Коэффициент Пуассона

Мера деформации материала перпендикулярно нагрузке

Коэффициент Пуассона материала определяет отношение поперечной деформации ( направление x ) к осевой деформации ( направление y ).

В материаловедении и механике твердого тела коэффициент Пуассона (символ: ν ( nu )) является мерой эффекта Пуассона , деформации (расширения или сжатия) материала в направлениях, перпендикулярных определенному направлению нагрузки . Значение коэффициента Пуассона является отрицательным отношением поперечной деформации к осевой деформации . Для малых значений этих изменений ν представляет собой величину поперечного удлинения, деленную на величину осевого сжатия . Большинство материалов имеют значения коэффициента Пуассона в диапазоне от 0,0 до 0,5. Для мягких материалов, ^[1] таких как резина, где объемный модуль упругости намного выше модуля сдвига, коэффициент Пуассона близок к 0,5. Для полимерных пен с открытыми ячейками коэффициент Пуассона близок к нулю, поскольку ячейки имеют тенденцию разрушаться при сжатии. Многие типичные твердые тела имеют коэффициенты Пуассона в диапазоне от 0,2 до 0,3. Соотношение названо в честь французского математика и физика Симеона Пуассона .

Источник

Коэффициент Пуассона является мерой эффекта Пуассона, явления, при котором материал имеет тенденцию расширяться в направлениях, перпендикулярных направлению сжатия. И наоборот, если материал растягивается, а не сжимается, он обычно имеет тенденцию сжиматься в направлениях, поперечных направлению растяжения. Это обычное наблюдение, когда резиновая лента растягивается, она становится заметно тоньше. Опять же, коэффициент Пуассона будет отношением относительного сжатия к относительному расширению и будет иметь то же значение, что и выше. В некоторых редких случаях ^[2] материал фактически будет сжиматься в поперечном направлении при сжатии (или расширяться при растяжении), что даст отрицательное значение коэффициента Пуассона.

Коэффициент Пуассона стабильного, изотропного , линейно- упругого материала должен быть в пределах от −1,0 до +0,5 из-за требования, чтобы модуль Юнга , модуль сдвига и модуль объемной упругости имели положительные значения. ^[3] Большинство материалов имеют значения коэффициента Пуассона в пределах от 0,0 до 0,5. Совершенно несжимаемый изотропный материал, упруго деформируемый при малых деформациях, будет иметь коэффициент Пуассона ровно 0,5. Большинство сталей и жестких полимеров при использовании в пределах их проектных ограничений (до текучести ) демонстрируют значения около 0,3, увеличиваясь до 0,5 для деформации после текучести, которая происходит в основном при постоянном объеме. ^[4] У резины коэффициент Пуассона составляет около 0,5. Коэффициент Пуассона пробки близок к 0, показывая очень небольшое боковое расширение при сжатии, а у стекла он составляет от 0,18 до 0,30. Некоторые материалы, например, некоторые полимерные пены, оригами-складки ^{[5] [6]} и некоторые клетки могут демонстрировать отрицательный коэффициент Пуассона и называются ауксетическими материалами . Если эти ауксетические материалы растягиваются в одном направлении, они становятся толще в перпендикулярном направлении. Напротив, некоторые анизотропные материалы, такие как углеродные нанотрубки , зигзагообразные складчатые листовые материалы ^{[7] [8]} и сотовые ауксетические метаматериалы ^[9] и многие другие, могут демонстрировать один или несколько коэффициентов Пуассона выше 0,5 в определенных направлениях.

Предположим, что материал растягивается или сжимается только в одном направлении ( ось x на диаграмме ниже):

${\displaystyle \nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}}$

где

• ν — результирующий коэффициент Пуассона,
• ε _trans — поперечная деформация
• ε _axial — осевая деформация

и положительная деформация указывает на растяжение, а отрицательная деформация указывает на сжатие.

Коэффициент Пуассона из-за изменений геометрии

Изменение длины

Рисунок 1 : Куб со сторонами длиной L из изотропного линейно-упругого материала, подверженный растяжению вдоль оси x с коэффициентом Пуассона 0,5. Зеленый куб не деформирован, красный расширен в направлении x на Δ L из-за растяжения и сжат в направлениях y и z на Δ L ′ .

