Перидинамика

Компьютерная модель сужения алюминиевого стержня под напряжением. Цвета указывают на повышение температуры из-за нагрева пластика. Расчет выполнен с помощью компьютерного кода Emu с использованием перидинамического состояния на основе фреймворка.

Перидинамика — это нелокальная формулировка механики сплошной среды , ориентированная на деформации с разрывами, особенно трещинами . Первоначально была введена перидинамика на основе связей ^[1] , в которой внутренние силы взаимодействия между материальной точкой и всеми другими, с которыми она может взаимодействовать, моделируются как центральное силовое поле . ^[2] Этот тип силовых полей можно представить как сетку связей, соединяющих каждую точку тела с каждой другой взаимодействующей точкой в ​​пределах определенного расстояния, которое зависит от свойства материала, называемого перидинамическим горизонтом . Позже, чтобы преодолеть ограничения каркаса на основе связей для коэффициента Пуассона материала ^{[3] [4]} ( для плоского напряжения и для плоской деформации в двумерных конфигурациях; для трехмерных), была сформулирована перидинамика на основе состояний . ^[5] Ее характерной особенностью является то, что сила, которой обмениваются точка и другая, зависит от состояния деформации всех других связей относительно ее зоны взаимодействия. ^[1] ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle 1/4}$

Характерной чертой перидинамики, отличающей ее от классической локальной механики, является наличие связи конечного радиуса действия между любыми двумя точками материального тела: эта черта приближает такие формулировки к дискретным мезомасштабным теориям материи. ^[1]

Этимология

Термин перидинамический , как прилагательное, был предложен в 2000 году и происходит от префикса пери- , что означает все вокруг , около или окружающий ; и корня dyna , что означает силу или мощность . Термин перидинамика , как существительное, является сокращенной формой фразы перидинамическая модель механики твердого тела. ^[1]

Цель

Трещина — это математическая особенность , к которой классические уравнения механики сплошной среды не могут быть применены напрямую. Перидинамическая теория была предложена с целью математического моделирования образования и динамики трещин в упругих материалах. ^[1] Она основана на интегральных уравнениях , в отличие от классической механики сплошной среды, которая основана на частных дифференциальных уравнениях . Поскольку частные производные не существуют на поверхностях трещин ^[1] и других геометрических особенностях , классические уравнения механики сплошной среды не могут быть применены напрямую, когда такие особенности присутствуют в деформации . Интегральные уравнения перидинамической теории справедливы также для особенностей и могут применяться напрямую, поскольку они не требуют частных производных. Возможность применять одни и те же уравнения напрямую во всех точках математической модели деформирующейся структуры помогает перидинамическому подходу избежать необходимости в специальных методах механики разрушения, таких как xFEM . ^[6] Например, в перидинамике нет необходимости в отдельном законе роста трещины, основанном на коэффициенте интенсивности напряжений . ^[7]

Определение и основная терминология

(а) Кинематика материального тела в рамках перидинамической теории. (б) Представление перидинамического горизонта . ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$

В контексте перидинамической теории физические тела рассматриваются как образованные непрерывной сеткой точек, которые могут обмениваться дальнодействующими силами взаимного взаимодействия в пределах максимального и хорошо установленного расстояния : радиуса перидинамического горизонта . Эта перспектива гораздо больше приближается к молекулярной динамике, чем к макроскопическим телам, и, как следствие, не основана на концепции тензора напряжений (которая является локальной концепцией) и смещается к понятию парной силы , которой материальная точка обменивается в пределах своего перидинамического горизонта. С точки зрения Лагранжа , подходящей для малых смещений, перидинамический горизонт считается фиксированным в исходной конфигурации и затем деформируется вместе с телом. ^[3] Рассмотрим материальное тело, представленное как , где может быть либо 1, 2, либо 3. Тело имеет положительную плотность . Его исходная конфигурация в начальный момент времени обозначается как . Важно отметить, что исходная конфигурация может быть либо конфигурацией без напряжений , либо определенной конфигурацией тела, выбранного в качестве эталона. В контексте перидинамики каждая точка взаимодействует со всеми точками в пределах некоторой окрестности, определяемой , где и представляет собой подходящую функцию расстояния на . Эта окрестность часто упоминается в литературе как . Она обычно известна как горизонт ^{[7] [8]} или семейство . ^{[3] [9]} ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Omega _{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\bf {x}}'}$ ${\displaystyle d({\bf {x}},{\bf {x}}')\leq \delta }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$

Кинематика описывается в терминах ее смещения от исходного положения, обозначаемого как . Следовательно, положение в определенный момент времени определяется как . Кроме того, для каждой пары взаимодействующих точек изменение длины связи относительно исходной конфигурации отслеживается с течением времени через относительную деформацию , которую можно выразить как: ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {u}}({\bf {x}},t):\Omega _{0}\times \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\bf {y}}({\bf {x}},t):={\bf {x}}+{\bf {u}}({\bf {x}},t)}$ ${\displaystyle s({\bf {x}},{\bf {x}}',t)}$

${\displaystyle s\left({\bf {x}},{\bf {x}}',t\right)={\frac {\left|{\bf {u}}\left({\bf {x}}^{\prime },t\right)-{\bf {u}}({\bf {x}},t)\right|}{\left|{\bf {x}}^{\prime }-{\bf {x}}\right|}},}$

где обозначает евклидову норму ^[3] и . ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle {\bf {x}}'\in B_{\delta }({\bf {x}})\cap \Omega _{0}}$

Взаимодействие между любыми и называется связью . Эти парные связи имеют различную длину с течением времени в ответ на силу на единицу объема в квадрате, обозначаемую как ^[3] ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x'}}}$

${\displaystyle {\bf {f}}\equiv {\bf {f}}({\bf {x}}',{\bf {x}},{\bf {u}}({\bf {x}}'),{\bf {u}}({\bf {x}}),t)}$.

