Псевдометрическое пространство

Обобщение метрических пространств в математике

В математике псевдометрическое пространство — это обобщение метрического пространства , в котором расстояние между двумя различными точками может быть равно нулю. Псевдометрические пространства были введены Джуро Курепой ^{[1] [2]} в 1934 году. Точно так же, как каждое нормированное пространство является метрическим пространством , каждое полунормированное пространство является псевдометрическим пространством. Из-за этой аналогии термин полуметрическое пространство (имеющий другое значение в топологии ) иногда используется как синоним, особенно в функциональном анализе .

Когда топология создается с использованием семейства псевдометрик, пространство называется калибровочным пространством .

Определение

Псевдометрическое пространство — это множество вместе с неотрицательной действительной функцией, называемой ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},}$псевдометрический , такой, что для каждого ${\displaystyle x,y,z\in X,}$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0.}$
2. Симметрия : ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
3. Субаддитивность / неравенство треугольника : ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

В отличие от метрического пространства, точки в псевдометрическом пространстве не обязательно должны быть различимы ; то есть можно иметь разные значения ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x\neq y.}$

Примеры

Любое метрическое пространство является псевдометрическим пространством. Псевдометрика естественным образом возникает в функциональном анализе . Рассмотрим пространство вещественных функций вместе со специальной точкой. Эта точка затем индуцирует псевдометрику в пространстве функций, заданную формулой ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$

$${\displaystyle d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|}$$

${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$

Полунорма вызывает псевдометрику . Это выпуклая функция аффинной функции (в частности, перевода ), а значит, выпуклая по . (Аналогично для .) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d(x,y)=p(x-y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

И наоборот, однородная, трансляционно-инвариантная псевдометрика индуцирует полунорму.

Псевдометрики возникают также в теории гиперболических комплексных многообразий : см. метрику Кобаяши .

Каждое пространство меры можно рассматривать как полное псевдометрическое пространство, определив ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$

$${\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)}$$

симметричную разницу ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}},}$

Если - функция и d ₂ является псевдометрикой на X ₂ , то дает псевдометрику на X ₁ . Если d ₂ — метрика и f инъективен , то d ₁ — метрика. ${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))}$

Топология

The псевдометрическая топология - этотопология, порожденнаяоткрытыми шарами.

$${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},}$$

основу^[3]псевдометризуемое пространство ^[4]

Разница между псевдометрикой и метрикой полностью топологическая. То есть псевдометрика является метрикой тогда и только тогда, когда порождаемая ею топология равна T 0 (т. е. различные точки топологически различимы ).

Определения последовательностей Коши и метрического пополнения для метрических пространств переносятся на псевдометрические пространства без изменений. ^[5]

Идентификация метрики

Исчезновение псевдометрики вызывает отношение эквивалентности , называемое метрической идентификацией , которое преобразует псевдометрическое пространство в полноценное метрическое пространство . Это делается путем определения if . Пусть – фактор-пространство по этому отношению эквивалентности и определим ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}}$$

метрическим пространством, индуцированным псевдометрическим пространством^{[6] [7]} ${\displaystyle x'\in [x]}$ ${\displaystyle d(x,x')=0}$ ${\displaystyle d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)}$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Метрическая идентификация сохраняет индуцированные топологии. То есть подмножество открыто (или закрыто) в том и только в том случае, если оно открыто (или закрыто) в и насыщено . Топологической идентификацией является фактор Колмогорова . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \pi (A)=[A]}$ ${\displaystyle \left(X^{*},d^{*}\right)}$ ${\displaystyle A}$

Примером такой конструкции является пополнение метрического пространства его последовательностями Коши .

Смотрите также

• Обобщенная метрика  – Метрическая геометрия
• Метрическая сигнатура  - количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений метрического тензора.
• Метрическое пространство  - математическое пространство с понятием расстояния.
• Метризуемое топологическое векторное пространство  - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.

Примечания

1. Курепа, Джуро (1934). «Таблицы разветвлений ансамблей, пространства псевдодистаций». ЧР акад. наук. Париж . 198 (1934): 1563–1565.
2. Коллатц, Лотар (1966). Функциональный анализ и численная математика . Нью-Йорк, Сан-Франциско, Лондон: Academic Press . п. 51.
3. «Псевдометрическая топология». ПланетаМатематика .
4. Уиллард, с. 23
5. Каин, Джордж (лето 2000 г.). «Глава 7: Полные псевдометрические пространства» (PDF) . Архивировано из оригинала 7 октября 2020 года . Проверено 7 октября 2020 г.
6. Хоуз, Норман Р. (1995). Современный анализ и топология. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 27. ISBN 0-387-97986-7. Проверено 10 сентября 2012 г. Позвольте быть псевдометрическим пространством и определите отношение эквивалентности в if . Пусть — фактор-пространство и каноническая проекция, отображающая каждую точку в содержащий ее класс эквивалентности. Определите метрику в by для каждой пары . Легко показать, что это действительно метрика и определяет фактортопологию на . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X/\sim }$ ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \rho (a,b)=d(p^{-1}(a),p^{-1}(b))}$ ${\displaystyle a,b\in Y}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Y}$
7. Саймон, Барри (2015). Комплексный курс анализа . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1470410995.

Рекомендации

• Архангельский, А.В. ; Понтрягин, Л.С. (1990). Общая топология I: основные понятия и конструкции. Теория размерности . Энциклопедия математических наук. Спрингер . ISBN 3-540-18178-4.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Артур (1995) [1970]. Контрпримеры в топологии (новое изд.). Дуврские публикации . ISBN 0-486-68735-Х.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология ( Дуврское переиздание изд. 1970 г.), Аддисон-Уэсли
• Эта статья включает в себя материал из псевдометрического пространства на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• «Пример псевдометрического пространства». ПланетаМатематика .