Для куба, растянутого в направлении x (см. рисунок 1) с увеличением длины на Δ L в направлении x и уменьшением длины на Δ L ′ в направлениях y и z , бесконечно малые диагональные деформации определяются как

${\displaystyle d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}},\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}},\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.}$

Если коэффициент Пуассона постоянен при деформации, то интегрирование этих выражений и использование определения коэффициента Пуассона дает

${\displaystyle -\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.}$

Решая и возводя в степень, получаем соотношение между Δ L и Δ L ′ :

${\displaystyle \left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.}$

Для очень малых значений Δ L и Δ L ′ приближение первого порядка дает:

${\displaystyle \nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.}$

Изменение объема

Относительное изменение объема ⁠ΔV​/В⁠ куба из-за растяжения материала теперь можно вычислить. Поскольку V = L ³ и

${\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}}$

можно вывести

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1}$

Используя полученное выше соотношение между Δ L и Δ L ′ :

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1}$

и для очень малых значений Δ L и Δ L ′ приближение первого порядка дает:

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}$

Для изотропных материалов можно использовать соотношение Ламе ^[10]

${\displaystyle \nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}}$

где K — модуль объемной упругости , а E — модуль Юнга .

Изменение ширины

Рисунок 2: Синий наклон представляет собой упрощенную формулу (верхнюю в легенде), которая хорошо работает для умеренных деформаций, ∆ L , примерно до ±3. Зеленая кривая представляет собой формулу, лучше подходящую для более крупных деформаций.

Если стержень диаметром (шириной или толщиной) d и длиной L подвергается растяжению так, что его длина изменится на Δ L , то его диаметр d изменится на:

${\displaystyle {\frac {\Delta d}{d}}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}}$

Приведенная выше формула верна только в случае малых деформаций; если деформации велики, то можно использовать следующую (более точную) формулу:

${\displaystyle \Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)}$

где

• d — исходный диаметр
• Δ d — изменение диаметра стержня
• ν — коэффициент Пуассона
• L — исходная длина до растяжения
• Δ L — изменение длины.

Значение отрицательное, поскольку оно уменьшается с увеличением длины.

Характерные материалы

Изотропный

Для линейного изотропного материала, подверженного только сжимающим (т.е. нормальным) силам, деформация материала в направлении одной оси вызовет деформацию материала вдоль другой оси в трех измерениях. Таким образом, можно обобщить закон Гука (для сжимающих сил) на три измерения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{xx}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{yy}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{zz}+\sigma _{xx}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{zz}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]\end{aligned}}}$^{[ необходима ссылка ]}

где:

• ε _xx , ε _yy и ε _zz — деформации в направлении x , y и z
• σ _xx , σ _yy и σ _zz — напряжения в направлении x , y и z
• E — модуль Юнга (одинаковый во всех направлениях для изотропных материалов)
• ν — коэффициент Пуассона (одинаков во всех направлениях для изотропных материалов)

Все эти уравнения можно синтезировать следующим образом:

${\displaystyle \varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

В самом общем случае касательные напряжения будут иметь место наряду с нормальными напряжениями, и полное обобщение закона Гука имеет вид:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

где δ _ij — дельта Кронекера . Обычно принимается обозначение Эйнштейна :

${\displaystyle \sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}}$

записать уравнение просто как:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}\right]}$

Анизотропный

Для анизотропных материалов коэффициент Пуассона зависит от направления растяжения и поперечной деформации.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )&=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }\\[4px]E^{-1}(\mathbf {n} )&=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }\end{aligned}}}$

Здесь ν — коэффициент Пуассона, E — модуль Юнга , n — единичный вектор, направленный вдоль направления растяжения, m — единичный вектор, направленный перпендикулярно направлению растяжения. Коэффициент Пуассона имеет разное количество специальных направлений в зависимости от типа анизотропии. ^{[11] [12]}

ортотропный

Ортотропные материалы имеют три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии в своих материальных свойствах. Примером может служить древесина, которая наиболее жесткая (и прочная) вдоль волокон и менее жесткая в других направлениях.

