ВКБ-приближение

Метод решения линейных дифференциальных уравнений

В математической физике приближение ВКБ или метод ВКБ — это метод нахождения приближенных решений линейных дифференциальных уравнений с пространственно изменяющимися коэффициентами. Обычно он используется для полуклассического расчета в квантовой механике , в котором волновая функция преобразуется в экспоненциальную функцию, полуклассически расширяется, а затем либо амплитуда, либо фаза считаются изменяющимися медленно.

Название является аббревиатурой от Венцеля–Крамерса–Бриллюэна . Он также известен как метод LG или Лиувилля–Грина . Другие часто используемые комбинации букв включают JWKB и WKBJ , где «J» означает Джеффрис.

Краткая история

Этот метод назван в честь физиков Грегора Венцеля , Хендрика Энтони Крамерса и Леона Бриллюэна , которые разработали его в 1926 году . ^[1] В 1923 году математик Гарольд Джеффрис разработал общий метод аппроксимации решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка, класса, который включает уравнение Шредингера . Само уравнение Шредингера было разработано лишь два года спустя, и Вентцель, Крамерс и Бриллюэн, по-видимому, не знали об этой более ранней работе, поэтому Джеффриса часто игнорируют. Ранние тексты по квантовой механике содержат любое количество комбинаций их инициалов, включая WBK, BWK, WKBJ, JWKB и BWKJ. Авторитетное обсуждение и критический обзор были даны Робертом Б. Динглом. ^[2]

Более ранние появления по сути эквивалентных методов: Франческо Карлини в 1817 году, Жозеф Лиувилль в 1837 году, Джордж Грин в 1837 году, лорд Рэлей в 1912 году и Ричард Ганс в 1915 году. Можно сказать, что Лиувилль и Грин основали метод в 1837 году, и его также обычно называют методом Лиувилля–Грина или LG. ^{[3] [4]}

Важным вкладом Джеффриса, Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна в метод было включение обработки точек поворота , связывающей затухающие и колебательные решения по обе стороны от точки поворота. Например, это может произойти в уравнении Шредингера из-за потенциального энергетического холма.

Формулировка

В общем случае теория ВКБ представляет собой метод приближения решения дифференциального уравнения, старшая производная которого умножается на малый параметр ε . Метод приближения заключается в следующем.

Для дифференциального уравнения предположим решение в виде асимптотического ряда , разложенного в пределе δ → 0. Асимптотическое масштабирование δ в терминах ε будет определяться уравнением – см. пример ниже. $${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,}$$ $${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$

Подстановка приведенного выше анзаца в дифференциальное уравнение и сокращение экспоненциальных членов позволяет найти решение для произвольного числа членов S _n ( x ) в разложении.

Теория ВКБ является частным случаем анализа множественных масштабов . ^{[5] [6] [7]}

Пример

Этот пример взят из текста Карла М. Бендера и Стивена Орсага . ^[7] Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка , где . Подстановка результатов в уравнение $${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ ${\displaystyle Q(x)\neq 0}$ $${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$ $${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).}$$

В ведущем порядке по ϵ (предполагая, на данный момент, что ряд будет асимптотически согласованным), вышесказанное можно аппроксимировать как $${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).}$$

В пределе δ → 0 доминирующий баланс определяется выражением $${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).}$$

Итак, δ пропорционально ϵ . Приравнивая их и сравнивая степени, получаем , что можно распознать как уравнение эйконала с решением $${\displaystyle \epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x),}$$ $${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(x')}}\,dx'.}$$

Рассматривая степени первого порядка ϵ , получаем решение , где k ₁ — произвольная константа. $${\displaystyle \epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.}$$ $${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},}$$

Теперь у нас есть пара приближений к системе (пара, потому что S ₀ может принимать два знака); ВКБ-приближение первого порядка будет линейной комбинацией этих двух: $${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right].}$$

Члены более высокого порядка можно получить, рассматривая уравнения для более высоких степеней δ . Явно, для n ≥ 2 . $${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0}$$

Точность асимптотического ряда

Асимптотический ряд для y ( x ) обычно является расходящимся рядом , общий член которого δ ⁿ S _n ( x ) начинает возрастать после определенного значения n = n _max . Поэтому наименьшая ошибка, достигаемая методом ВКБ, в лучшем случае имеет порядок последнего включенного члена.