Эта сила обычно известна как парная силовая функция или перидинамическое ядро , и она охватывает все конститутивные (зависимые от материала) свойства. Она описывает, как внутренние силы зависят от деформации. Стоит отметить, что зависимость от была опущена здесь ради простоты записи. Кроме того, вводится внешний силовой член, , что приводит к следующему уравнению движения, представляющему собой фундаментальное уравнение перидинамики: ^[3] ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ({\bf {x}},t)}$

${\displaystyle {\rho {\bf {u}}_{tt}({\bf {x}},t)={\bf {F}}({\bf {x}},t)}\,.}$

где интегральный член представляет собой сумму всех внутренних и внешних сил, действующих на единицу объема : ${\displaystyle {\bf {F}}({\bf {x}},t)}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$

${\displaystyle {{\bf {F}}({\bf {x}},t):=\int _{\Omega _{0}\cap B_{\delta }({\bf {x}})}{\bf {f}}\left({\bf {x}}',{\bf {x}},{\bf {u}}\left({\bf {x}}'\right),{\bf {u}}({\bf {x}})\right)dV_{{\bf {x}}'}+{\bf {b}}({\bf {x}},t)}\,.}$

Векторная функция — это плотность силы, действующая на . Эта плотность силы зависит от векторов относительного смещения и относительного положения между и . Размерность равна . [ ^3] ${\displaystyle {\bf {f}}}$ ${\displaystyle {\bf {x'}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x'}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {f}}}$ ${\displaystyle [N/m^{6}]}$

Перидинамика на основе связей

В этой формулировке перидинамики ядро ​​определяется природой внутренних сил и физических ограничений, которые управляют взаимодействием только двух материальных точек. Для краткости определены следующие величины и так, что ^[1] ${\displaystyle {\bf {\bf {\xi }}}:={\bf {x}}'-{\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {\eta }}:={\bf {u}}({\bf {x}}')-{\bf {u}}({\bf {x}})}$

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {x}}'-{\bf {x}},{\bf {u}}({\bf {x}}')-{\bf {u}}({\bf {x}}))\equiv {\bf {{f}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}}}$

Принцип действия и реакции

Для любого и , принадлежащего соседству , справедливо следующее соотношение: . Это выражение отражает принцип действия и противодействия, обычно известный как Третий закон Ньютона. Он гарантирует сохранение линейного импульса в системе, состоящей из взаимодействующих частиц. ^[1] ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x'}}}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle {\bf {f}}(-\eta ,-\xi )=-{\bf {f}}(\eta ,\xi )}$

Сохранение момента импульса

Для любых и принадлежащих окрестности , выполняется следующее условие: . Это условие возникает из рассмотрения относительного деформированного луча- вектора , соединяющего и , как . Условие выполняется тогда и только тогда, когда вектор парной плотности силы имеет то же направление, что и относительный деформированный луч-вектор. Другими словами, для всех и , где — скалярнозначная функция. ^[1] ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {{x}'}}}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle (\xi +\eta )\times {\bf {f}}(\xi ,\eta )=0}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {{x}'}}}$ ${\displaystyle \xi +\eta }$ ${\displaystyle {\bf {f}}(\xi ,\eta )=f(\xi ,\eta )(\xi +\eta )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f(\xi ,\eta )}$

Гиперэластичный материал

Гиперупругий материал — это материал с конститутивным соотношением, таким что: ^[1]

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})\cdot d{\bf {\eta }}=0\,,\quad \forall {\text{ closed curve }}\Gamma ,\ \ \ \ \forall {\bf {\xi }}\neq {\bf {{0},}}}$

или, что то же самое, по теореме Стокса

${\displaystyle \nabla _{\bf {\eta }}\times {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})={\bf {{0}\,}}}$ , ${\displaystyle \forall \,{\bf {\xi }},\,{\bf {\eta }}}$

и, таким образом,

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})=\nabla _{\bf {\eta }}\Phi ({\bf {\xi }},\,{\bf {\eta }})\,\forall {\bf {\xi }},\,{\bf {\eta }}\,.}$

В приведенном выше уравнении есть скалярная потенциальная функция в . ^[1] В связи с необходимостью соблюдения закона сохранения момента импульса , условие ниже для скалярной функции следует ^[1] ${\displaystyle \Phi ({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}$ ${\displaystyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\setminus {\bf {{\{0\}}\times \mathbb {R} ^{n})}}}$ ${\displaystyle f({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}$

