Формулировка фазового пространства

Формулировка квантовой механики

Формулировка фазового пространства — это формулировка квантовой механики , которая размещает переменные положения и импульса на равных основаниях в фазовом пространстве . Две ключевые особенности формулировки фазового пространства заключаются в том, что квантовое состояние описывается распределением квазивероятности (вместо волновой функции , вектора состояния или матрицы плотности ), а операторное умножение заменяется звездным произведением .

Теория была полностью разработана Хильбрандом Грёневольдом в 1946 году в его докторской диссертации ^[1] и независимо от него Джо Мойалом ^[2], каждый из которых основывался на более ранних идеях Германа Вейля ^[3] и Юджина Вигнера ^[4] .

В отличие от формулировки фазового пространства, картина Шредингера использует представления положения или импульса (см. также пространство положения и импульса ).

Главное преимущество формулировки фазового пространства заключается в том, что она делает квантовую механику максимально похожей на гамильтонову механику , избегая операторного формализма, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» гильбертова пространства ». ^[5] Эта формулировка является статистической по своей природе и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой , позволяя проводить естественное сравнение между ними (см. классический предел ). Квантовая механика в фазовом пространстве часто используется в определенных приложениях квантовой оптики (см. оптическое фазовое пространство ) или при изучении декогеренции и ряда специализированных технических проблем, хотя в других случаях формализм реже применяется в практических ситуациях. ^[6]

Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, разветвились на математические ответвления, такие как деформационное квантование Концевича (см. формулу квантования Концевича ) и некоммутативная геометрия .

Распределение фазового пространства

Распределение фазового пространства f ( x ,  p ) квантового состояния является распределением квазивероятности. В формулировке фазового пространства распределение фазового пространства может рассматриваться как фундаментальное, примитивное описание квантовой системы, без какой-либо ссылки на волновые функции или матрицы плотности. ^[7]

Существует несколько различных способов представления распределения, все они взаимосвязаны. ^{[8] [9]} Наиболее примечательным является представление Вигнера , W ( x ,  p ) , открытое первым. ^[4] Другие представления (приблизительно в порядке убывания распространенности в литературе) включают представления Глаубера–Сударшана P , ^{[10] [11]} Хусими Q , ^[12] Кирквуда–Рихачека, Мехты, Ривье и Борна–Джордана. ^{[13] [14]} Эти альтернативы наиболее полезны, когда гамильтониан принимает определенную форму, такую ​​как нормальный порядок для P-представления Глаубера–Сударшана. Поскольку представление Вигнера является наиболее распространенным, в этой статье, как правило, будет использоваться именно оно, если не указано иное.

Распределение в фазовом пространстве обладает свойствами, похожими на плотность вероятности в 2 n -мерном фазовом пространстве. Например, оно является вещественным , в отличие от комплекснозначной волновой функции. Мы можем понять вероятность нахождения в интервале положения, например, путем интегрирования функции Вигнера по всем импульсам и по интервалу положения:

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.}$

Если Â ( x ,  p ) — оператор, представляющий наблюдаемую, он может быть отображен в фазовое пространство как A ( x , p ) посредством преобразования Вигнера . И наоборот, этот оператор может быть восстановлен посредством преобразования Вейля .

Ожидаемое значение наблюдаемой величины относительно распределения в фазовом пространстве равно ^{[2] [15]}

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.}$

Однако следует предупредить: несмотря на внешнее сходство, W ( x ,  p ) не является подлинным совместным распределением вероятностей , поскольку области под ним не представляют взаимоисключающие состояния, как того требует третья аксиома теории вероятностей . Более того, оно может, в общем случае, принимать отрицательные значения даже для чистых состояний, за единственным исключением (опционально сжатых ) когерентных состояний , что нарушает первую аксиому .

