Главный идеальный домен

Алгебраическая структура

В математике область главных идеалов ( PID ) — это область целостности (то есть коммутативное кольцо без ненулевых делителей нуля ), в которой каждый идеал является главным (то есть образован кратными одного элемента). Некоторые авторы, такие как Бурбаки, называют PID главными кольцами .

Главные идеальные области — это математические объекты, которые ведут себя подобно целым числам относительно делимости : любой элемент PID имеет уникальное разложение на простые элементы (так что выполняется аналог фундаментальной теоремы арифметики ); любые два элемента PID имеют наибольший общий делитель (хотя его может быть невозможно найти с помощью алгоритма Евклида ). Если x и y — элементы PID без общих делителей, то каждый элемент PID можно записать в виде ax + by и т. д.

Главные идеальные области являются нётеровыми , они целозамкнуты , они являются областями уникальной факторизации и областями Дедекинда . Все евклидовы области и все поля являются областями главных идеалов.

Главные идеальные области появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Примеры

Вот несколько примеров:

• ${\displaystyle K}$: любое поле ,
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: кольцо целых чисел , ^[1]
• ${\displaystyle K[x]}$: кольца многочленов от одной переменной с коэффициентами в поле. (Обратное также верно, т.е. если является ПИД, то является полем.) Более того, кольцо формальных степенных рядов от одной переменной над полем является ПИД, поскольку каждый идеал имеет вид , ${\displaystyle A[x]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x^{k})}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$: кольцо гауссовых целых чисел , ^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$(где — примитивный кубический корень из 1): целые числа Эйзенштейна , ${\displaystyle \omega }$
• Любое кольцо дискретного оценивания , например кольцо целых p -адических чисел . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Не примеры

Примеры интегральных доменов, не являющихся PID:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]}$является примером кольца, которое не является областью уникальной факторизации , поскольку Следовательно, это не область главных идеалов, поскольку области главных идеалов являются областями уникальной факторизации. Кроме того, является идеалом, который не может быть порожден одним элементом. ${\displaystyle 4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).}$ ${\displaystyle \langle 2,1+{\sqrt {-3}}\rangle }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$: кольцо всех многочленов с целыми коэффициентами. Оно не является главным, поскольку является идеалом, который не может быть порожден одним многочленом. ${\displaystyle \langle 2,x\rangle }$
• ${\displaystyle K[x,y,\ldots ],}$ кольцо многочленов по крайней мере от двух переменных над кольцом K не является главным, поскольку идеал не является главным. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$
• Большинство колец целых алгебраических чисел не являются областями главных идеалов. Это одна из главных мотиваций определения Дедекиндом областей Дедекинда , которая позволяет заменить уникальную факторизацию элементов уникальной факторизацией идеалов. В частности, многие для примитивного корня p-й степени из единицы не являются областями главных идеалов. ^[3] Число классов кольца целых алгебраических чисел дает меру того, «насколько далеко» кольцо от того, чтобы быть областью главных идеалов. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}],}$ ${\displaystyle \zeta _{p},}$

Модули

Ключевым результатом является структурная теорема: если R — область главных идеалов, а M — конечно порожденный R -модуль, то — прямая сумма циклических модулей, т. е. модулей с одним генератором. Циклические модули изоморфны для некоторого ^[4] (обратите внимание, что может быть равно , в этом случае ) . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R/xR}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle R/xR}$ ${\displaystyle R}$

Если M — свободный модуль над областью главных идеалов R , то каждый подмодуль M снова свободен. ^[5] Это не выполняется для модулей над произвольными кольцами, как показывает пример модулей над . ${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Характеристики

В области главных идеалов любые два элемента a , b имеют наибольший общий делитель , который может быть получен как генератор идеала ( a , b ) .

