Обзор и тематическое руководство по алгебраическим структурам
В математике изучаются многие типы алгебраических структур . Абстрактная алгебра — это в первую очередь изучение конкретных алгебраических структур и их свойств. Алгебраические структуры можно рассматривать по-разному, однако общей отправной точкой текстов по алгебре является то, что алгебраический объект включает в себя одно или несколько множеств с одной или несколькими бинарными операциями или унарными операциями, удовлетворяющими набору аксиом .
Другая ветвь математики, известная как универсальная алгебра, изучает алгебраические структуры в целом. С точки зрения универсальной алгебры большинство структур можно разделить на многообразия и квазимногообразия в зависимости от используемых аксиом. Некоторые аксиоматические формальные системы , которые не являются ни многообразиями, ни квазимногообразиями, называемые немногообразиями , иногда по традиции включаются в число алгебраических структур.
Конкретные примеры каждой конструкции можно найти в перечисленных статьях.
Алгебраических структур сегодня так много, что эта статья неизбежно будет неполной. В дополнение к этому, иногда существует несколько названий для одной и той же структуры, а иногда одно название будет определяться несогласными аксиомами разных авторов. Большинство структур, представленных на этой странице, будут общими, с которыми согласится большинство авторов. Другие веб-списки алгебраических структур, организованные более или менее в алфавитном порядке, включают Jipsen и PlanetMath. В этих списках упоминается много структур, не включенных ниже, и может быть представлено больше информации о некоторых структурах, чем представлено здесь.
Изучение алгебраических структур
Алгебраические структуры встречаются в большинстве разделов математики, и с ними можно столкнуться разными способами.
- Начальное обучение: В американских университетах группы , векторные пространства и поля, как правило, являются первыми структурами, с которыми сталкиваются в таких предметах, как линейная алгебра . Обычно они вводятся как множества с определенными аксиомами.
- Расширенное исследование:
- Абстрактная алгебра изучает свойства конкретных алгебраических структур.
- Универсальная алгебра изучает алгебраические структуры абстрактно, а не конкретные типы структур.
- Теория категорий изучает взаимосвязи между различными структурами, алгебраическими и неалгебраическими. Для изучения неалгебраического объекта часто бывает полезно использовать теорию категорий, чтобы связать объект с алгебраической структурой.
Типы алгебраических структур
В полном обобщении алгебраическая структура может использовать любое количество множеств и любое количество аксиом в своем определении. Однако наиболее часто изучаемые структуры обычно включают только одно или два множества и одну или две бинарные операции . Структуры ниже организованы по тому, сколько множеств задействовано и сколько бинарных операций используется. Увеличенный отступ предназначен для указания более экзотической структуры, а уровни с наименьшим отступом являются самыми базовыми.
Один набор без бинарных операций
- Множество : вырожденная алгебраическая структура S, не имеющая операций.
- Точечное множество : S имеет один или несколько выделенных элементов, часто 0, 1 или оба.
- Унарная система: S и одна унарная операция над S.
- Заостренная унарная система : унарная система с S — заостренным множеством.
Одна бинарная операция на одном наборе
Следующие группоподобные структуры состоят из множества с бинарной операцией. Бинарная операция может быть обозначена любым символом или без символа (сопоставление). Наиболее распространенной структурой является структура группы . Другие структуры включают ослабление или усиление аксиом для групп и могут дополнительно использовать унарные операции.
Две бинарные операции на одном наборе
Основными типами структур с одним набором, имеющим две бинарные операции, являются кольцеобразные или рингоиды и решетчатые или просто решетки . Кольцеобразные и решетки можно четко различить, несмотря на то, что оба имеют две определяющие бинарные операции. В случае рингоидов эти две операции связаны распределительным законом ; в случае решеток они связаны законом поглощения . Кольцеобразные также имеют тенденцию иметь числовые модели , в то время как решетки имеют тенденцию иметь теоретико-множественные модели.
В кольцевых структурах или рингоидах две бинарные операции часто называют сложением и умножением , причем умножение связано со сложением распределительным законом .
