. R. Penrose (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. стр. 417–419. ISBN 978-0-679-77631-4.
6. Хедаят, А.; и др. (1999). Ортогональные массивы: теория и приложения. Спрингер. п. 168. ИСБН 978-0-387-98766-8.
7. Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер. С. 124.
8. PHSchoute: Многомерная геометрия . Лейпциг: GJGöschensche Verlagshandlung. Том 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die Lineren Räume, 1902. ^{[ нужна страница ]}