Параболическая траектория

Тип орбиты

Зеленый путь на этом изображении является примером параболической траектории.

Параболическая траектория изображена в нижнем левом квадранте этой диаграммы, где гравитационный потенциальный колодец центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия параболической траектории показана красным цветом. Высота кинетической энергии асимптотически уменьшается к нулю по мере уменьшения скорости и увеличения расстояния согласно законам Кеплера.

В астродинамике или небесной механике параболическая траектория — это орбита Кеплера с эксцентриситетом , равным 1, и является несвязанной орбитой, которая находится точно на границе между эллиптической и гиперболической. При удалении от источника она называется орбитой убегания , в противном случае — орбитой захвата . Иногда ее также называют орбитой C ₃  = 0 (см. Характерная энергия ).

При стандартных предположениях тело, движущееся по орбите убегания, будет двигаться по параболической траектории до бесконечности со скоростью относительно центрального тела, стремящейся к нулю, и, следовательно, никогда не вернется. Параболические траектории являются траекториями убегания с минимальной энергией, отделяющими гиперболические траектории с положительной энергией от эллиптических орбит с отрицательной энергией .

Скорость

Орбитальная скорость ( ) тела, движущегося по параболической траектории, может быть вычислена как: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over r}}}$

где:

• ${\displaystyle r}$- радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle \mu }$— стандартный гравитационный параметр .

В любом положении движущееся по орбите тело имеет скорость убегания для этого положения.

Если тело имеет космическую скорость относительно Земли, то ее недостаточно, чтобы покинуть Солнечную систему, поэтому вблизи Земли орбита напоминает параболу, но по мере удаления она изгибается в эллиптическую орбиту вокруг Солнца.

Эта скорость ( ) тесно связана с орбитальной скоростью тела на круговой орбите радиуса, равного радиальному положению вращающегося тела на параболической траектории: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v={\sqrt {2}}\,v_{o}}$

где:

• ${\displaystyle v_{o}}$— орбитальная скорость тела на круговой орбите .

Уравнение движения

Для тела, движущегося по такой траектории, уравнение орбиты имеет вид:

${\displaystyle r={h^{2} \over \mu }{1 \over {1+\cos \nu }}}$

где:

• ${\displaystyle r\,}$- радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle h\,}$- удельный момент импульса вращающегося тела ,
• ${\displaystyle \nu \,}$является истинной аномалией орбитального тела,
• ${\displaystyle \mu \,}$— стандартный гравитационный параметр .

Энергия

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия ( ) параболической траектории равна нулю, поэтому уравнение сохранения орбитальной энергии для этой траектории принимает вид: ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}=0}$

где:

• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle r\,}$- радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle \mu \,}$— стандартный гравитационный параметр .

Это полностью эквивалентно тому, что характеристическая энергия (квадрат скорости на бесконечности) равна 0:

${\displaystyle C_{3}=0}$

Уравнение Баркера

Уравнение Баркера связывает время полета с истинной аномалией параболической траектории: ^[1] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

где:

• ${\displaystyle D=\tan {\frac {\nu }{2}}}$является вспомогательной переменной
• ${\displaystyle T}$время прохождения перицентра
• ${\displaystyle \mu }$стандартный гравитационный параметр
• ${\displaystyle p}$является полуширокой прямой кишкой траектории ( ) ${\displaystyle p=h^{2}/\mu }$

В более общем смысле, время между любыми двумя точками на орбите равно

${\displaystyle t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)}$

Альтернативно, уравнение можно выразить через перицентрическое расстояние в параболической орбите : ${\displaystyle r_{p}=p/2}$

${\displaystyle t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

В отличие от уравнения Кеплера , которое используется для решения истинных аномалий в эллиптических и гиперболических траекториях, истинная аномалия в уравнении Баркера может быть решена непосредственно для . Если сделать следующие замены ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)\\[3pt]B&={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}\end{aligned}}}$

затем

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)}$

С гиперболическими функциями решение можно также выразить как: ^[2]

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(2\sinh {\frac {\mathrm {arcsinh} {\frac {3M}{2}}}{3}}\right)}$

где

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}$

Радиальная параболическая траектория

Радиальная параболическая траектория — это непериодическая траектория на прямой линии , где относительная скорость двух объектов всегда равна скорости убегания . Возможны два случая: тела движутся друг от друга или навстречу друг другу.

Существует довольно простое выражение для положения как функции времени:

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}\mu t^{2}}}}$

где

• μ — стандартный гравитационный параметр
• ${\displaystyle t=0\!\,}$соответствует экстраполированному времени фиктивного начала или окончания в центре центрального тела.

В любой момент времени средняя скорость в 1,5 раза превышает текущую скорость, т.е. в 1,5 раза превышает локальную скорость убегания. ${\displaystyle t=0\!\,}$

Чтобы оказаться на поверхности, примените сдвиг по времени; для Земли (и любого другого сферически симметричного тела с такой же средней плотностью) как центрального тела этот сдвиг по времени составляет 6 минут и 20 секунд; через семь таких периодов высота над поверхностью в три раза больше радиуса и т. д. ${\displaystyle t=0\!\,}$

Смотрите также

• орбита Кеплера
• Парабола

Ссылки

1. Бейт, Роджер; Мюллер, Дональд; Уайт, Джерри (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-60061-0.стр. 188
2. Zechmeister, Mathias (2020). «Решение уравнения Кеплера с помощью двойных итераций CORDIC». MNRAS . 500 (1): 109–117. arXiv : 2008.02894 . Bibcode : 2021MNRAS.500..109Z. doi : 10.1093/mnras/staa2441 .Уравнение (40) и Приложение C.