Множественное количественное определение

В математике и логике квантификация множественного числа — это теория, согласно которой отдельная переменная x может принимать значения как во множественном , так и в единственном числе. Помимо замены x отдельными объектами, такими как Алиса, число 1, самое высокое здание в Лондоне и т. д., мы можем заменить Алису и Боба, или все числа от 0 до 10, или все здания в Лондоне выше 20 этажей. .

Цель теории состоит в том, чтобы придать логике первого порядка силу теории множеств , но без какой-либо « экзистенциальной приверженности » таким объектам, как множества. Классическими экспозициями являются Boolos 1984 и Lewis 1991.

История

Эту точку зрения обычно связывают с Джорджем Булосом , хотя она старше (см., в частности, Simons 1982), и связана с точкой зрения на классы, которую защищал Джон Стюарт Милль и другие философы -номиналисты . Милль утверждал, что универсалии или «классы» не являются чем-то особенным, имеющим объективное существование, отличное от отдельных объектов, подпадающих под них, но «представляют собой не больше и не меньше, чем отдельные вещи в классе». (Мельница 1904, II. ii. 2, также I. iv. 3).

Подобная позиция также обсуждалась Бертраном Расселом в главе VI книги «Рассел» (1903), но позже от нее отказались в пользу теории «отсутствия классов». См. также Gottlob Frege 1895 для критики более ранней точки зрения, защищаемой Эрнстом Шредером .

Общая идея восходит к Лейбницу . (Леви, 2011, стр. 129–133)

Интерес к множественному числу возродился благодаря работам в лингвистике в 1970-х годах Ремко Ша , Годехарда Линка , Фреда Ландмана , Фридерики Мольтманн , Роджера Шварцшильда, Питера Лазерсона и других, которые разработали идеи семантики множественного числа.

Предыстория и мотивация

Многоуровневые (вариантно-полиадические) предикаты и отношения

Предложения типа

Алиса и Боб сотрудничают.

Алиса, Боб и Кэрол сотрудничают.

Говорят, что они включают в себя многоуровневый (также известный как переменно-полиадический , также анадический ) предикат или отношение («сотрудничать» в этом примере), что означает, что они обозначают одну и ту же концепцию, даже если они не имеют фиксированной арности (ср. Линнебо и Николас 2008). Понятие многоуровневого отношения/предиката появилось еще в 1940-х годах и особенно использовалось Куайном ( см. Morton 1975). Квантификация множественного числа связана с формализацией количественной оценки аргументов переменной длины таких предикатов, например, « xx сотрудничает», где xx — переменная во множественном числе. Обратите внимание, что в этом примере семантически не имеет смысла создавать экземпляр xx с именем одного человека.

Номинализм

Вообще говоря, номинализм отрицает существование универсалий ( абстрактных сущностей ), таких как множества, классы, отношения, свойства и т. д. Таким образом, логика множественного числа была разработана как попытка формализовать рассуждения о множественном числе, например, те, которые участвуют в многоуровневых предикатах, по-видимому, без обращение к понятиям, которые отрицают номиналисты, например, к множествам.

Стандартная логика первого порядка испытывает трудности с представлением некоторых предложений во множественном числе. Наиболее известной является фраза Гича-Каплана: «Некоторые критики восхищаются только друг другом». Каплан доказал, что он непервоупорядочиваем (доказательство можно найти в этой статье). Следовательно, его перефразирование на формальный язык обязывает нас к количественному определению множеств (т.е. к существованию).

Булос утверждал, что монадическая квантификация второго порядка может быть систематически интерпретирована с точки зрения количественной оценки множественного числа, и что, следовательно, монадическая квантификация второго порядка «онтологически невинна». ^[1]

Позже Oliver & Smiley (2001), Rayo (2002), Yi (2005) и McKay (2006) утверждали, что такие предложения, как

Они товарищи по кораблю

Они встречаются вместе

Они подняли пианино

Они окружают здание

Они восхищаются только друг другом

также не могут быть интерпретированы в монадической логике второго порядка. Это связано с тем, что такие предикаты, как «соратники», «встречаются вместе», «окружают здание», не являются распределительными . Предикат F является дистрибутивным, если всякий раз, когда некоторые вещи являются F, каждая из них является F. Но в стандартной логике каждый монадический предикат является дистрибутивным . Тем не менее, такие предложения также кажутся невинными в каких-либо экзистенциальных предположениях и не предполагают количественной оценки.

Таким образом, можно предложить единое объяснение терминов множественного числа, которое допускает как распределительное, так и недистрибутивное удовлетворение предикатов, одновременно защищая эту позицию от «сингулярного» предположения, что такие предикаты являются предикатами наборов индивидов (или мереологических сумм).