Области такого отрицательного значения доказуемо являются «малыми»: они не могут расширяться до компактных областей, больших, чем несколько ħ , и, следовательно, исчезают в классическом пределе . Они защищены принципом неопределенности , который не допускает точной локализации в пределах областей фазового пространства, меньших, чем ħ , и, таким образом, делает такие «отрицательные вероятности» менее парадоксальными. Если левую часть уравнения интерпретировать как математическое ожидание в гильбертовом пространстве относительно оператора, то в контексте квантовой оптики это уравнение известно как теорема об оптической эквивалентности . (Подробнее о свойствах и интерпретации функции Вигнера см. в ее основной статье .)

Альтернативный подход к квантовой механике на основе фазового пространства стремится определить волновую функцию (а не просто плотность квазивероятности) на фазовом пространстве, как правило, с помощью преобразования Сигала–Баргмана . Чтобы быть совместимым с принципом неопределенности, волновая функция фазового пространства не может быть произвольной функцией, иначе она могла бы быть локализована в произвольно малой области фазового пространства. Скорее, преобразование Сигала–Баргмана является голоморфной функцией . Существует плотность квазивероятности, связанная с волновой функцией фазового пространства; это представление Хусими Q волновой функции положения. ${\displaystyle x+ip}$

Звездный продукт

Фундаментальный некоммутативный бинарный оператор в формулировке фазового пространства, который заменяет стандартное операторное умножение, — это звездное произведение , представленное символом ★ . ^[1] Каждое представление распределения фазового пространства имеет свое характерное звездное произведение. Для конкретности мы ограничим это обсуждение звездным произведением, соответствующим представлению Вигнера–Вейля.

Для удобства обозначений введем понятие левой и правой производных . Для пары функций f и g левая и правая производные определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}f{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}g&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)g,\\f{\vec {\partial }}_{x}g&=f\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right).\end{aligned}}}$

Дифференциальное определение звездного продукта:

${\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,}$

где аргумент показательной функции можно интерпретировать как степенной ряд . Дополнительные дифференциальные соотношения позволяют записать это в терминах изменения аргументов f и g :

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}$

Также возможно определить ★ -произведение в форме интеграла свертки ^[16] , по сути, через преобразование Фурье :

${\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.}$

(Так, например, ^[7] гауссианы составляют гиперболически :

${\displaystyle \exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b}(x^{2}+p^{2}){\big )}={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left(-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}(x^{2}+p^{2})\right),}$

или

${\displaystyle \delta (x)\star \delta (p)={\frac {2}{h}}\exp \left(2i{\frac {xp}{\hbar }}\right),}$

и т. д.)

Распределения собственных энергетических состояний известны как stargenstates , ★ - genstates , stargenfunctions или ★ - genfunctions , а связанные с ними энергии известны как stargenvalues ​​или ★ - genvalues ​​. Они решаются, аналогично независимому от времени уравнению Шредингера , уравнением ★ -genvalue ^{[17] [18]}

${\displaystyle H\star W=E\cdot W,}$

где H — гамильтониан, простая функция фазового пространства, чаще всего идентичная классическому гамильтониану.

Эволюция времени

Временная эволюция распределения фазового пространства задается квантовой модификацией потока Лиувилля . ^{[2] [9] [19]} Эта формула получается в результате применения преобразования Вигнера к версии матрицы плотности квантового уравнения Лиувилля , уравнения фон Неймана .

В любом представлении распределения фазового пространства с соответствующим ему звездным произведением это

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),}$

или, в частности, для функции Вигнера,

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}$

где {{ , }} — скобка Мойала , преобразование Вигнера квантового коммутатора, а { , } — классическая скобка Пуассона . ^[2]

Это дает краткую иллюстрацию принципа соответствия : это уравнение явно сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе ħ  → 0. Однако в квантовом расширении потока плотность точек в фазовом пространстве не сохраняется ; вероятностная жидкость кажется «диффузной» и сжимаемой. ^[2] Поэтому концепция квантовой траектории является здесь деликатным вопросом. ^[20] Посмотрите фильм о потенциале Морзе ниже, чтобы оценить нелокальность квантового фазового потока.