${\displaystyle {\frac {\partial f({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}{\partial {\bf {\eta }}}}=g({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})({\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}).}$

где — скалярная функция. Интегрируя обе части уравнения, получаем следующее условие на ^[1] ${\displaystyle g({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}$ ${\displaystyle g({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}$

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})=h(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|,{\bf {\xi }})({\bf {\xi }}+{\bf {\eta }})}$,   

для скалярной функции. Упругая природа очевидна: сила взаимодействия зависит только от начального относительного положения точек и и модуля их относительного положения, , в деформированной конфигурации в момент времени . Применяя гипотезу изотропии , зависимость от вектора можно заменить зависимостью от его модуля , ^[1] ${\displaystyle h(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|,{\bf {\xi }})}$ ${\displaystyle {\bf {f}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}'}$ ${\displaystyle |{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\bf {\xi }}}$ ${\displaystyle |{\bf {\xi }}|}$

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})=h(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|,|{\bf {\xi }}|)({\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}).}$

Таким образом, силы связи можно рассматривать как моделирование пружинной сетки, которая  попарно соединяет каждую точку с . ${\displaystyle {\bf {x}}\in \Omega _{0}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}'\in B_{\delta }({\bf {x}})\cap \Omega _{0}}$

Линейно-эластичный материал

Если , то перидинамическое ядро ​​можно линеаризовать вокруг : ^[1] ${\displaystyle |{\bf {\eta }}|\ll 1}$ ${\displaystyle {\bf {\eta }}={\bf {0}}}$

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})\approx {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {{0})+\left.{\frac {\partial {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}{\partial {\bf {\eta }}}}\right|_{{\bf {\eta }}={\bf {0}}}{\bf {\eta }};}}}$

тогда тензор микромодуля второго порядка можно определить как

${\displaystyle {\bf {C}}({\bf {\xi }})=\left.{\frac {\partial {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}{\partial {\bf {\eta }}}}\right|_{{\bf {\eta }}={\bf {0}}}={\bf {\xi }}\otimes \left.{\frac {\partial f({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})}{\partial {\bf {\eta }}}}\right|_{{\bf {\eta }}={\bf {0}}}+f_{0}I}$

где и - тензор тождественности. После применения баланса линейного импульса, упругости и изотропии тензор микромодуля можно выразить в такой форме ^[1] ${\displaystyle f_{0}:=f({\bf {\xi }},{\bf {0}})}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\bf {C}}({\bf {\xi }})=\lambda (|{\bf {\xi }}|){\bf {\xi }}\otimes {\bf {\xi }}+f_{0}I.}$

Поэтому для линеаризованного гиперупругого материала его перидинамическое ядро ​​имеет следующую структуру ^[1]

${\displaystyle {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {\eta }})\approx {\bf {f}}({\bf {\xi }},{\bf {0}})+\left(\lambda (|{\bf {\xi }}|){\bf {\xi }}\otimes {\bf {\xi }}+f_{0}I\right){\bf {\eta }}.}$

Выражения для перидинамического ядра

Перидинамическое ядро ​​— это универсальная функция, которая характеризует конститутивное поведение материалов в рамках перидинамической теории. Одна из часто используемых формулировок ядра используется для описания класса материалов, известных как прототипные микроупругие хрупкие (PMB) материалы. В случае изотропных материалов PMB парная сила предполагается линейно пропорциональной конечному растяжению ^[7], испытываемому материалом, определяемому как

${\displaystyle s:=(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|-|{\bf {\xi }}|)/|{\bf {\xi }}|}$,

так что

${\displaystyle \mathbf {f} ({\bf {\eta }},{\bf {\xi }})=f(|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|,|{\bf {\xi }}|){\bf {{n},}}}$

где

${\displaystyle {\bf {{n}:=({\bf {\xi }}+{\bf {\eta }})/|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|}}}$

и где скалярная функция определяется следующим образом ^[7] ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=cs\mu (s,t)=c\;{\frac {|{\bf {\xi }}+{\bf {\eta }}|-|{\bf {\xi }}|}{|{\bf {\xi }}|}}\mu (s,t),}$с

${\displaystyle \mu (s,t)=\left\{{\begin{array}{ll}1\,,&{\text{ if }}s\left(t^{\prime },{\bf {\xi }}\right)<s_{0}\,,\\0\,,&{\text{ otherwise, }}\end{array}}\ \ \ \ {\text{ for all }}0\leq t^{\prime }\leq t\right.;}$

Константа называется константой микромодуля , а функция служит для указания того, превысило ли в данный момент времени растяжение связи, связанное с парой, критическое значение . Если критическое значение превышено, связь считается разорванной , и для всех назначается парная сила, равная нулю . ^[1] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mu (s,t)}$ ${\displaystyle t'\leq t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ({\bf {x,\,x'}})}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle t\geq t'}$

После сравнения значений плотности энергии деформации , полученных при изотропном расширении с использованием перидинамики и классической теории сплошной среды, можно найти физическое когерентное значение микромодуля ^[7] ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\frac {18k}{\pi \delta ^{4}}},}$