- Полукольцо : рингоид, такой что S является моноидом при каждой операции. Сложение обычно предполагается коммутативным и ассоциативным, а моноидное произведение предполагается распределенным по сложению с обеих сторон, а аддитивное тождество 0 является поглощающим элементом в том смысле, что 0 x = 0 для всех x .
- Почти кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является группой (не обязательно абелевой).
- Кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является абелевой группой.
- Неассоциативные кольца : они похожи на кольца, но операция умножения не обязательно должна быть ассоциативной.
- Булево кольцо : коммутативное кольцо с идемпотентной операцией умножения.
- Алгебры Клини : полукольцо с идемпотентным сложением и унарной операцией, звездой Клини , удовлетворяющее дополнительным свойствам.
- *-алгебра или *-кольцо : кольцо с дополнительной унарной операцией (*), известной как инволюция , удовлетворяющее дополнительным свойствам.
- Арифметика: сложение и умножение на бесконечном множестве с дополнительной унарной структурой, отмеченной как унарный. Унарная операция — инъективный преемник и имеет выделенный элемент 0.
- Арифметика Робинсона . Сложение и умножение рекурсивно определяются с помощью последователя. 0 — это тождественный элемент для сложения, который аннулирует умножение. Арифметика Робинсона указана здесь, хотя она является разновидностью, из-за ее близости к арифметике Пеано.
- Арифметика Пеано . Арифметика Робинсона с аксиоматической схемой индукции . Большинство аксиом колец и полей , касающихся свойств сложения и умножения, являются теоремами арифметики Пеано или ее собственными расширениями.
Решеточно-подобные структуры имеют две бинарные операции, называемые встречей и соединением , связанные законом поглощения .
- Латтикоид: встречаться и присоединяться к поездкам на работу , но не обязательно общаться .
- Косая решетка : встречаются и присоединяются, но не должны коммутировать.
- Решетка : встречайтесь, присоединяйтесь к коллегам и ездите на работу.
- Полная решетка : решетка, в которой существуют произвольные пересечения и соединения .
- Ограниченная решетка : решетка с наибольшим элементом и наименьшим элементом.
- Дополненная решетка : ограниченная решетка с унарной операцией, дополнением, обозначаемая постфиксом ⊥ . Соединение элемента с его дополнением является наибольшим элементом, а встреча двух элементов является наименьшим элементом.
- Модульная решетка : решетка, элементы которой удовлетворяют дополнительному модульному тождеству .
- Распределительная решетка : решетка, в которой каждое из meet и join распределяет по другому. Распределительные решетки являются модульными, но обратное не выполняется.
- Булева алгебра : дополненная дистрибутивная решетка. Любое из meet или join может быть определено в терминах другого и дополнения. Можно показать, что это эквивалентно кольцевой структуре с тем же названием, приведенной выше.
- Алгебра Гейтинга : ограниченная дистрибутивная решетка с добавленной бинарной операцией, относительным псевдодополнением , обозначаемой инфиксным оператором → и управляемой аксиомами:
- х → х = 1
- х ( х → у ) = х у
- у ( х → у ) = у
- х → ( у z ) = ( х → у ) ( х → z )
Модульные конструкции на двух наборах
Следующие модульные структуры имеют общую черту: они имеют два множества, A и B , так что существует бинарная операция из A × A в A и другая операция из A × B в A. Модули, включая кольцевые операции, имеют по крайней мере три бинарные операции.
- Группа с операторами : группа G с множеством Ω и бинарной операцией Ω × G → G , удовлетворяющей некоторым аксиомам.
- Модуль : абелева группа M и кольцо R, действующие как операторы на M. Обычно M определяется как «над R ». Члены R иногда называются скалярами , а бинарная операция скалярного умножения — это функция R × M → M , которая удовлетворяет нескольким аксиомам.
Алгеброподобные структуры на двух множествах
Эти структуры определяются на двух множествах, кольце R и R -модуле M, снабженном операцией, называемой умножением. Это можно рассматривать как систему с пятью бинарными операциями: две операции над R , две над M и одна, включающая как R , так и M. Многие из этих структур являются гибридными структурами ранее упомянутых.