NB Учитывая ограничения, накладываемые принципом неопределенности на локализацию, Нильс Бор решительно отрицал физическое существование таких траекторий в микроскопическом масштабе. С помощью формальных траекторий фазового пространства проблема эволюции во времени функции Вигнера может быть строго решена с использованием метода интеграла по траектории ^[21] и метода квантовых характеристик ^[22] , хотя в обоих случаях существуют серьезные практические препятствия.

Примеры

Простой гармонический осциллятор

Функция Вигнера для числовых состояний a) n  = 0, b) n  = 1 и c) n  = 19. Предельные распределения для x и p восстанавливаются путем интегрирования по p и x соответственно.

Гамильтониан для простого гармонического осциллятора в одном пространственном измерении в представлении Вигнера-Вейля имеет вид

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.}$

Тогда уравнение ★ -genvalue для статической функции Вигнера имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)^{2}\right)W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{x}^{2}\right)\right)W\\&\quad {}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}}$

Рассмотрим сначала мнимую часть уравнения ★ -genvalue,

${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot W=0}$

Это означает, что можно записать ★ -генсостояния как функции одного аргумента:

${\displaystyle W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).}$

При такой замене переменных можно записать действительную часть уравнения ★ -genvalue в виде модифицированного уравнения Лагерра (не уравнения Эрмита !), решение которого включает полиномы Лагерра как ^[18]

${\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega },}$

введенный Гроенвольдом, ^[1] с соответствующими ★ -genvalues

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$

Для гармонического осциллятора временная эволюция произвольного распределения Вигнера проста. Начальный W ( x ,  p ;  t = 0) = F ( u ) эволюционирует по приведенному выше уравнению эволюции, управляемому гамильтонианом осциллятора, заданным простым жестким вращением в фазовом пространстве , ^[1]

${\displaystyle W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0).}$

Функция Вигнера простого гармонического осциллятора на разных уровнях возбуждения. Масштаб изменен на , чтобы показать, что функция Вигнера колеблется в пределах этого радиуса и быстро затухает за его пределами. ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle {\sqrt {n+1}}}$

Обычно «выступ» (или когерентное состояние) энергии E ≫ ħω может представлять макроскопическую величину и выглядеть как классический объект, равномерно вращающийся в фазовом пространстве, простой механический осциллятор (см. анимированные рисунки). Интегрирование по всем фазам (начальным положениям при t  = 0) таких объектов, непрерывный «палисад», дает независимую от времени конфигурацию, похожую на приведенные выше статические ★ -генсостояния F ( u ) , интуитивную визуализацию классического предела для систем с большим действием. ^[6]

Собственные функции также могут быть охарактеризованы как вращательно-симметричные (и, следовательно, инвариантные во времени) чистые состояния. То есть, они являются функциями формы , которые удовлетворяют . ${\displaystyle W(x,p)=f({\sqrt {x^{2}+p^{2}}})}$ ${\displaystyle W\star W=(2\pi \hbar )^{-1}W}$

Угловой момент свободной частицы

Предположим, что частица изначально находится в минимально неопределенном гауссовском состоянии , с ожидаемыми значениями положения и импульса, центрированными в начале координат в фазовом пространстве. Функция Вигнера для такого состояния, распространяющегося свободно, имеет вид

${\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}$

где α — параметр, описывающий начальную ширину гауссианы, а τ = m / α ² ħ .

Первоначально положение и импульсы не коррелируют. Таким образом, в трех измерениях мы ожидаем, что векторы положения и импульса будут в два раза более вероятно перпендикулярны друг другу, чем параллельны.

