Квадратриса Гиппия

Кривая, где пересекаются вращающиеся и движущиеся линии

Квадратриса (красная); снимок E и F, выполнивших 60% своих движений

Квадратриса или трисектриса Гиппия (также квадратриса Динострата ) — это кривая , созданная равномерным движением. Это один из старейших примеров кинематической кривой (кривой, созданной в результате движения). Его открытие приписывается греческому софисту Гиппию из Элиды , который использовал его около 420 г. до н.э. в попытке решить проблему трисекции угла (отсюда и трисектриса ). Позже, около 350 г. до н. э., Динострат использовал его в попытке решить проблему квадратуры круга (отсюда и квадратрисы ).

Определение

Квадратриса как плоская кривая длины стороны ${\displaystyle a=1}$

Квадратриса как функция для ${\displaystyle a=1}$

Рассмотрим квадрат и вписанную четверть круга с центром в радиусе, равном стороне квадрата. Пусть это точка, которая движется с постоянной угловой скоростью вдоль дуги от до , и пусть это точка, которая движется одновременно с постоянной скоростью от до вдоль отрезка линии , так что и начинаются в одно и то же время и прибывают в одно и то же время. в и . Тогда квадратриса определяется как точка пересечения отрезка прямой с прямой , параллельной через . ^{[1] [2]} ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle F}$

Если поместить такой квадрат с длиной стороны в (декартову) систему координат со стороной на оси - и с вершиной в начале координат, то квадратикс описывается плоской кривой с. Это описание также можно использовать для получения аналитического а не геометрическое определение квадратрисы и расширить ее за пределы интервала . Однако она остается неопределенной в особенностях за исключением случая , когда особенность устранима и, следовательно, дает непрерывную плоскую кривую на интервале . ^{[3] [4]} ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}}]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2a}{\pi }}t\cot(t)\\{\frac {2a}{\pi }}t\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle (0,{\tfrac {\pi }{2}}]}$ ${\displaystyle \cot(t)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \lim _{t\to 0}t\cot(t)=1}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$

Чтобы описать квадратрису как простую функцию , а не плоскую кривую, полезно поменять местами ось - и -ось, то есть поместить сторону на -ось, а не на -ось. Тогда квадратриса образует график функции ^{[5] [6]} ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(x)=x\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot x\right)}$$

Угловая трисекция

Квадратричный компас

Угловая трисекция

Трисекция произвольного угла с помощью только линейки и циркуля невозможна. Однако если использовать квадратрису в качестве дополнительного инструмента, можно разделить произвольный угол на равные сегменты и, следовательно, становится возможным трисекция ( ). На практике квадратрису можно нарисовать с помощью шаблона или циркуля (см. рисунок). ^{[1] [2]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=3}$

Поскольку по определению квадратрисы пройденный угол пропорционален пройденному сегменту стороны соответствующего квадрата, деление этого сегмента на стороне на равные части также дает разделение соответствующего угла. Разделить отрезок прямой на равные части с помощью линейки и циркуля возможно благодаря теореме о пересечении . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

По заданному углу (не более 90°) построить квадрат над его катетом . Другая катет угла пересекает квадратрису квадрата в точке , а прямая, параллельная катету , через пересекает сторону квадрата в . Теперь отрезок соответствует углу, и в силу определения квадратрисы любое деление отрезка на равные отрезки дает соответствующее деление угла на равные углы. Чтобы разделить отрезок на равные отрезки, нарисуйте на нем любой луч, начинающийся с равных отрезков (произвольной длины). Соедините конечную точку последнего сегмента и проведите линии, параллельные через все конечные точки остальных сегментов на . Эти параллельные линии делят сегмент на равные сегменты. Теперь нарисуйте параллельные линии через конечные точки этих отрезков на , пересекая трисектрису. Соединение их точек пересечения дает разбиение угла на равные углы. ^[5] ${\displaystyle \angle BAE}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle \angle BAE}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \angle BAE}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {OF}}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle {\overline {AO}}}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \angle BAE}$ ${\displaystyle n}$

Поскольку не все точки трисектрисы можно построить только с помощью круга и циркуля, он действительно необходим в качестве дополнительного инструмента рядом с циркулем и кругом. Однако можно построить плотное подмножество трисектрисы с помощью круга и циркуля, поэтому, хотя невозможно обеспечить точное разделение угла на части без заданной трисектрисы, можно построить сколь угодно близкое приближение только с помощью круга и циркуля. ^{[2] [3]} ${\displaystyle n}$

Квадратура круга

Квадратура четверти круга радиусом 1

Квадратирование круга только с помощью линейки и циркуля невозможно. Однако если в качестве дополнительного инструмента построения использовать квадратрису Гиппия, квадратура круга становится возможной благодаря теореме Динострата . Он позволяет превратить четверть круга в квадрат той же площади , следовательно, квадрат с удвоенной длиной стороны имеет ту же площадь, что и полный круг.