Тогда закон Гука можно выразить в матричной форме как ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

где

• E _i — модуль Юнга вдоль оси i
• G _ij — модуль сдвига в направлении j на плоскости, нормаль которой направлена ​​в направлении i.
• ν _ij — коэффициент Пуассона, соответствующий сжатию в направлении j при приложении расширения в направлении i .

Коэффициент Пуассона ортотропного материала различен в каждом направлении ( x , y и z ). Однако симметрия тензоров напряжений и деформаций подразумевает, что не все шесть коэффициентов Пуассона в уравнении являются независимыми. Существует только девять независимых свойств материала: три модуля упругости, три модуля сдвига и три коэффициента Пуассона. Оставшиеся три коэффициента Пуассона можно получить из соотношений

${\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}}$

Из приведенных выше соотношений видно, что если E _x > E _y , то ν _xy > ν _yx . Большее отношение (в данном случае ν _xy ) называется большим коэффициентом Пуассона , а меньшее (в данном случае ν _yx ) называется малым коэффициентом Пуассона . Аналогичные соотношения можно найти и между другими коэффициентами Пуассона.

Поперечно-изотропный

Трансверсально изотропные материалы имеют плоскость изотропии, в которой упругие свойства изотропны. Если предположить, что эта плоскость изотропии есть yz -плоскость, то закон Гука примет вид ^[15]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

где мы использовали yz -плоскость изотропии для уменьшения числа констант, то есть,

${\displaystyle E_{y}=E_{z},\qquad \nu _{xy}=\nu _{xz},\qquad \nu _{yx}=\nu _{zx}.}$.

Симметрия тензоров напряжений и деформаций подразумевает, что

${\displaystyle {\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}},\qquad \nu _{yz}=\nu _{zy}.}$

Это оставляет нам шесть независимых констант E _x , E _y , G _xy , G _yz , ν _xy , ν _yz . Однако поперечная изотропия приводит к дополнительному ограничению между G _yz и E _y , ν _{yz ,} которое является

${\displaystyle G_{yz}={\frac {E_{y}}{2\left(1+\nu _{yz}\right)}}.}$

Таким образом, существует пять независимых упругих свойств материала, два из которых являются коэффициентами Пуассона. Для предполагаемой плоскости симметрии большее из ν _xy и ν _yx является основным коэффициентом Пуассона. Остальные основные и второстепенные коэффициенты Пуассона равны.

Значения коэффициента Пуассона для различных материалов

Влияние выбранных добавок компонентов стекла на коэффициент Пуассона конкретного базового стекла. ^[16]

Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона

Некоторые материалы, известные как ауксетичные материалы, демонстрируют отрицательный коэффициент Пуассона. При воздействии положительной деформации по продольной оси поперечная деформация в материале фактически будет положительной (т. е. она увеличит площадь поперечного сечения). Для этих материалов это обычно происходит из-за уникально ориентированных шарнирных молекулярных связей. Для того чтобы эти связи растягивались в продольном направлении, шарниры должны «открыться» в поперечном направлении, эффективно демонстрируя положительную деформацию. ^[19] Это также можно сделать структурированным способом и привести к новым аспектам в проектировании материалов, как для механических метаматериалов .

Исследования показали, что некоторые виды твердой древесины демонстрируют отрицательный коэффициент Пуассона исключительно во время испытания на ползучесть при сжатии . ^{[20] [21]} Первоначально испытание на ползучесть при сжатии показывает положительный коэффициент Пуассона, но постепенно уменьшается, пока не достигнет отрицательных значений. Следовательно, это также показывает, что коэффициент Пуассона для древесины зависит от времени при постоянной нагрузке, что означает, что деформация в осевом и поперечном направлении не увеличивается с одинаковой скоростью.

Среды с искусственной микроструктурой могут демонстрировать отрицательный коэффициент Пуассона. В простом случае ауксетичность достигается путем удаления материала и создания периодической пористой среды. ^[22] Решетки могут достигать более низких значений коэффициента Пуассона, ^[23] которые могут быть бесконечно близки к предельному значению −1 в изотропном случае. ^[24]

Более трехсот кристаллических материалов имеют отрицательный коэффициент Пуассона. ^{[25] [26] [27]} Например, Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn, Sr, Sb, MoS ₂ и другие.

