Пьер де Ферма ( фр. Pierre de Fermat ; [pjɛʁ də fɛʁma] ; между 31 октября и 6 декабря 1607 [a] — 12 января 1665) — французский математик , которому приписывают ранние разработки, приведшие к исчислению бесконечно малых , включая его технику равенства . В частности, он известен открытием оригинального метода нахождения наибольшей и наименьшей ординат кривых линий, который аналогичен методу дифференциального исчисления , тогда неизвестного, и его исследованиями в области теории чисел . Он внес заметный вклад в аналитическую геометрию , теорию вероятностей и оптику . Он наиболее известен своим принципом Ферма для распространения света и своей Великой теоремой Ферма в теории чисел , которую он описал в заметке на полях копии « Арифметики » Диофанта . Он также был юристом [3] в парламенте Тулузы , Франция .
Ферма родился в 1607 году [a] в Бомон-де-Ломань , Франция — особняк конца XV века, где родился Ферма, сейчас является музеем. Он был родом из Гаскони , где его отец, Доминик Ферма, был богатым торговцем кожей и трижды занимал должность одного из четырех консулов Бомон-де-Ломань по одному году. Его матерью была Клэр де Лонг. [2] У Пьера был один брат и две сестры, и он, скорее всего, воспитывался в городе, где родился. [ необходима цитата ]
Он учился в Университете Орлеана с 1623 года и получил степень бакалавра гражданского права в 1626 году, прежде чем переехать в Бордо . В Бордо он начал свои первые серьезные математические исследования, и в 1629 году он передал копию своей реставрации De Locis Planis Аполлония одному из местных математиков. Конечно, в Бордо он был в контакте с Бограном и в это время он создал важную работу о максимумах и минимумах , которую он передал Этьену д'Эспанье , который явно разделял математические интересы с Ферма. Там на него сильно повлияла работа Франсуа Виэта . [4]
В 1630 году он купил должность советника в Тулузском парламенте , одном из высших судов юстиции во Франции, и был приведен к присяге Большой палатой в мае 1631 года. Он занимал эту должность до конца своей жизни. Таким образом, Ферма получил право изменить свое имя с Пьера Ферма на Пьера де Ферма. 1 июня 1631 года Ферма женился на Луизе де Лонг, четвероюродной сестре своей матери Клэр де Ферма (урожденной де Лонг). У Ферма было восемь детей, пятеро из которых дожили до взрослого возраста: Клеман-Самуэль, Жан, Клэр, Катрин и Луиза. [5] [6] [7]
Свободно владея шестью языками ( французским , латынью , окситанским , классическим греческим , итальянским и испанским ), Ферма хвалили за его написанные стихи на нескольких языках, и его советы охотно искали относительно исправления греческих текстов. Он передавал большую часть своей работы в письмах друзьям, часто с небольшими или без доказательств своих теорем. В некоторых из этих писем к своим друзьям он исследовал многие из основных идей исчисления до Ньютона или Лейбница . Ферма был обученным юристом, сделавшим математику скорее хобби, чем профессией. Тем не менее, он внес важный вклад в аналитическую геометрию , вероятность, теорию чисел и исчисление. [8] Секретность была обычным явлением в европейских математических кругах в то время. Это, естественно, привело к спорам о приоритетах с современниками, такими как Декарт и Уоллис . [9]
Андерс Хальд пишет, что «в основе математики Ферма лежали классические греческие трактаты в сочетании с новыми алгебраическими методами Виета». [10]
Новаторская работа Ферма в аналитической геометрии ( Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus Linearum Curvarum ) была распространена в виде рукописи в 1636 году (на основе результатов, полученных в 1629 году), [11] до публикации « Геометрии » Декарта (1637), который использовал произведение. [12] Эта рукопись была опубликована посмертно в 1679 году в Varia Opera Mathematica под названием Ad Locos Planos et Solidos Isagoge ( Введение в плоские и твердые места ). [13]
В «Методе определения максимумов и минимумов и касательных линейных кривых » Ферма разработал метод ( равенство ) для определения максимумов, минимумов и касательных к различным кривым, который был эквивалентен дифференциальному исчислению . [14] [15] В этих работах Ферма получил технику нахождения центров тяжести различных плоских и объемных фигур, что привело к его дальнейшей работе в области квадратуры .