где - модуль объемной упругости материала. ${\displaystyle k}$

Следуя тому же подходу ^[10], константу микромодуля можно расширить до , где теперь есть функция микромодуля . Эта функция дает более подробное описание того, как интенсивность парных сил распределяется по перидинамическому горизонту . Интуитивно, интенсивность сил уменьшается с увеличением расстояния между и , но конкретный способ, которым происходит это уменьшение, может различаться. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c({\bf {\xi }},\delta )}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle {\bf {x}}}$ ${\displaystyle {\bf {x}}'\in B_{\delta }({\bf {x}})}$

Функция микромодуля выражается как ^[11]

${\displaystyle c({\bf {\xi }},\delta ):=c({\bf {{0},\delta )k({\bf {\xi }},\delta )\,,}}}$

где константа получается путем сравнения перидинамической плотности деформации с классическими механическими теориями; ^[12] — это функция, определенная на со следующими свойствами (с учетом ограничений сохранения импульса и изотропии) ^[11] ${\displaystyle c({\bf {{0},\delta )}}}$ ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}k({\bf {\xi }},\delta )=k(-{\bf {\xi }},\delta )\,,\\\lim _{{\bf {\xi }}\rightarrow {\bf {0}}}k({\bf {\xi }},\delta )=\max _{{\bf {\xi }}\ \in \mathbb {R} ^{n}}\{k({\bf {\xi }},\delta )\}\,,\\\lim _{{\bf {\xi }}\rightarrow \delta }k({\bf {\xi }},\delta )=0\,,\\\int _{\mathbb {R} ^{n}}\lim _{\delta \rightarrow 0}k({\bf {\xi }},\delta )d{\bf {x}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Delta ({\bf {\xi }})d{\bf {x}}=1\,,\end{array}}\right.}$

где — дельта-функция Дирака . ${\displaystyle \Delta ({\bf {\xi }})}$

Графическое представление некоторых широко используемых функций микромодуля . ${\displaystyle c({\bf {\xi }},\delta )=c({\bf {{0},\delta )k({\bf {\xi }},\delta )}}}$

Цилиндрический микромодуль

Простейшее выражение для функции микромодуля имеет вид ^[11]

${\displaystyle c({\bf {{0},\delta )k({\bf {\xi }},\delta )=c{\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')}}}}}}$,

где : — индикаторная функция подмножества , определяемая как ${\displaystyle {\bf {{1}_{A}}}}$ ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A\,,\\0,&x\notin A\,,\end{cases}}\;\;;}$

Треугольный микромодуль

Характеризуется тем, что является линейной функцией ^[13] ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$

${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )=\left(1-{\frac {|{\bf {\xi }}|}{\delta }}\right){\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')}.}}}$

Нормальный микромодуль

Если кто-то хочет отразить тот факт, что большинство общих дискретных физических систем характеризуются распределением Максвелла-Больцмана , чтобы включить это поведение в перидинамику, можно использовать следующее выражение для ^[14] ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$

${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )=e^{-(|{\bf {\xi }}|/\delta )^{2}}{\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')};}}}$

Квартальный микромодуль

В литературе можно найти также следующее выражение для функции ^[11] ${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )}$

${\displaystyle k({\bf {\xi }},\delta )=\left(1-\left({\frac {\xi }{\delta }}\right)^{2}\right)^{2}{\bf {{1}_{B_{\delta }({\bf {x}}')}.}}}$

В целом, в зависимости от конкретного свойства материала, которое необходимо смоделировать, существует широкий диапазон выражений для микромодуля и, в целом, для перидинамического ядра. Таким образом, приведенный выше список не является исчерпывающим. ^[11]

Повреждать

Представление перидинамической парной силовой функции с функцией разрыва связи ; после превышения критического значения растяжения связь считается разорванной, и между двумя вовлеченными материальными точками не существует никакой силы. ${\displaystyle {\bf {f}}(\xi ,\eta )}$ ${\displaystyle \mu (s,t)}$ ${\displaystyle s_{0}}$

Повреждение включено в функцию парных сил, позволяя связям разрываться, когда их удлинение превышает некоторое заданное значение. После разрыва связи она больше не выдерживает никакой силы, и конечные точки фактически отсоединяются друг от друга. Когда связь разрывается, сила, которую она несла, перераспределяется на другие связи, которые еще не разорвались. Эта повышенная нагрузка делает более вероятным, что эти другие связи разорвутся. Процесс разрыва связи и перераспределения нагрузки, приводящий к дальнейшему разрыву, является тем, как растут трещины в перидинамической модели. ^[7]

Аналитически разрыв связи задается внутри выражения перидинамического ядра функцией ^[7]

${\displaystyle \mu (s,t)=\left\{{\begin{array}{ll}1\,,&{\text{ if }}s\left(t^{\prime },{\bf {\xi }}\right)<s_{0}\,,\\0\,,&{\text{ otherwise, }}\end{array}}\ \ \ \ {\text{ for all }}0\leq t^{\prime }\leq t\right.;}$

Если построить график зависимости от растяжения связи , то действие функции торможения связи при образовании трещины становится ясным. Однако не только резкий разрыв может быть смоделирован в перидинамической структуре, и может быть использовано более общее выражение для. ^[7] ${\displaystyle {\bf {f}}(s,t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Перидинамика, основанная на состоянии