Для уравнения с Q ( x ) < 0, аналитической функцией, значение и величину последнего члена можно оценить следующим образом: ^[8] где — точка, в которой необходимо выполнить оценку, а — (комплексная) точка поворота, где , ближайшая к . $${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ ${\displaystyle n_{\max }}$ $${\displaystyle n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$ $${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{\ast }}$ ${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

Число n _max можно интерпретировать как число колебаний между и ближайшей точкой поворота. ${\displaystyle x_{0}}$

Если — медленно меняющаяся функция, то число n _max будет большим, а минимальная ошибка асимптотического ряда будет экспоненциально малой. ${\displaystyle \epsilon ^{-1}Q(x)}$ $${\displaystyle \epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$

Применение в нерелятивистской квантовой механике

Приближение ВКБ к указанному потенциалу. Вертикальные линии показывают точки поворота

Плотность вероятности для приближенной волновой функции. Вертикальные линии показывают точки поворота

Приведенный выше пример может быть применен конкретно к одномерному, независимому от времени уравнению Шредингера , которое можно переписать как $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$$

Приближение от точек поворота

Волновую функцию можно переписать как экспоненту другой функции S (тесно связанной с действием ), которая может быть комплексной, так что ее подстановка в уравнение Шредингера дает: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} )=e^{iS(\mathbf {x} ) \over \hbar },}$$

$${\displaystyle i\hbar \nabla ^{2}S(\mathbf {x} )-(\nabla S(\mathbf {x} ))^{2}=2m\left(V(\mathbf {x} )-E\right),}$$

Далее используется полуклассическое приближение. Это означает, что каждая функция разлагается в степенной ряд по ħ . Подставляя в уравнение и сохраняя только члены до первого порядка по ℏ , получаем: что дает следующие два соотношения: которые можно решить для одномерных систем, первое уравнение дает: а второе уравнение, вычисленное для возможных значений выше, обычно выражается как: $${\displaystyle S=S_{0}+\hbar S_{1}+\hbar ^{2}S_{2}+\cdots }$$ $${\displaystyle (\nabla S_{0}+\hbar \nabla S_{1})^{2}-i\hbar (\nabla ^{2}S_{0})=2m(E-V(\mathbf {x} ))}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla S_{0})^{2}=2m(E-V(\mathbf {x} ))=(p(\mathbf {x} ))^{2}\\2\nabla S_{0}\cdot \nabla S_{1}-i\nabla ^{2}S_{0}=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\pm \int p(x)\,dx}$$ $${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{+}{\frac {e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+C_{-}{\frac {e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$

Таким образом, результирующая волновая функция в приближении ВКБ первого порядка представляется как ^{[9] [10]}

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}+C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}}{\sqrt[{4}]{2m\mid E-V(x)\mid }}}}$

В классически разрешенной области, а именно в области, где подынтегральное выражение в показателе является мнимым, а приближенная волновая функция является колебательной. В классически запрещенной области решения растут или затухают. Очевидно, что в знаменателе оба этих приближенных решения становятся сингулярными вблизи классических точек поворота , где E = V ( x ) , и не могут быть действительными. (Точки поворота — это точки, в которых классическая частица меняет направление.) ${\displaystyle V(x)<E}$ ${\displaystyle V(x)>E}$

Следовательно, когда волновую функцию можно выбрать так, чтобы она выражалась как: и для , Интегрирование в этом решении вычисляется между классической точкой поворота и произвольным положением x'. ${\displaystyle E>V(x)}$ $${\displaystyle \Psi (x')\approx C{\frac {\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}+D{\frac {\sin {(-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$ ${\displaystyle V(x)>E}$ $${\displaystyle \Psi (x')\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+{\frac {C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}.}$$

Действительность решений WKB

Из условия: $${\displaystyle (S_{0}'(x))^{2}-(p(x))^{2}+\hbar (2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x))=0}$$

Из этого следует, что: ${\textstyle \hbar \mid 2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\mid +\hbar \mid iS_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid +\mid (p(x))^{2}\mid }$

Для которого следующие два неравенства эквивалентны, поскольку члены в обеих частях эквивалентны, как это используется в приближении ВКБ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid \\2\hbar \mid S_{0}'S_{1}'\mid \ll \mid (p'(x))^{2}\mid \end{aligned}}}$$

Первое неравенство можно использовать, чтобы показать следующее:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (p(x))\mid ^{2}\\{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|\ll |p(x)|^{2}\\\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|\ll {\frac {|p|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

где используется и является локальной длиной волны де Бройля волновой функции. Неравенство подразумевает, что изменение потенциала предполагается медленно меняющимся. ^{[10] [11]} Это условие можно также переформулировать как дробное изменение или изменение импульса , на длине волны , будучи намного меньше . ^[12] ${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$ ${\textstyle \lambda (x)}$ ${\textstyle E-V(x)}$ ${\textstyle p(x)}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle 1}$

Аналогично можно показать, что также имеет ограничения, основанные на базовых предположениях для приближения ВКБ, что: что подразумевает, что длина волны де Бройля частицы медленно меняется. ^[11] ${\textstyle \lambda (x)}$ $${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$