Ферма был первым человеком, который, как известно, оценил интеграл общих степенных функций. С помощью своего метода он смог свести эту оценку к сумме геометрических рядов . [16] Полученная формула была полезна Ньютону , а затем Лейбницу , когда они независимо друг от друга разработали фундаментальную теорему исчисления . [ требуется ссылка ]
В теории чисел Ферма изучал уравнение Пелля , совершенные числа , дружественные числа и то, что позже стало числами Ферма . Именно во время исследования совершенных чисел он открыл малую теорему Ферма . Он изобрел метод факторизации — метод факторизации Ферма — и популяризировал доказательство бесконечным спуском , которое он использовал для доказательства теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике , которая включает в себя в качестве следствия Великую теорему Ферма для случая n = 4. Ферма разработал теорему о двух квадратах и теорему о многоугольных числах , которая утверждает, что каждое число является суммой трех треугольных чисел , четырех квадратных чисел , пяти пятиугольных чисел и так далее.
Хотя Ферма утверждал, что доказал все свои арифметические теоремы, сохранилось мало записей его доказательств. Многие математики, включая Гаусса , сомневались в некоторых из его утверждений, особенно учитывая сложность некоторых задач и ограниченность математических методов, доступных Ферма. Его Великая теорема была впервые обнаружена его сыном на полях отцовского экземпляра издания Диофанта и включала утверждение, что поля были слишком малы, чтобы включить доказательство. Кажется, он не писал об этом Марину Мерсенну . Впервые она была доказана в 1994 году сэром Эндрю Уайлсом с использованием методов, недоступных Ферма. [ необходима цитата ]
Благодаря своей переписке в 1654 году Ферма и Блез Паскаль помогли заложить основу теории вероятностей. Благодаря этому краткому, но продуктивному сотрудничеству по проблеме точек , они теперь считаются сооснователями теории вероятностей . [17] Ферма приписывают проведение первого в истории строгого расчета вероятности. В нем профессиональный игрок спросил его, почему, если он поставит на то, что выпадет хотя бы одна шестерка за четыре броска игральной кости, он выиграет в долгосрочной перспективе, тогда как ставка на то, что выпадет хотя бы одна двойная шестерка за 24 броска двух игральных костей, приведет к его проигрышу. Ферма математически показал, почему это так. [18]
Первый вариационный принцип в физике был сформулирован Евклидом в его Catoptrica . Он гласит, что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равен углу отражения . Герон Александрийский позже показал, что этот путь дает наименьшую длину и наименьшее время. [19] Ферма уточнил и обобщил это до «свет проходит между двумя заданными точками по пути наименьшего времени », теперь известному как принцип наименьшего времени . [20] За это Ферма признан ключевой фигурой в историческом развитии фундаментального принципа наименьшего действия в физике. Термины принцип Ферма и функционал Ферма были названы в знак признания этой роли. [21]
Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в Кастре , в современном департаменте Тарн . [22] Старейшая и самая престижная средняя школа в Тулузе названа в его честь: лицей Пьера-де-Ферма . Французский скульптор Теофиль Барро создал мраморную статую под названием Hommage à Pierre Fermat как дань уважения Ферма, которая сейчас находится в Капитолии Тулузы .
Вместе с Рене Декартом Ферма был одним из двух ведущих математиков первой половины XVII века. Согласно Питеру Л. Бернстайну в его книге 1996 года «Против богов », Ферма «был математиком редкой силы. Он был независимым изобретателем аналитической геометрии , он внес вклад в раннее развитие исчисления, он проводил исследования веса Земли, и он работал над преломлением света и оптикой. В ходе того, что оказалось обширной перепиской с Блезом Паскалем , он внес значительный вклад в теорию вероятностей. Но венцом достижений Ферма стала теория чисел». [23]
Что касается работы Ферма в области анализа, Исаак Ньютон писал, что его собственные ранние идеи об исчислении возникли непосредственно из «способа Ферма проводить касательные». [24]
О работе Ферма по теории чисел математик 20-го века Андре Вейль писал, что: «то, что мы имеем из его методов для работы с кривыми рода 1, является удивительно связным; это по-прежнему является основой для современной теории таких кривых. Она естественным образом распадается на две части; первую из них... можно удобно назвать методом восхождения, в отличие от спуска, который по праву считается собственным методом Ферма». [25] Относительно использования Ферма восхождения Вейль продолжил: «Новшество состояло в значительно расширенном использовании, которое Ферма сделал из него, что дало ему, по крайней мере, частичный эквивалент того, что мы получили бы при систематическом использовании групповых теоретических свойств рациональных точек на стандартной кубике». [26] С его даром к числовым соотношениям и его способностью находить доказательства для многих своих теорем, Ферма по сути создал современную теорию чисел.