Описанная выше теория предполагает, что каждая перидинамическая связь реагирует независимо от всех остальных. Это чрезмерное упрощение для большинства материалов и приводит к ограничениям на типы материалов, которые могут быть смоделированы. В частности, это предположение подразумевает, что любое изотропное линейное упругое твердое тело ограничено коэффициентом Пуассона 1/4. ^[3]

Чтобы устранить этот недостаток общности, была введена идея перидинамических состояний . Это позволяет плотности силы в каждой связи зависеть от растяжений во всех связях, соединенных с ее конечными точками, в дополнение к ее собственному растяжению. Например, сила в связи может зависеть от чистых изменений объема в конечных точках. Эффект этого изменения объема относительно эффекта растяжения связи определяет коэффициент Пуассона . С перидинамическими состояниями любой материал, который может быть смоделирован в рамках стандартной теории механики сплошных сред, может быть смоделирован как перидинамический материал, сохраняя при этом преимущества перидинамической теории разрушения. ^[5]

Математически уравнение внутренней и внешней силы имеет вид

${\displaystyle {{\bf {F}}({\bf {x}},t):=\int _{\Omega _{0}\cap B_{\delta }({\bf {x}})}{\bf {f}}\left({\bf {x}}',{\bf {x}},{\bf {u}}\left({\bf {x}}'\right),{\bf {u}}({\bf {x}})\right)dV_{{\bf {x}}'}+{\bf {b}}({\bf {x}},t)}\,.}$

используемый в формулах на основе связей заменяется на ^[5] ${\displaystyle {\bf {F}}({\bf {x}},t):=\int _{B_{\delta }({\bf {x}})}\left\{{\underline {\mathbf {T} }}[\mathbf {x} ,t]\left\langle \mathbf {x} ^{\prime }-\mathbf {x} \right\rangle -{\underline {\mathbf {T} }}\left[\mathbf {x} ^{\prime },t\right]\left\langle \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right\rangle \right\}dV_{\mathbf {x} ^{\prime }}+\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t),}$

где - поле состояния вектора силы. ${\displaystyle {\underline {\mathbf {T} }}}$

Общее состояние m-порядка — это математический объект, аналогичный тензору , за исключением того, что он ^[5] ${\displaystyle {\underline {\mathbf {A} }}\langle \cdot \rangle :B_{\delta }({\bf {x}})\rightarrow {\mathcal {L}}_{m}.}$

• в общем случае нелинейный;
• в целом прерывистый;
• не является конечномерным.

Векторные состояния — это состояния порядка, равного 2. Для так называемого простого материала определяется как ${\displaystyle {\underline {\mathbf {T} }}}$

${\displaystyle {\underline {\mathbf {T} }}:={\underline {\mathbf {\hat {T}} }}({\underline {\mathbf {Y} }})}$

где — интегрируемая по Риману функция на , а называется полем состояния вектора деформации и определяется следующим соотношением ^[5] ${\displaystyle {\underline {\mathbf {\hat {T}} }}:{\mathcal {V}}\rightarrow {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle B_{\delta }({\bf {x}})}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}}$

${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}[\mathbf {x} ,t]\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle =\mathbf {y} (\mathbf {x} +{\boldsymbol {\xi }},t)-\mathbf {y} (\mathbf {x} ,t)\quad \forall \mathbf {x} \in \Omega _{0},\xi \in B_{\delta }({\bf {x}}),t\geq 0}$

таким образом, получается изображение связи при деформации ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}\left\langle \mathbf {x} ^{\prime }-\mathbf {x} \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }-\mathbf {x} }$

такой что

${\displaystyle {\underline {\mathbf {Y} }}\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle =\mathbf {0} {\text{ if and only if }}{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {0} ,}$

Это означает, что две отдельные частицы никогда не занимают одну и ту же точку по мере развития деформации. ^[5]

Можно доказать ^[5] , что баланс импульса следует из определения , при этом, если определяющее соотношение таково, что ${\displaystyle {\bf {F}}({\bf {x,\,t}})}$

${\displaystyle \int _{B_{\delta }({\bf {x}})}{\underline {\mathbf {Y} }}\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle \times {\underline {\mathbf {T} }}\langle {\boldsymbol {\xi }}\rangle dV_{\boldsymbol {\xi }}=0\quad \forall {\underline {\mathbf {Y} }}\in {\mathcal {V}}}$

поле состояния вектора силы удовлетворяет балансу углового момента. ^[5]

Приложения

Вязкий излом сплава Al-Mg- Si

Растущий интерес к перидинамике ^[6] обусловлен ее способностью заполнять пробел между атомистическими теориями материи и классической локальной механикой сплошной среды. Она эффективно применяется к микромасштабным явлениям, таким как образование и распространение трещин , ^{[15] [16] [17]} дисперсия волн , ^{[18] [19]} внутризеренное разрушение. ^[20] Эти явления можно описать путем соответствующей корректировки радиуса перидинамического горизонта, который напрямую связан со степенью нелокальных взаимодействий между точками внутри материала. ^[21]