Функция Пуассона

При конечных деформациях соотношение между поперечной и осевой деформациями ε _trans и ε _axial обычно не очень хорошо описывается коэффициентом Пуассона. Фактически, коэффициент Пуассона часто считается функцией приложенной деформации в режиме большой деформации. В таких случаях коэффициент Пуассона заменяется функцией Пуассона, для которой существует несколько конкурирующих определений. ^[28] Определяя поперечное растяжение λ _trans = ε _trans + 1 и осевое растяжение λ _axial = ε _axial + 1 , где поперечное растяжение является функцией осевого растяжения, наиболее распространенными являются функции Генки, Био, Грина и Альманси:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{axial}}}}\\[6pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Green}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{axial}}^{2}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1}{1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}}$

Применение эффекта Пуассона

Одной из областей, в которой эффект Пуассона оказывает значительное влияние, является поток в трубе под давлением. Когда воздух или жидкость внутри трубы находятся под высоким давлением, они оказывают равномерное усилие на внутреннюю часть трубы, что приводит к кольцевому напряжению внутри материала трубы. Из-за эффекта Пуассона это кольцевое напряжение приведет к увеличению диаметра трубы и небольшому уменьшению ее длины. Уменьшение длины, в частности, может оказать заметное влияние на соединения труб, поскольку эффект будет накапливаться для каждой секции трубы, соединенной последовательно. Защемленное соединение может быть разорвано или иным образом подвержено разрушению. ^{[ необходима цитата ]}

Другая область применения эффекта Пуассона — структурная геология . Горные породы, как и большинство материалов, подвержены эффекту Пуассона, находясь под напряжением. В геологическом масштабе времени чрезмерная эрозия или седиментация земной коры может либо создавать, либо устранять большие вертикальные напряжения на подстилающей породе. Эта порода будет расширяться или сжиматься в вертикальном направлении как прямой результат приложенного напряжения, а также будет деформироваться в горизонтальном направлении в результате эффекта Пуассона. Это изменение деформации в горизонтальном направлении может влиять на соединения и спящие напряжения в породе или образовывать их. ^[29]

Хотя пробка исторически выбиралась для закупорки винных бутылок по другим причинам (включая ее инертность, непроницаемость, гибкость, герметичность и упругость), ^[30] коэффициент Пуассона пробки, равный нулю, обеспечивает еще одно преимущество. Когда пробка вставляется в бутылку, верхняя часть, которая еще не вставлена, не расширяется в диаметре, поскольку она сжимается в осевом направлении. Сила, необходимая для вставки пробки в бутылку, возникает только из-за трения между пробкой и бутылкой из-за радиального сжатия пробки. Если бы пробка была сделана из резины, например, (с коэффициентом Пуассона около +0,5), потребовалась бы относительно большая дополнительная сила для преодоления радиального расширения верхней части резиновой пробки.

Большинство автомехаников знают, что резиновый шланг (например, шланг охлаждающей жидкости) трудно снять с металлического патрубка, так как натяжение при натяжении приводит к сжатию диаметра шланга, который плотно сжимает патрубок. (Этот же эффект показан в китайской ловушке для пальцев .) Шланги легче стянуть с патрубков, используя вместо этого широкое плоское лезвие.

Смотрите также

• Линейная эластичность
• закон Гука
• Методика импульсного возбуждения
• Ортотропный материал
• Модуль сдвига
• модуль Юнга
• Коэффициент теплового расширения