Поведение вблизи поворотных точек

Теперь рассмотрим поведение волновой функции вблизи точек поворота. Для этого нам понадобится другой метод. Вблизи первых точек поворота, x ₁ , член можно разложить в степенной ряд, ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$

В первом порядке находим Это дифференциальное уравнение известно как уравнение Эйри , и решение может быть записано в терминах функций Эйри , ^[13] $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$ $${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).}$$

Хотя для любого фиксированного значения волновая функция ограничена вблизи точек поворота, волновая функция будет там иметь пик, как можно видеть на изображениях выше. По мере уменьшения высота волновой функции в точках поворота растет. Из этого приближения также следует, что: ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int p(x)dx={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx={\frac {2}{3}}({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-a))^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}$$

Условия подключения

Теперь осталось построить глобальное (приближенное) решение уравнения Шредингера. Чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой, мы должны взять только экспоненциально затухающее решение в двух классически запрещенных областях. Затем они должны правильно «соединиться» через точки поворота с классически разрешенной областью. Для большинства значений E эта процедура сопоставления не будет работать: функция, полученная путем соединения решения вблизи классически разрешенной области, не будет согласовываться с функцией, полученной путем соединения решения вблизи классически разрешенной области. Требование, чтобы две функции согласовывались, накладывает условие на энергию E , которое даст приближение к точным квантовым уровням энергии. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

ВКБ-приближение к указанному потенциалу. Вертикальные линии показывают уровень энергии, а его пересечение с потенциалом показывает точки поворота пунктирными линиями. Задача имеет две классические точки поворота с и при . ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Коэффициенты волновой функции можно вычислить для простой задачи, показанной на рисунке. Пусть первая точка поворота, где потенциал уменьшается по x, происходит в , а вторая точка поворота, где потенциал увеличивается по x, происходит в . Учитывая, что мы ожидаем, что волновые функции будут иметь следующий вид, мы можем вычислить их коэффициенты, соединив различные области с помощью функций Эйри и Бейри. ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)\approx A{\frac {e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}+B{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\Psi _{E>V}(x)\approx C{\frac {\cos {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}+D{\frac {\sin {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\end{aligned}}}$$

Первый классический поворотный момент

Для ie. условия убывания потенциала или в данном примере, показанном на рисунке, мы требуем, чтобы экспоненциальная функция затухала для отрицательных значений x так, чтобы волновая функция для нее стремилась к нулю. Рассматривая функции Бэри как требуемую формулу связи, мы получаем: ^[14] ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Bi} (u)\rightarrow -{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\sin {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\operatorname {Bi} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\end{aligned}}}$$

Мы не можем использовать функцию Эйри, поскольку она дает растущее экспоненциальное поведение для отрицательных x. При сравнении с решениями ВКБ и сопоставлении их поведения при , мы приходим к выводу: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle B=-D=N}$, и . ${\displaystyle A=C=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

Таким образом, если принять некоторую константу нормировки за , волновая функция для возрастающего потенциала (с x) задается как: ^[10] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}-{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{2}>x>x_{1}\\\end{cases}}}$

Второй классический поворотный момент

Для ie. условия возрастающего потенциала или в данном примере, показанном на рисунке, мы требуем, чтобы экспоненциальная функция затухала для положительных значений x так, чтобы волновая функция для нее стремилась к нулю. Рассматривая функции Эйри как требуемую формулу связи, мы получаем: ^[14] ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\cos {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\end{aligned}}}$$

Мы не можем использовать функцию Бэри, поскольку она дает растущее экспоненциальное поведение для положительных x. При сравнении с решениями WKB и сопоставлении их поведения при , мы приходим к выводу: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle 2A=C=N'}$, и . ${\displaystyle D=B=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

Таким образом, если принять некоторую константу нормировки за , волновая функция для возрастающего потенциала (с x) задается как: ^[10] ${\displaystyle N'}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}{\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{1}<x<x_{2}\\{\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{2}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$

Общая осциллирующая волновая функция

Сопоставляя два решения для области , требуется, чтобы разница между углами в этих функциях была там, где разность фаз учитывает изменение косинуса на синус для волновой функции и разности, поскольку отрицание функции может произойти, если позволить . Таким образом: Где n — неотрицательное целое число. Это условие также можно переписать следующим образом: ${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n+1/2)\pi \hbar ,}$$

Площадь, ограниченная классической энергетической кривой, равна . ${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$

В любом случае, условие на энергию является версией условия квантования Бора-Зоммерфельда с « поправкой Маслова », равной 1/2. ^[15]

Можно показать, что после объединения приближений в различных областях получается хорошее приближение к фактической собственной функции. В частности, энергии Бора–Зоммерфельда с поправкой Маслова являются хорошими приближениями к фактическим собственным значениям оператора Шредингера. ^[16] В частности, ошибка в энергиях мала по сравнению с типичным расстоянием между уровнями квантовой энергии. Таким образом, хотя «старая квантовая теория» Бора и Зоммерфельда была в конечном итоге заменена уравнением Шредингера, некоторые остатки этой теории остались как приближение к собственным значениям соответствующего оператора Шредингера.