В дополнение к вышеупомянутым областям исследований, нелокальный подход перидинамики к разрывам нашел применение в различных других областях. В геомеханике он использовался для изучения трещин в почве, вызванных водой, ^{[22] [23]} разрушения геоматериалов , ^[24] фрагментации горных пород, ^{[25] [26]} и т. д. В биологии перидинамика использовалась для моделирования дальнодействующих взаимодействий в живых тканях , ^[27] клеточных разрывов, растрескивания биомембран , ^[28] и многого другого. ^[6] Кроме того, перидинамика была распространена на теорию термодиффузии , ^{[29] [30]} что позволило моделировать теплопроводность в материалах с разрывами, дефектами, неоднородностями и трещинами. Он также применялся для изучения явлений адвекции-диффузии в многофазных жидкостях ^[31] и для построения моделей для задач переходной адвекции-диффузии. ^[32] Благодаря своей универсальности перидинамика использовалась в различных мультифизических анализах , включая микроструктурный анализ, ^[33] усталость и теплопроводность в композитных материалах, ^{[34] [35]} гальваническую коррозию в металлах, ^[36] вызванные электричеством трещины в диэлектрических материалах и многое другое. ^[6]

Смотрите также

• Механика сплошной среды
• Механика разрушения
• Подвижный клеточный автомат
• Молекулярная динамика
• Нелокальный оператор
• Сингулярность