Ссылки

1. Для мягких материалов объемный модуль упругости ( K ) обычно больше по сравнению с модулем сдвига ( G ), поэтому их можно считать несжимаемыми, поскольку легче изменить форму, чем сжать. Это приводит к тому, что модуль Юнга ( E ) равен E = 3 G и, следовательно, ν = 0,5 . Jastrzebski, D. (1959). Nature and Properties of Engineering Materials (Wiley International ed.). John Wiley & Sons, Inc.
2. Лейкс, Р.; Войцеховски, К. В. (2008). «Отрицательная сжимаемость, отрицательный коэффициент Пуассона и устойчивость». Physica Status Solidi B. 245 ( 3): 545–551. Bibcode : 2008PSSBR.245..545L. doi : 10.1002/pssb.200777708.
3. Gercek, H. (январь 2007 г.). «Значения коэффициента Пуассона для горных пород». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 44 (1): 1–13. Bibcode : 2007IJRMM..44....1G. doi : 10.1016/j.ijrmms.2006.04.011.
4. Парк, Р. Дж. Т. Сейсмические характеристики стальных бетонных свай .^{[ необходима полная цитата ]}
5. Марк, Шенк (2011). Складчатые оболочечные конструкции, докторская диссертация (PDF) . Кембриджский университет, колледж Клэр.
6. Wei, ZY; Guo, ZV; Dudte, L.; Liang, HY; Mahadevan, L. (2013-05-21). "Геометрическая механика периодического плиссированного оригами" (PDF) . Physical Review Letters . 110 (21): 215501. arXiv : 1211.6396 . Bibcode : 2013PhRvL.110u5501W. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.215501. PMID  23745895. S2CID  9145953.
7. Эйдини, Марьям; Паулино, Глаучио Х. (2015). «Раскрытие свойств метаматериалов в зигзагообразных складчатых листах». Science Advances . 1 (8): e1500224. arXiv : 1502.05977 . Bibcode : 2015SciA....1E0224E. doi : 10.1126/sciadv.1500224. ISSN  2375-2548. PMC 4643767. PMID 26601253  . 
8. Эйдини, Марьям (2016). «Зигзагообразные складчатые листовые ячеистые механические метаматериалы». Extreme Mechanics Letters . 6 : 96–102. arXiv : 1509.08104 . Bibcode : 2016ExML....6...96E. doi : 10.1016/j.eml.2015.12.006. S2CID  118424595.
9. Мусанежад, Давуд; Бабаи, Сахаб; Эбрахими, Хамид; Гош, Ранаджай; Хамуда, Абдельмагид Салем; Бертольди, Катя; Вазири, Ашкан (16 декабря 2015 г.). «Иерархические сотовые ауксетические метаматериалы». Научные отчеты . 5 : 18306. Бибкод : 2015NatSR...518306M. дои : 10.1038/srep18306. ISSN  2045-2322. ПМЦ 4680941 . ПМИД  26670417. 
10. Mott, PH; Roland, CM (3 апреля 2012 г.). «Пределы коэффициента Пуассона в изотропных материалах — общий результат для произвольной деформации». Physica Scripta . 87 (5). Отдел химии, Военно-морская исследовательская лаборатория: 055404. arXiv : 1204.3859 . doi :10.1088/0031-8949/87/05/055404. S2CID  55920779.
11. Епишин, А.И.; Лисовенко, Д.С. (2016). «Экстремальные значения коэффициента Пуассона кубических кристаллов». Техническая физика . 61 (10): 1516–1524. Bibcode :2016JTePh..61.1516E. doi :10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID  140493258.
12. Городцов, ВА; Лисовенко, ДС (2019). «Экстремальные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона гексагональных кристаллов». Механика материалов . 134 : 1–8. Bibcode : 2019MechM.134....1G. doi : 10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID  140493258.
13. Бореси, А. П.; Шмидт, Р. Дж.; Сайдботтом, О. М. (1993). Advanced Mechanics of Materials . Wiley.^{[ нужна страница ]}
14. Лехницкий, С. Г. (1981). Теория упругости анизотропного упругого тела. Издательство «Мир». С. 36.
15. Тан, SC (1994). Концентрации напряжений в слоистых композитах . Ланкастер, Пенсильвания: Technomic Publishing Company.^{[ нужна страница ]}