Однако положение и импульс становятся все более коррелированными по мере развития состояния, поскольку части распределения, расположенные дальше от начала координат по положению, требуют большего импульса для достижения: асимптотически,

${\displaystyle W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.}$

(Это относительное «сжатие» отражает распространение свободного волнового пакета в координатном пространстве.)

Действительно, можно показать, что кинетическая энергия частицы становится асимптотически радиальной только в соответствии со стандартным квантово-механическим понятием ненулевого углового момента основного состояния, определяющего независимость ориентации: ^[24]

${\displaystyle K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)}$

${\displaystyle K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.}$

потенциал Морзе

Потенциал Морзе используется для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.

Временная эволюция функции Вигнера потенциала Морзе U ( x ) = 20(1 − e ^{−0,16 x} ) ² в атомных единицах (а.е.). Сплошные линии представляют собой множество уровней гамильтониана H ( x , p ) = p ² /2 + U ( x ) .

Квантовое туннелирование

Туннелирование — это характерный квантовый эффект, когда квантовая частица, не имея достаточной энергии, чтобы пролететь выше, все равно проходит сквозь барьер. Этот эффект не существует в классической механике.

Функция Вигнера для туннелирования через потенциальный барьер U ( x ) = 8 e ^{−0,25 x 2} в атомных единицах (а.е.). Сплошные линии представляют собой множество уровней гамильтониана H ( x , p ) = p ² /2 + U ( x ).

Квартальный потенциал

Временная эволюция функции Вигнера для потенциала U ( x ) = 0,1 x ⁴ в атомных единицах (а.е.). Сплошные линии представляют собой множество уровней гамильтониана H ( x , p ) = p ² /2 + U ( x ) .

Шредингерсостояние кошки

Функция Вигнера двух интерферирующих когерентных состояний, эволюционирующих через гамильтониан SHO. Соответствующие проекции импульса и координат нанесены справа и под графиком фазового пространства.