Ссылки

1. Silling, SA (январь 2000 г.). «Переформулирование теории упругости для разрывов и дальнодействующих сил». Журнал механики и физики твердого тела . 48 (1): 175–209. Bibcode :2000JMPSo..48..175S. doi :10.1016/S0022-5096(99)00029-0. S2CID  122055539.
2. Димола, Нунцио; Коклите, Алессандро; Фаницца, Джузеппе; Полити, Тициано (2022-10-23). ​​«Перидинамика на основе связей, обзор нелокальных теорий динамики жидкости». Достижения в области непрерывных и дискретных моделей . 2022 (1). arXiv : 2207.06194 . doi : 10.1186/s13662-022-03732-6 . ISSN  2731-4235.
3. Madenci, Erdogan; Oterkus, Erkan (2014). Перидинамическая теория и ее приложения . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. С. 19–43. ISBN 978-1-4614-8464-6.
4. Macek, Richard W.; Silling, Stewart A. (ноябрь 2007 г.). «Перидинамика через конечно-элементный анализ». Finite Elements in Analysis and Design . 43 (15): 1169–1178. doi :10.1016/j.finel.2007.08.012. ISSN  0168-874X. OSTI  1725746.
5. Силлинг, SA; Эптон, M.; Векнер, O.; Сюй, J.; Аскари, E. (2007-08-08). «Перидинамические состояния и конститутивное моделирование». Журнал эластичности . 88 (2): 151–184. doi :10.1007/s10659-007-9125-1. ISSN  0374-3535. S2CID  30571789.
6. Javili, Ali; Morasata, Rico; Oterkus, Erkan; Oterkus, Selda (ноябрь 2019 г.). «Обзор перидинамики». Математика и механика твердого тела . 24 (11): 3714–3739. doi : 10.1177/1081286518803411. hdl : 11693/53217 . ISSN  1081-2865. S2CID  162176799.
7. Силлинг, С.А.; Аскари, Э. (июнь 2005 г.). «Метод без сетки, основанный на перидинамической модели механики твердого тела». Компьютеры и структуры . 83 (17–18): 1526–1535. doi :10.1016/j.compstruc.2004.11.026.
8. Жэнь, Хуэйлун; Чжуан, Сяоин ; Цай, Юнчан; Рабчук, Тимон (2016-12-21). «Перидинамика двойного горизонта: Перидинамика двойного горизонта». Международный журнал численных методов в инженерии . 108 (12): 1451–1476. arXiv : 1506.05146 . doi : 10.1002/nme.5257. S2CID  117201049.
9. Чэнь, Зигуан; Бакенхус, Дрю; Бобару, Флорин (ноябрь 2016 г.). «Конструктивное перидинамическое ядро ​​для упругости». Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 311 : 356–373. Bibcode : 2016CMAME.311..356C. doi : 10.1016/j.cma.2016.08.012 .
10. Bobaru, Florin; Duangpanya, Monchai (сентябрь 2010 г.). «Перидинамическая формулировка для нестационарной теплопроводности». International Journal of Heat and Mass Transfer . 53 (19–20): 4047–4059. Bibcode : 2010IJHMT..53.4047B. doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.05.024.
11. Хуан, Дэн; Лу, Гуанда; Ван, Чунвэнь; Цяо, Пичжун (июнь 2015 г.). «Расширенный перидинамический подход к анализу деформаций и разрушений». Engineering Fracture Mechanics . 141 : 196–211. doi :10.1016/j.engfracmech.2015.04.036.
12. Чэнь, Чжиюн; Вуди Цзюй, Дж.; Су, Гошао; Хуан, Сяохуа; Ли, Шуан; Чжай, Ляньцзюнь (июль 2019 г.). «Влияние микромодульных функций на перидинамическое моделирование распространения и ветвления трещин в хрупких материалах». Инженерная механика разрушения . 216 : 106498. doi : 10.1016/j.engfracmech.2019.106498. S2CID  197621064.
13. Ха, Юн До; Бобару, Флорин (март 2010 г.). «Исследования динамического распространения трещин и ветвления трещин с перидинамикой». International Journal of Fracture . 162 (1–2): 229–244. doi :10.1007/s10704-010-9442-4. ISSN  0376-9429. S2CID  8462707.
14. Килич, Бахаттин (2008). «Перидинамическая теория прогнозирования прогрессирующего разрушения в однородных и неоднородных материалах». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
15. Агвай, Абигайл; Гювен, Ибрагим; Маденси, Эрдоган (сентябрь 2011 г.). «Прогнозирование распространения трещин с помощью перидинамики: сравнительное исследование». International Journal of Fracture . 171 (1): 65–78. doi :10.1007/s10704-011-9628-4. ISSN  0376-9429. S2CID  136475045.
16. Липтон, Роберт (октябрь 2014 г.). «Динамическое хрупкое разрушение как предел перидинамики на малом горизонте». Журнал эластичности . 117 (1): 21–50. arXiv : 1305.4531 . doi : 10.1007/s10659-013-9463-0 . ISSN  0374-3535. S2CID  254462294.
17. Силлинг, С.А.; Векнер, О.; Аскари, Э.; Бобару, Ф. (март 2010 г.). «Зарождение трещин в перидинамическом твердом теле». International Journal of Fracture . 162 (1–2): 219–227. doi :10.1007/s10704-010-9447-z. ISSN  0376-9429. S2CID  209225.
18. Коклит, генеральный директор; Дипьерро, С.; Фаницца, Г.; Маддалена, Ф.; Романо, М.; Вальдиночи, Э. (март 2023 г.). «Качественные аспекты нелокальной динамики». Журнал перидинамики и нелокального моделирования . 5 (1): 1–19. arXiv : 2106.13596 . doi : 10.1007/s42102-021-00064-z. ISSN  2522-896X. S2CID  235652235.
19. Seleson, Pablo; Parks, Michael L.; Gunzburger, Max; Lehoucq, Richard B. (январь 2009 г.). «Перидинамика как масштабирование молекулярной динамики». Multiscale Modeling & Simulation . 8 (1): 204–227. doi :10.1137/09074807X. ISSN  1540-3459. OSTI  1678881.
20. Behzadinasab, Masoud; Foster, John T. (апрель 2020 г.). "Полулагранжева конститутивная структура соответствия для перидинамики". Журнал механики и физики твердого тела . 137 : 103862. Bibcode : 2020JMPSo.13703862B. doi : 10.1016/j.jmps.2019.103862 . S2CID  212784700.
21. Аскари, Э.; Бобару, Ф.; Лехук, Р.Б.; Паркс, М.Л.; Силлинг, С.А.; Векнер, О. (2008-07-01). "Перидинамика для моделирования многомасштабных материалов". Journal of Physics: Conference Series . 125 (1): 012078. Bibcode : 2008JPhCS.125a2078A. doi : 10.1088/1742-6596/125/1/012078 . ISSN  1742-6596. S2CID  250694017.
22. Ни, Тао; Песавенто, Франческо; Заккариотто, Мирко; Гальванетто, Уго; Чжу, Ци-Чжи; Шрефлер, Бернхард А. (июль 2020 г.). «Гибридное МКЭ и перидинамическое моделирование распространения трещин гидроразрыва в насыщенных пористых средах». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 366 : 113101. arXiv : 2307.10929 . Бибкод : 2020CMAME.366k3101N. дои : 10.1016/j.cma.2020.113101. S2CID  219519506.
23. Чжоу, Сяо-Пин; Ван, Юнь-Тэн; Шоу, Юнь-Дун (август 2020 г.). «Перидинамическая модель на основе гидромеханических связей для процессов трещинообразования под давлением и под действием жидкости в пористых породах с трещинами». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 132 : 104383. Bibcode : 2020IJRMM.13204383Z. doi : 10.1016/j.ijrmms.2020.104383. S2CID  225382857.
24. Song, Xiaoyu; Khalili, Nasser (январь 2019). «Модель перидинамики для анализа локализации деформации геоматериалов». Международный журнал численных и аналитических методов в геомеханике . 43 (1): 77–96. Bibcode : 2019IJNAM..43...77S. doi : 10.1002/nag.2854 . ISSN  0363-9061. S2CID  125649306.
25. Панчадхара, Рохан; Гордон, Питер А.; Паркс, Майкл Л. (март 2017 г.). «Моделирование стимуляции скважины на основе ракетного топлива с использованием перидинамики». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 93 : 330–343. Bibcode : 2017IJRMM..93..330P. doi : 10.1016/j.ijrmms.2017.02.006 .
26. Чжоу, Сяо-Пин; Ван, Юнь-Тэн (январь 2021 г.). «Современный обзор характеристик прогрессирующего разрушения геоматериалов в перидинамической теории». Журнал инженерной механики . 147 (1). doi : 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001876. ISSN  0733-9399. S2CID  228906748.
27. Лежен, Эмма; Линдер, Кристиан (август 2017 г.). «Моделирование роста опухоли с помощью перидинамики». Биомеханика и моделирование в механобиологии . 16 (4): 1141–1157. doi :10.1007/s10237-017-0876-8. ISSN  1617-7959. PMID  28124191. S2CID  254169636.
28. Тейлор, Майкл; Гёзен, Иреп; Патель, Самир; Джезорка, Альдо; Бертольди, Катя (2016-11-09). ван Вин, Хендрик В. (ред.). «Перидинамическое моделирование разрывов в биомембранах». PLOS ONE . 11 (11): e0165947. Bibcode : 2016PLoSO..1165947T. doi : 10.1371/journal.pone.0165947 . ISSN  1932-6203. PMC 5102442. PMID 27829001  . 
29. Bobaru, Florin; Duangpanya, Monchai (апрель 2012 г.). «Перидинамическая формулировка для нестационарной теплопроводности в телах с развивающимися разрывами». Журнал вычислительной физики . 231 (7): 2764–2785. Bibcode : 2012JCoPh.231.2764B. doi : 10.1016/j.jcp.2011.12.017. S2CID  6929467.
30. Oterkus, Selda; Madenci, Erdogan; Agwai, Abigail (май 2014). «Перидинамическая термодиффузия». Журнал вычислительной физики . 265 : 71–96. Bibcode :2014JCoPh.265...71O. doi :10.1016/j.jcp.2014.01.027. S2CID  22835224.
31. Фостер, Джон (2019). «Нелокальные и дробные методы для пристеночной турбулентности, моделирования крупных вихрей и взаимодействия жидкости и структуры». Технический отчет, Техасский университет в Остине, Остин, США .
32. Чжао, Цзянмин; Чэнь, Цзыгуан; Мехрмашхади, Джавад; Бобару, Флорин (ноябрь 2018 г.). «Построение перидинамической модели для задач переходной адвекции-диффузии». Международный журнал по тепло- и массообмену . 126 : 1253–1266. Bibcode : 2018IJHMT.126.1253Z. doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.06.075. S2CID  125321481.
33. Буряченко, Валерий А. (октябрь 2020 г.). «Обобщенный метод эффективных полей в перидинамической микромеханике композитов случайной структуры». International Journal of Solids and Structures . 202 : 765–786. doi : 10.1016/j.ijsolstr.2020.06.022 . S2CID  225577923.
34. Ху, YL; Маденси, E. (январь 2017 г.). «Перидинамика для прогнозирования усталостной долговечности и остаточной прочности композитных ламинатов». Композитные конструкции . 160 : 169–184. doi :10.1016/j.compstruct.2016.10.010.
35. Отеркус, Эркан; Маденси, Эрдоган (2012-03-28). «Перидинамический анализ армированных волокном композитных материалов». Журнал механики материалов и конструкций . 7 (1): 45–84. doi : 10.2140/jomms.2012.7.45 . ISSN  1559-3959.
36. Чжао, Цзянмин; Джафарзаде, Сиаваш; Рахмани, Мохаммад; Чэнь, Цзыгуан; Ким, Йонг-Рак; Бобару, Флорин (сентябрь 2021 г.). «Перидинамическая модель гальванической коррозии и разрушения». Electrochimica Acta . 391 : 138968. doi : 10.1016/j.electacta.2021.138968 .