16. Флюгель, Александр. «Расчет коэффициента Пуассона для стекол». www.glassproperties.com . Архивировано из оригинала 23 октября 2017 г. . Получено 28 апреля 2018 г. .
17. PH Mott; CM Roland (20 октября 2009 г.). "Пределы коэффициента Пуассона в изотропных материалах" (PDF) . Physical Review B . 80 (13): 132104. arXiv : 0909.4697 . Bibcode :2009PhRvB..80m2104M. doi :10.1103/PhysRevB.80.132104. Архивировано (PDF) из оригинала 2014-10-31 . Получено 2014-09-24 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
18. Журнал прикладной физики 110, 053521 (2011)
19. Лейкс, Род. "Отрицательный коэффициент Пуассона". silver.neep.wisc.edu . Архивировано из оригинала 16 февраля 2018 года . Получено 28 апреля 2018 года .
20. Озихар, Томаш; Херинг, Стефан; Нимц, Питер (март 2013 г.). «Вязкоупругая характеристика древесины: временная зависимость ортотропной податливости при растяжении и сжатии». Журнал реологии . 57 (2): 699–717. Bibcode : 2013JRheo..57..699O. doi : 10.1122/1.4790170 . ISSN  0148-6055.
21. Цзян, Цзяли; Эрик Валентайн, Бахтиар; Лу, Цзяньсюн; Нимц, Питер (2016-11-01). «Временная зависимость ортотропного сжатия модулей Юнга и коэффициентов Пуассона китайской пихты» (PDF) . Holzforschung . 70 (11): 1093–1101. doi :10.1515/hf-2016-0001. hdl : 20.500.11850/122097 . ISSN  1437-434X. S2CID  137799672.
22. Карта, Джорджио; Брун, Микеле; Балди, Антонио (2016). «Проектирование пористого материала с изотропным отрицательным коэффициентом Пуассона». Механика материалов . 97 : 67–75. Bibcode :2016MechM..97...67C. doi :10.1016/j.mechmat.2016.02.012.
23. Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2016). «Класс ауксетических трехмерных решеток». Журнал механики и физики твердого тела . 91 : 56–72. arXiv : 1506.04919 . Bibcode : 2016JMPSo..91...56C. doi : 10.1016/j.jmps.2016.02.010. S2CID  85547530.
24. Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2014). «Ауксетические двумерные решетки с коэффициентом Пуассона, произвольно близким к -1». Труды Королевского общества A . 470 (2172): 20140538. arXiv : 1407.5679 . Bibcode :2014RSPSA.47040538C. doi :10.1098/rspa.2014.0538. S2CID  119321604.
25. Гольдштейн, Р.В.; Городцов, ВА; Лисовенко, Д.С. (2013). «Классификация кубических ауксетиков». Physica Status Solidi B. 250 ( 10): 2038–2043. Bibcode : 2013PSSBR.250.2038G. doi : 10.1002/pssb.201384233. S2CID  117802510.
26. Гольдштейн, Р. В.; Городцов, ВА; Лисовенко, Д. С. (2011). «Изменчивость упругих свойств гексагональных ауксетиков». Доклады АН СССР . 56 (12): 602–605. Bibcode :2011DokPh..56..602G. doi :10.1134/S1028335811120019. S2CID  120998323.
27. Гольдштейн, Р.В.; Городцов, ВА; Лисовенко, Д.С.; Волков, МА (2015). «Ауксетики среди 6-константных тетрагональных кристаллов». Письма о материалах . 5 (4): 409–413. doi : 10.22226/2410-3535-2015-4-409-413 .
28. Михай, LA ; Горели, А. (2017-11-03). «Как охарактеризовать нелинейный упругий материал? Обзор нелинейных конститутивных параметров в изотропной конечной упругости». Труды Королевского общества A. 473 ( 2207): 20170607. Bibcode : 2017RSPSA.47370607M . doi : 10.1098/rspa.2017.0607. PMC 5719638. PMID  29225507. 
29. "Конспект лекций по структурной геологии – Эффективное напряжение" . Получено 2019-07-03 .
30. Сильва и др. «Пробка: свойства, возможности и применение» Архивировано 09.08.2017 на Wayback Machine , получено 4 мая 2017 г.

Внешние ссылки

• Значение коэффициента Пуассона
• Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона
• Подробнее о материалах с отрицательным коэффициентом Пуассона (ауксетических) Архивировано 08.02.2018 на Wayback Machine