Согласно теореме Динострата квадратриса делит одну из сторон соответствующего квадрата в отношении . ^[1] Для данной четверти круга радиуса r строится соответствующий квадрат ABCD с длиной стороны r . Квадратриса пересекает сторону AB в J с . Теперь строится отрезок JK длины r , перпендикулярный AB . Тогда прямая, проходящая через A и K , пересекает продолжение стороны BC в L , и из теоремы о пересечении следует . Продлив AB вправо на новый отрезок, получим прямоугольник BLNO со сторонами BL и BO , площадь которого равна площади четверти круга. Этот прямоугольник можно преобразовать в квадрат той же площади с помощью теоремы Евклида о среднем геометрическом . Сторону ON продлевают на отрезок прямой и рисуют полукруг справа от NQ , диаметр которого равен NQ . Расширение BO пересекает полукруг в R , и по теореме Фалеса отрезок OR является высотой прямоугольного треугольника QNR . Следовательно, можно применить теорему о среднем геометрическом, а это означает, что OR образует сторону квадрата OUSR той же площади, что и прямоугольник BLNO и, следовательно, как четверть круга. ^[7] ${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}$ ${\displaystyle \left|{\overline {AJ}}\right|={\tfrac {2}{\pi }}r}$ ${\displaystyle \left|{\overline {BL}}\right|={\tfrac {\pi }{2}}r}$ ${\displaystyle \left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}$ ${\displaystyle \left|{\overline {OQ}}\right|=\left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}$

Заметим, что точка J , где квадратриса пересекает сторону AB соответствующего квадрата, является одной из точек квадратрисы, которую невозможно построить только с помощью линейки и циркуля и даже с помощью циркуля-квадратрисы, основанного на исходной геометрической определение (см. рисунок). Это связано с тем, что две равномерно движущиеся линии совпадают и, следовательно, не существует единственной точки пересечения. Однако если полагаться на обобщенное определение квадратрисы как функции или плоской кривой, можно предположить, что J является точкой на квадратрисе. ^{[8] [9]}

Исторические источники

Квадратриса упоминается в трудах Прокла (412–485), Паппа Александрийского (3 и 4 вв.) и Ямвлиха (ок. 240 – ок. 325). Прокл называет Гиппия изобретателем кривой, называемой квадратрисой, и где-то в другом месте описывает, как Гиппий применил эту кривую к задаче трисекции. Папп только упоминает, как Динострат, Никомед и другие использовали кривую, называемую квадратрисой, для квадратуры круга. Он не упоминает Гиппия и не приписывает изобретение квадратрисы конкретному человеку. Ямвлих просто пишет в одной строке, что Никомед использовал кривую, называемую квадратрисой, для квадратуры круга. ^{[10] [11] [12]}

Судя по названию кривой, данному Проклом, можно предположить, что сам Гиппий использовал ее для квадратуры круга или какой-либо другой криволинейной фигуры. Однако большинство историков математики полагают, что Гиппий изобрел кривую, но использовал ее только для трисекции углов. Согласно этой теории, его использование для квадратуры круга произошло только десятилетия спустя и благодаря таким математикам, как Динострат и Никомед. Такая трактовка исторических источников восходит к немецкому математику и историку Морицу Кантору . ^{[11] [12]}

Смотрите также

• Греческая математика

Рекомендации

1. Хишер, Хорст (2000), «Klassische Issuee der Antike – Beispiele zur «Historischen Verankerung»» (PDF) , в Бланкенагеле, Юрген; Шпигель, Вольфганг (ред.), Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik – Festschrift für Harald Scheid , Штутгарт/Дюссельдорф/Лейпциг: Klett, стр. 97–118
2. Хенн, Ханс-Вольфганг (2003), «Die Quadratur des Kreises», Elementare Geometrie und Algebra, Verlag Vieweg+Teubner, стр. 45–48
3. Янке, Ханс Нильс (2003), История анализа , Американское математическое общество , стр. 30–31, ISBN 0821826239; отрывок , с. 30, в Google Книгах
4. Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратриса Гиппия», MathWorld
5. Дадли, Андервуд (1994), The Trisectors , Cambridge University Press, стр. 6–8, ISBN 0883855143; отрывок , с. 6, в Google Книгах
6. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Квадратриса Гиппия», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , стр. дворняга
7. Холм, Аудун (2010), Геометрия: наше культурное наследие, Springer, стр. 114–116, ISBN 9783642144400
8. Делахай, Жан-Поль (1999), π {\displaystyle \pi} – Die Story, Springer, стр. π {\displaystyle \pi} 71, ISBN 3764360569
9. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Диностратус», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , стр. био
10. ван дер Варден, Бартель Леендерт (1961), Пробуждение науки , Oxford University Press, стр. 146
11. Гоу, Джеймс (2010), Краткая история греческой математики, Cambridge University Press, стр. 162–164, ISBN 9781108009034
12. Хит, Томас Литтл (1921), История греческой математики, Том 1: От Фалеса до Евклида, Clarendon Press, стр. 182, 225–230

дальнейшее чтение

• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . MAA 2010, ISBN 9780883853481 , стр. 146–147 ( отрывок , стр. 146, в Google Книгах ) 
• Феликс Кляйн : Знаменитые задачи элементарной геометрии . Cosimo 2007 (Nachdruck), ISBN 9781602064171 , стр. 57–58 ( отрывок , стр. 57, в Google Книгах ) (полная онлайн-копия на archive.org ) 

Внешние ссылки

• Майкл Д. Хуберти, Ко Хаяши, Чиа Ванг: Квадратриса Гиппия
• Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратриса Гиппия», MathWorld
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Квадратриса Гиппия», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , стр. дворняга