Дальнейшее чтение

• Бобару, Флорин; Фостер, Джон Т.; Гебель, Филипп Х.; Силлинг, Стюарт А., ред. (2016). Справочник по перидинамическому моделированию . Достижения в прикладной математике. Бока-Ратон Лондон Нью-Йорк: CRC Press, Taylor & Francis Group, книга Chapman & Hall. ISBN 978-1-4822-3044-4.
• Отеркус, Эркан; Отеркус, Сельда; Маденси, Эрдоган (2021-04-24). Перидинамическое моделирование, численные методы и приложения. Elsevier. ISBN 978-0-12-820441-2.
• Рабчук, Тимон; Жэнь, Хуэйлун; Чжуан, Сяоин (2023-02-15). Вычислительные методы, основанные на перидинамике и нелокальных операторах: теория и приложения. Springer Nature. ISBN 978-3-031-20906-2.
• D'Elia, Marta; Li, Xingjie; Seleson, Pablo; Tian, ​​Xiaochuan; Yu, Yue (март 2022 г.). «Обзор методов локально-нелокальной связи в нелокальной диффузии и нелокальной механике». Журнал перидинамики и нелокального моделирования . 4 (1): 1–50. arXiv : 1912.06668 . doi :10.1007/s42102-020-00038-7. ISSN  2522-896X. S2CID  257114051.
• Бобару, Флорин; Чэнь, Зигуан; Джафарзаде, Сиаваш (2023-12-01). Коррозионные повреждения и коррозионно-активное разрушение: перидинамическое моделирование и вычисления. Elsevier. ISBN 978-0-12-823174-6.

Внешние ссылки

• Реализация конечно-элементной и конечно-разностной аппроксимации нелокальных моделей
• Peridigm — открытый код вычислительной перидинамики
• PeriDoX — репозиторий с открытым исходным кодом для перидинамики и ее документации
• PeriLab — репозиторий с открытым исходным кодом для перидинамики, написанной на Julia
• Лаборатория Сандия-Перидинамика
• Сайт о перидинамике