Все евклидовы области являются областями главных идеалов, но обратное неверно. Примером области главных идеалов, которая не является евклидовой областью, является кольцо , ^{[6] [7]} это было доказано Теодором Моцкиным и было первым известным случаем. ^[8] В этой области не существует q и r , причем 0 ≤ | r | < 4 , так что , несмотря на и имеющий наибольший общий делитель 2 . ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$ ${\displaystyle 4}$

Каждая область главного идеала является областью уникальной факторизации (ОДФ). ^{[9] [10] [11] [12]} Обратное утверждение неверно, поскольку для любой ОДФ K кольцо K [ X , Y ] многочленов от 2 переменных является ОДФ, но не является ПИД. (Чтобы доказать это, рассмотрим идеал, порожденный . Это не все кольцо, поскольку оно не содержит многочленов степени 0, но оно не может быть порождено каким-либо одним элементом.) ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle .}$

1. Каждая главная идеальная область является нётеровой .
2. Во всех унитальных кольцах максимальные идеалы являются простыми . В областях главных идеалов имеет место почти обратное: каждый ненулевой простой идеал является максимальным.
3. Все главные идеальные области являются целозамкнутыми .

Предыдущие три утверждения дают определение дедекиндовой области , и, следовательно, каждая главная идеальная область является дедекиндовой областью.

Пусть A — область целостности. Тогда следующие условия эквивалентны.

1. A — это PID.
2. Каждый простой идеал A является главным. ^[13]
3. A — это домен Дедекинда, являющийся UFD.
4. Каждый конечно порождённый идеал A является главным (т.е. A является областью Безу ), и A удовлетворяет условию обрыва возрастающей цепи главных идеалов .
5. A допускает норму Дедекинда–Хассе . ^[14]

Любая евклидова норма является нормой Дедекинда-Хассе; таким образом, (5) показывает, что евклидова область является PID. (4) сравнивается с:

• Целостная область является UFD тогда и только тогда, когда она является областью GCD (т. е. областью, где каждые два элемента имеют наибольший общий делитель), удовлетворяющей условию обрыва возрастающей цепи главных идеалов.

Целостный домен является доменом Безу тогда и только тогда, когда любые два элемента в нем имеют gcd , который является линейной комбинацией двух. Таким образом, домен Безу является доменом GCD, и (4) дает еще одно доказательство того, что PID является UFD.

Смотрите также

• Личность Безу

Примечания

1. См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 73, Следствие теоремы 1.7, и примечания на стр. 369, после следствия теоремы 7.2.
2. См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 385, теорема 7.8 и с. 377, Теорема 7.4.
3. Милн, Джеймс . «Алгебраическая теория чисел» (PDF) . стр. 5.
4. См. также Ribenboim (2001), стр. 113, доказательство леммы 2.
5. Лекция 1. Подмодули свободных модулей над PID math.sc.edu Получено 31 марта 2023 г.
6. Уилсон, Джек К. «Главное кольцо, которое не является евклидовым кольцом». Math. Mag 46 (январь 1973) 34-38 [1]
7. Джордж Бергман, Основная идеальная область, которая не является евклидовой — разработано в виде серии упражнений PostScript-файл
8. Motzkin, Th (декабрь 1949). «Алгоритм Евклида». Бюллетень Американского математического общества . 55 (12): 1142–1146. ISSN  0002-9904.
9. Доказательство: каждый простой идеал порождается одним элементом, который обязательно является простым. Теперь обратитесь к тому факту, что целостная область является UFD тогда и только тогда, когда ее простые идеалы содержат простые элементы.
10. Якобсон (2009), стр. 148, Теорема 2.23.
11. Фрели и Кац (1967), с. 368, Теорема 7.2.
12. Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), стр.166, Теорема 7.2.1.
13. "TY Lam and Manuel L. Reyes, A Prime Ideal Principle in Commutative Algebra" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2010 г. . Получено 31 марта 2023 г. .
14. Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), стр.170, предложение 7.3.3.

Ссылки

• Михил Хазевинкель , Надежда Губарени, В.В. Кириченко. Алгебры, кольца и модули . Kluwer Academic Publishers , 2004. ISBN 1-4020-2690-0. 
• Джон Б. Фрели, Виктор Дж. Кац. Первый курс абстрактной алгебры . Издательство Аддисон-Уэсли. 5-е изд., 1967. ISBN 0-201-53467-3. 
• Натан Якобсон . Основы алгебры I. Довер, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1 
• Пауло Рибенбойм. Классическая теория алгебраических чисел . Springer, 2001. ISBN 0-387-95070-2 

Внешние ссылки

• Главное кольцо на MathWorld