- Алгебра над кольцом (также R-алгебра ): модуль над коммутативным кольцом R , который также несет операцию умножения, совместимую со структурой модуля. Это включает дистрибутивность по сложению и линейность относительно умножения на элементы R.
- Алгебра над полем : Это кольцо, которое также является векторным пространством над полем. Умножение обычно предполагается ассоциативным. Теория особенно хорошо разработана.
- Ассоциативная алгебра : алгебра над кольцом, в которой умножение ассоциативно .
- Неассоциативная алгебра : модуль над коммутативным кольцом, снабженный операцией умножения кольца, которая не обязательно ассоциативна. Часто ассоциативность заменяется другой идентичностью, такой как альтернация , тождество Якоби или тождество Жордана .
- Коалгебра : векторное пространство с «коумножением», определяемым двойственно к ассоциативным алгебрам.
- Коалгебра Ли : векторное пространство с «коумножением», определяемым двойственно к алгебре Ли.
- Градуированная алгебра : градуированное векторное пространство со структурой алгебры, совместимой с градуировкой. Идея состоит в том, что если известны градации двух элементов a и b , то известна градация ab , и, таким образом, определяется местоположение продукта ab в разложении.
- Пространство внутреннего произведения : векторное пространство V типа F с определенной билинейной формой V × V → F .
- Биалгебра : ассоциативная алгебра с совместимой структурой коалгебры.
- Биалгебра Ли : алгебра Ли с совместимой структурой биалгебры.
- Алгебра Хопфа : биалгебра с аксиомой связности (антипод).
- Алгебра Клиффорда : ассоциативная -градуированная алгебра, дополнительно снабженная внешним произведением , из которого можно вывести несколько возможных внутренних произведений. Внешние алгебры и геометрические алгебры являются частными случаями этой конструкции.
Алгебраические структуры с дополнительной неалгебраической структурой
Существует множество примеров математических структур, в которых алгебраическая структура существует наряду с неалгебраической.
Алгебраические структуры в различных дисциплинах
Некоторые алгебраические структуры находят применение в дисциплинах за пределами абстрактной алгебры. Нижеследующее призвано продемонстрировать некоторые конкретные приложения в других областях.
В физике :
В математической логике :
В области компьютерных наук :
Смотрите также
Ссылки
- ^ Джонатан Д. Х. Смит (15 ноября 2006 г.). Введение в квазигруппы и их представления. Chapman & Hall. ISBN 9781420010633. Получено 2012-08-02 .
- Гаррет Биркгофф , 1967. Теория решеток , 3-е изд., AMS Colloquium Publications, том 25. Американское математическое общество.
- ———, и Сондерс Маклейн , 1999 (1967). Алгебра , 2-е изд. Нью-Йорк: Челси.
- Джордж Булос и Ричард Джеффри , 1980. Вычислимость и логика , 2-е изд. Cambridge Univ. Press.
- Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М., 2004. Абстрактная алгебра , 3-е изд. John Wiley and Sons.
- Гретцер, Джордж, 1978. Универсальная алгебра , 2-е изд. Springer.
- Дэвид К. Льюис , 1991. Часть занятий . Блэквелл.
- Мишель, Энтони Н. и Хергет, Чарльз Дж., 1993 (1981). Прикладная алгебра и функциональный анализ . Довер.
- Поттер, Майкл, 2004. Теория множеств и ее философия , 2-е изд. Oxford Univ. Press.
- Сморински, Крейг, 1991. Логическая теория чисел I. Springer-Verlag.
Монография доступна бесплатно онлайн:
- Беррис, Стэнли Н. и HP Санкаппанавар, HP, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .
Внешние ссылки
- Джипсен:
- Алфавитный список алгебраических структур; включает многие, не упомянутые здесь.
- Онлайн-книги и конспекты лекций.
- Карта, содержащая около 50 структур, некоторые из которых не показаны выше. Аналогично, большинство структур выше отсутствуют на этой карте.
- Индекс тем PlanetMath.
- Хазевинкель, Михель (2001) Математическая энциклопедия. Спрингер-Верлаг.
- Страница Mathworld, посвященная абстрактной алгебре.
- Стэнфордская энциклопедия философии : Алгебра Воана Пратта .