Несколько писателей ^{[ кто? ]} предположили, что множественная логика открывает перспективу упрощения основ математики , избежания парадоксов теории множеств и упрощения сложных и неинтуитивных наборов аксиом, необходимых для того, чтобы их избежать. ^{[ нужны разъяснения ]}

Недавно Линнебо и Николас (2008) предположили, что естественные языки часто содержат переменные в сверхмножественном числе (и связанные с ними кванторы), такие как «эти люди, те люди и эти другие люди соревнуются друг с другом» (например, как команды в онлайн-игре), в то время как Николас (2008) утверждал, что для объяснения семантики массовых существительных, таких как «вино» и «мебель», следует использовать логику множественного числа.

Формальное определение

В этом разделе представлена ​​простая формулировка логики/квантификации множественного числа, примерно такая же, как данная Булосом в «Номиналистическом платонизме» (Boolos 1985).

Синтаксис

Подсентенциальные единицы определяются как

• Символы предикатов , и т. д. (с соответствующими арностями, которые остаются неявными) ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$
• Символы сингулярных переменных , , и т.д. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• Символы множественных переменных , , и т.д. ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$

Полные предложения определяются как

• Если является n -арным символом-предикатом и являются сингулярными переменными символами, то это предложение. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$
• Если это предложение, то так оно и есть ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$
• Если и являются предложениями, то таковы и предложения. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\land Q}$
• Если это предложение и является сингулярным переменным символом, то это предложение ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exists x.P}$
• Если это символ переменной в единственном числе и символ переменной во множественном числе, то это предложение (где ≺ обычно интерпретируется как отношение «является одним из») ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle x\prec {\bar {y}}}$
• Если это предложение и является переменным символом множественного числа, то это предложение ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \exists {\bar {x}}.P}$

Последние две строки — единственный существенно новый компонент синтаксиса логики множественного числа. Другие логические символы, определяемые с их помощью, могут свободно использоваться в качестве сокращений обозначений.

Эта логика оказывается равноинтерпретируемой с монадической логикой второго порядка .

Теория моделей

Теория/семантика модели множественной логики — это то, где недостаток множеств в логике обналичивается. Модель определяется как кортеж , где является областью определения, представляет собой набор оценок для каждого имени предиката в обычном смысле и представляет собой последовательность Тарского (присвоение значений переменным) в обычном смысле (т. е. отображение сингулярных символов переменных к элементам ). Новый компонент представляет собой бинарное отношение, связывающее значения в домене с символами множественных переменных. ${\displaystyle (D,V,s,R)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$

Удовлетворение выражается как

• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$если только ${\displaystyle (s_{x_{0}},\ldots ,s_{x_{n}})\in V_{F}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \neg P}$если только ${\displaystyle (D,V,s,R)\nvDash P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models P\land Q}$если и только ${\displaystyle (D,V,s,R)\models P}$ ${\displaystyle (D,V,s,R)\models Q}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists x.P}$если и существует такое, что ${\displaystyle s'\approx _{x}s}$ ${\displaystyle (D,V,s',R)\models P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}}$если только ${\displaystyle s_{x}R{\bar {y}}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists {\bar {x}}.P}$если и существует такое, что ${\displaystyle R'\approx _{\bar {x}}R}$ ${\displaystyle (D,V,s,R')\models P}$

Где для символов переменных в единственном числе означает, что для всех символов переменных в единственном числе, кроме , выполняется это , а для символов переменных во множественном числе это означает, что для всех символов переменных во множественном числе, кроме , и для всех объектов домена выполняется это . ${\displaystyle s\approx _{x}s'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s_{y}=s'_{y}}$ ${\displaystyle R\approx _{\bar {x}}R'}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle dR{\bar {y}}=dR'{\bar {y}}}$

Как и в синтаксисе, только два последних являются действительно новыми в логике множественного числа. Булос отмечает, что при использовании отношений присваивания предметная область не обязательно должна включать множества, и, следовательно, логика множественного числа достигает онтологической невиновности, сохраняя при этом способность говорить о расширениях предиката. Таким образом, схема понимания множественной логики не приводит к парадоксу Рассела, поскольку количественная оценка множественных переменных не дает количественной оценки во всей области. Другим аспектом логики, как ее определяет Булос, решающим для обхода парадокса Рассела, является тот факт, что предложения этой формы не являются правильно сформированными: имена предикатов могут сочетаться только с символами переменных в единственном числе, а не с символами переменных во множественном числе. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)}$ ${\displaystyle F({\bar {x}})}$

Это можно рассматривать как самый простой и очевидный аргумент в пользу того, что логика множественного числа, как ее определил Булос, онтологически невинна.

Смотрите также

• Обобщенный квантор
• Вариадная функция

Примечания

1. Харман, Гилберт; Лепор, Эрнест (2013), Товарищ WVO Куайна, Блэквеллские компаньоны по философии, John Wiley & Sons, стр. 390, ISBN 9781118608029.

