Теорема Парсеваля

Теорема по математике

В математике теорема Парсеваля ^[1] обычно относится к результату, согласно которому преобразование Фурье унитарно ; В общих чертах, сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата ее преобразования. Оно берет свое начало из теоремы Марка-Антуана Парсеваля о рядах 1799 года , которая позже была применена к рядам Фурье . Она также известна как энергетическая теорема Рэлея или тождество Рэлея , в честь Джона Уильяма Стрэтта , лорда Рэлея. ^[2]

Хотя термин «теорема Парсеваля» часто используется для описания унитарности любого преобразования Фурье, особенно в физике , наиболее общую форму этого свойства правильнее называть теоремой Планшереля . ^[3]

Формулировка теоремы Парсеваля

Предположим, что и - две комплекснозначные функции периода , интегрируемые с квадратом (относительно меры Лебега ) на интервалах длины периода с рядом Фурье ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$

и

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}$

соответственно. Затем

где – мнимая единица , а горизонтальные полосы обозначают комплексное сопряжение . Замена и : ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle {\overline {B(x)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}\right)\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {b_{n}}}e^{-inx}\right)\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdots \right)\left({\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Как и в случае со средними членами в этом примере, многие члены будут интегрироваться по всему периоду длины (см. Гармоники ): ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\left[a_{1}{\overline {b_{1}}}x+ia_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\[6pt]\end{aligned}}}$

В более общем смысле, если и вместо этого представляют собой две комплекснозначные функции периода , которые интегрируются с квадратом (относительно меры Лебега ) по интервалам длины периода, с рядом Фурье ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}$

и

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}$

соответственно. Затем

В более общем смысле, для абелевой локально компактной группы G с двойственной по Понтрягину G^ ^{теорема} Парсеваля гласит, что преобразование Понтрягина–Фурье является унитарным оператором между ^{гильбертовыми} пространствами L2 ( G ) и L2 ( G^ ) (с интегрированием против соответственно масштабированные меры Хаара для двух групп.) Когда G — единичный круг T , G^ — целые числа, и это случай, обсуждавшийся выше. Когда G — действительная линия , G^ также является ею , а унитарное преобразование — это преобразование Фурье на действительной линии. Когда G является циклической группой Zn , она снова самодвойственна, и преобразование Понтрягина-Фурье представляет собой то, что в прикладном контексте называется _{дискретным} преобразованием Фурье . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Теорему Парсеваля также можно выразить следующим образом: Предположим, что это функция, интегрируемая с квадратом на этом интервале (т. е. интегрируемая на этом интервале) с рядом Фурье ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f^{2}(x)}$

${\displaystyle f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).}$

Тогда ^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right).}$

Обозначения, используемые в технике

В электротехнике теорему Парсеваля часто записывают так:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f}$

где представляет собой непрерывное преобразование Фурье (в нормализованной унитарной форме) и является частотой в радианах в секунду. ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$

Интерпретация этой формы теоремы заключается в том, что полную энергию сигнала можно рассчитать путем суммирования мощности на выборку по времени или спектральной мощности по частоте.

Для сигналов дискретного времени теорема принимает вид:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi }$

где — преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) и представляет собой угловую частоту (в радианах на выборку) . ${\displaystyle X_{2\pi }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$

Альтернативно, для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) соотношение принимает вид:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}}$

где - ДПФ , как длины . ${\displaystyle X[k]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle N}$

Ниже мы покажем случай ДПФ. Для остальных случаев доказательство аналогично. Используя определение обратного ДПФ , мы можем получить ${\displaystyle X[k]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]\,X^{*}[k]\\[5mu]&={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\left[\sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n](N\cdot x^{*}[n])\\[5mu]&=\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2},\end{aligned}}}$

где представляет собой комплексно-сопряженное соединение. ${\displaystyle *}$

Смотрите также

Теорема Парсеваля тесно связана с другими математическими результатами, включающими унитарные преобразования:

• Личность Парсеваля
• Теорема Планшереля
• Теорема Винера – Хинчина
• Неравенство Бесселя

Примечания

1. Парсеваль де Шен, Марк-Антуан «Мемуар о сериях и полной интеграции уравнений с различиями в линейных частях второго порядка, константах коэффициентов», представленный перед Академией наук (Париж) 5 апреля 1799 года. Эта статья был опубликован в журнале Mémoires presentés à l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques (Savants étrangers.) , т. 1, страницы 638–648 (1806).
2. Рэлей, JWS (1889) «О характере полного излучения при данной температуре», Philosophical Magazine , vol. 27, страницы 460–469. Доступно онлайн здесь.
3. Планшерель, Мишель (1910) «Вклад в этюд де ла представление d'une fonction Arbitaire par les Integres Définies», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, страницы 298–335.
4. Артур Э. Дэнезе (1965). Продвинутое исчисление . Том. 1. Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon, Inc., с. 439.
5. Уилфред Каплан (1991). Продвинутое исчисление (4-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон Уэсли. п. 519. ИСБН 0-201-57888-3.
6. Георгий П. Толстов (1962). Ряд Фурье . Перевод Сильвермана, Ричарда. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., с. 119.

Внешние ссылки

• Теорема Парсеваля о математическом мире