Ссылки

1. Groenewold, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode : 1946Phy....12..405G. doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
2. Moyal, JE; Bartlett, MS (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1): 99–124. Bibcode :1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487. S2CID  124183640.
3. Вейль, Х. (1927). «Квантенмеханика и групповая теория». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W. дои : 10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.
4. Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке для термодинамического равновесия». Physical Review . 40 (5): 749–759. Bibcode :1932PhRv...40..749W. doi :10.1103/PhysRev.40.749. hdl : 10338.dmlcz/141466 .
5. Али, С. Твареке; Энглиш, Мирослав (2005). «Методы квантования: руководство для физиков и аналитиков». Обзоры по математической физике . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . doi :10.1142/S0129055X05002376. S2CID  119152724.
6. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Asia Pacific Physics Newsletter . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.
7. C. Zachos , D. Fairlie и T. Curtright , «Квантовая механика в фазовом пространстве» (World Scientific, Сингапур, 2005) ISBN 978-981-238-384-6 . 
8. Коэн, Л. (1966). «Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве». Журнал математической физики . 7 (5): 781–786. Bibcode : 1966JMP.....7..781C. doi : 10.1063/1.1931206.
9. Агарвал, GS; Вольф, E. (1970). «Исчисление функций некоммутирующих операторов и общие методы фазового пространства в квантовой механике. II. Квантовая механика в фазовом пространстве». Physical Review D. 2 ( 10): 2187–2205. Bibcode :1970PhRvD...2.2187A. doi :10.1103/PhysRevD.2.2187.
10. Сударшан, ECG (1963). «Эквивалентность полуклассических и квантово-механических описаний статистических световых пучков». Physical Review Letters . 10 (7): 277–279. Bibcode : 1963PhRvL..10..277S. doi : 10.1103/PhysRevLett.10.277.
11. Глаубер, Рой Дж. (1963). «Когерентные и некогерентные состояния поля излучения». Physical Review . 131 (6): 2766–2788. Bibcode : 1963PhRv..131.2766G. doi : 10.1103/PhysRev.131.2766.
12. Коди Хусими (1940). «Некоторые формальные свойства матрицы плотности», Proc. Phys. Math. Soc. Jpn. 22 : 264–314.
13. Агарвал, Г. С.; Вольф, Э. (1970). «Исчисление функций некоммутирующих операторов и общие методы фазового пространства в квантовой механике. I. Теоремы отображения и упорядочение функций некоммутирующих операторов». Physical Review D. 2 ( 10): 2161–2186. Bibcode :1970PhRvD...2.2161A. doi :10.1103/PhysRevD.2.2161.
14. Кэхилл, KE; Глаубер, RJ (1969). "Упорядоченные разложения в операторах амплитуд бозонов" (PDF) . Physical Review . 177 (5): 1857–1881. Bibcode : 1969PhRv..177.1857C. doi : 10.1103/PhysRev.177.1857.; Кэхилл, KE; Глаубер, RJ (1969). «Операторы плотности и квазивероятностные распределения». Physical Review . 177 (5): 1882–1902. Bibcode :1969PhRv..177.1882C. doi :10.1103/PhysRev.177.1882..
15. Лакс, Мелвин (1968). «Квантовый шум. XI. Многовременное соответствие между квантовыми и классическими стохастическими процессами». Physical Review . 172 (2): 350–361. Bibcode : 1968PhRv..172..350L. doi : 10.1103/PhysRev.172.350.
16. Бейкер, Джордж А. (1958). «Формулировка квантовой механики на основе квазивероятностного распределения, индуцированного в фазовом пространстве». Physical Review . 109 (6): 2198–2206. Bibcode : 1958PhRv..109.2198B. ​​doi : 10.1103/PhysRev.109.2198.
17. Fairlie, DB (1964). «Формулировка квантовой механики в терминах функций фазового пространства». Математические труды Кембриджского философского общества . 60 (3): 581–586. Bibcode :1964PCPS...60..581F. doi :10.1017/S0305004100038068. S2CID  122039228.
18. Curtright, T.; Fairlie, D.; Zachos, C. (1998). "Особенности функций Вигнера, не зависящих от времени". Physical Review D. 58 ( 2): 025002. arXiv : hep-th/9711183 . Bibcode : 1998PhRvD..58b5002C. doi : 10.1103/PhysRevD.58.025002. S2CID  288935.
19. Mehta, CL (1964). «Формулировка динамики канонических переменных в фазовом пространстве». Журнал математической физики . 5 (5): 677–686. Bibcode :1964JMP.....5..677M. doi : 10.1063/1.1704163 .
20. M. Oliva, D. Kakofengitis, O. Steuernagel (2018). «Ангармонические квантово-механические системы не имеют траекторий фазового пространства». Physica A. 502 : 201–210. arXiv : 1611.03303 . Bibcode : 2018PhyA..502..201O. doi : 10.1016/j.physa.2017.10.047. S2CID  53691877. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
21. Маринов, М.С. (1991). «Новый тип интеграла по траекториям в фазовом пространстве». Physics Letters A. 153 ( 1): 5–11. Bibcode : 1991PhLA..153....5M. doi : 10.1016/0375-9601(91)90352-9.
22. Криворученко, МИ; Фесслер, Аманд (2007). "Символы Вейля операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов как квантовые характеристики". Журнал математической физики . 48 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0604075 . Bibcode : 2007JMP....48e2107K. doi : 10.1063/1.2735816. S2CID  42068076.
23. Куртрайт, Т.Л. Функции Вигнера, зависящие от времени.
24. Dahl, Jens Peder; Schleich, Wolfgang P. (2002-01-15). "Концепции радиальной и угловой кинетической энергии". Physical Review A. 65 ( 2): 022109. arXiv : quant-ph/0110134 . Bibcode : 2002PhRvA..65b2109D. doi : 10.1103/physreva.65.022109. ISSN  1050-2947. S2CID  39409789.