Рекомендации

• Джордж Булос , 1984: «Быть ​​— значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных)», Journal of Philosophy 81: 430–449. В Булосе, 1998 г., 54–72.
• --------, 1985, "Номиналистический платонизм". Философское обозрение 94: 327–344. В Булосе, 1998, 73–87.
• --------, 1998. Логика, логика и логика . Издательство Гарвардского университета.
• Берджесс, Дж. П., «От Фреге до Фридмана: мечта сбылась?»
• --------, 2004, «E Pluribus Unum: логика множественного числа и теория множеств», Philosophia Mathematica 12(3): 193–221.
• Кэмерон, младший, 1999, «Множественное число», « Соотношение » .
• Коккьярелла, Нино (2002). «О логике множества классов». Студия Логика . 70 (3): 303–338. дои : 10.1023/А: 1015190829525. HDL : 2022/22331 .
• Де Руийан, П., 2002, «О том, что есть», Труды Аристотелевского общества : 183–200.
• Готтлоб Фреге , 1895, «Критическое разъяснение некоторых моментов в книге Э. Шредера Vorlesungen Ueber Die Algebra der Logik », Archiv für systematische Philosophie : 433–456.
• Фред Ландман 2000. События и множественность . Клювер.
• Лэйкок, Генри (2006), Слова без объектов , Оксфорд: Clarendon Press, doi : 10.1093/0199281718.001.0001, ISBN 9780199281718
• Дэвид К. Льюис , 1991. Части занятий . Лондон: Блэквелл.
• Линнебо, Эйстейн; Николас, Дэвид (2008). «Сверхмножественное число на английском языке» (PDF) . Анализ . 68 (3): 186–97. дои : 10.1093/анализ/68.3.186. Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2011 г. Проверено 29 ноября 2008 г.
• Маккей, Томас Дж. (2006), Множественное предсказание , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927814-5
• Джон Стюарт Милль , 1904, Система логики , 8-е изд. Лондон: .
• Мольтманн, Фридерика, 1997, Части и целое в семантике . Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк. ISBN 9780195154931 
• Мольтманн, Фридерика, «Множественное число и ссылка на множество». Лингвистические факты и семантический анализ». В М. Каррара, А. Арапинис и Ф. Мольтманн (ред.): Единство и множественность. Логика, философия и семантика. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд, 2016, стр. 93–120.
• Николас, Дэвид (2008). «Массовые существительные и логика множественного числа» (PDF) . Языкознание и философия . 31 (2): 211–244. CiteSeerX  10.1.1.510.3305 . дои : 10.1007/s10988-008-9033-2. Архивировано из оригинала (PDF) 19 февраля 2012 г.
• Оливер, Алекс; Смайли, Тимоти (2001). «Стратегии логики множественного числа». Философский ежеквартальный журнал . 51 (204): 289–306. дои : 10.1111/j.0031-8094.2001.00231.x.
• Оливер, Алекс (2004). «Множественные предикаты». Разум . 113 (452): 609–681. дои : 10.1093/mind/113.452.609.
• Райо, Агустин (2002). «Слово и предметы». Нус . 36 (3): 436–64. дои : 10.1111/1468-0068.00379.
• --------, 2006, «За пределами множественного числа», в Райо и Ускиано (2006).
• --------, 2007, «Множественное число», выйдет в журнале «Philosophy Compass» .
• -------- и Габриэль Узкиано, ред., 2006. Absolute Generality Oxford University Press.
• Бертран Рассел , Б., 1903. Основы математики . Оксфордский университет. Нажимать.
• Питер Саймонс , 1982, «Множественная ссылка и теория множеств», в издании Барри Смита , «Части и моменты: исследования в области логики и формальной онтологии ». Мюнхен: Философия Верлаг.
• --------, 1987. Части . Издательство Оксфордского университета.
• Ускиано, Габриэль (2003). «Множественное количественное определение и классы». Философия Математика . 11 (1): 67–81. дои : 10.1093/philmat/11.1.67.
• Йи, Бён Ук (1999). «Двое — это собственность?». Журнал философии . 95 (4): 163–190. дои : 10.2307/2564701. JSTOR  2564701.
• --------, 2005, «Логика и значение множественного числа, часть I», Journal of Philosophical Logic 34: 459–506.
• Адам Мортон . «Сложные личности и многоуровневые отношения». Ноус (1975): 309–318. JSTOR  2214634
• Сэмюэл Леви (2011) «Логическая теория Лейбница» в книге Брэндона К. Лука (ред.) The Continuum Companion to Leibniz , Continuum International Publishing Group, ISBN 0826429750 

Внешние ссылки

• Линнебо, Эйстейн. «Множественное количественное определение». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Мольтманн, Фридерика . (Август 2012 г.) «Множественное число и ссылка на множество. Переоценка лингвистических фактов»
• Более обширная библиография
• https://web.archive.org/web/20150211224457/http://lumiere.ens.fr/~amari/genius/PapersSeminar/Nicolas-Semantics-for-plurals-Handout-0110.pdf