Общие условия подключения

Таким образом, из двух случаев получается формула связи в классической точке поворота: [ ^11] ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longrightarrow -{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

и:

${\displaystyle {\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longleftarrow {\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {\left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

Волновая функция ВКБ в классической точке поворота от нее аппроксимируется осциллирующей синусоидальной или косинусоидальной функцией в классически разрешенной области, представленной слева, и растущими или затухающими экспонентами в запрещенной области, представленной справа. Импликация следует из доминирования растущей экспоненты по сравнению с затухающей экспонентой. Таким образом, решения осциллирующей или экспоненциальной части волновых функций могут подразумевать форму волновой функции в другой области потенциала, а также в связанной точке поворота.

Плотность вероятности

Затем можно вычислить плотность вероятности, связанную с приближенной волновой функцией. Вероятность того, что квантовая частица будет обнаружена в классически запрещенной области, мала. Между тем, в классически разрешенной области вероятность того, что квантовая частица будет обнаружена в заданном интервале, приблизительно равна доле времени, которое классическая частица проводит в этом интервале за один период движения. ^[17] Поскольку скорость классической частицы стремится к нулю в точках поворота, она проводит больше времени вблизи точек поворота, чем в других классически разрешенных областях. Это наблюдение объясняет пик в волновой функции (и ее плотности вероятности) вблизи точек поворота.

Применения метода ВКБ к уравнениям Шредингера с большим разнообразием потенциалов и сравнение с методами возмущений и интегралами по траекториям рассматриваются в работе Мюллера-Кирстена. ^[18]

Примеры в квантовой механике

Хотя потенциал ВКБ применим только к плавно меняющимся потенциалам, ^[11] в примерах, где жесткие стенки создают бесконечности для потенциала, приближение ВКБ все еще может быть использовано для аппроксимации волновых функций в областях плавно меняющихся потенциалов. Поскольку жесткие стенки имеют сильно прерывистый потенциал, условие связи не может быть использовано в этих точках, и полученные результаты также могут отличаться от результатов вышеприведенной обработки. ^[10]

Связанные состояния для 1 жесткой стенки

Потенциал таких систем можно представить в виде:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

где . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Находя волновую функцию в ограниченной области, т.е. в пределах классических точек поворота и , рассматривая приближения вдали от и соответственно, имеем два решения: ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}}$

Поскольку волновая функция должна исчезать вблизи , мы заключаем . Для функций Эйри вблизи , мы требуем . Мы требуем, чтобы углы внутри этих функций имели разность фаз , где разность фаз учитывает изменение синуса на косинус и позволяет . ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle \alpha =0}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$Где n — неотрицательное целое число. ^[10] Обратите внимание, что правая часть этого выражения была бы равна , если бы n допускалось принимать только ненулевые натуральные числа. ${\displaystyle \pi (n-1/4)}$

Таким образом, мы приходим к выводу, что для трехмерного пространства со сферической симметрией выполняется то же самое условие, когда положение x заменяется радиальным расстоянием r, ввиду его сходства с этой задачей. ^[19] ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$

Связанные состояния внутри 2 жестких стенок

Потенциал таких систем можно представить в виде:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

где . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Для интервала между и , которые, таким образом, являются классическими точками поворота, рассматривая приближения, далекие от и соответственно, мы имеем два решения: ${\textstyle E\geq V(x)}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)}}$

Поскольку волновые функции должны исчезать при и . Здесь разность фаз должна учитывать только то, что позволяет . Следовательно, условие становится: ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$где , но не равно нулю, так как это делает волновую функцию нулевой везде. ^[10] ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$

Квантовый прыгающий мяч

Рассмотрим следующий потенциал, которому подвергается прыгающий мяч:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\\\end{cases}}}$

Решения волновой функции выше могут быть решены с использованием метода ВКБ, рассматривая только нечетные решения альтернативного потенциала . Классические точки поворота определяются и . Таким образом, применяем условие квантования, полученное в ВКБ: ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$ ${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$ ${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

Полагая , где , решая для с заданным , получаем квантово-механическую энергию прыгающего мяча: ^[20] ${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$ ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ ${\textstyle E}$ ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

Этот результат также согласуется с использованием уравнения связанного состояния одной жесткой стенки без необходимости рассмотрения альтернативного потенциала.

Квантовое туннелирование

Потенциал таких систем можно представить в виде:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

где . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Его решения для падающей волны даются как

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}A\exp({ip_{0}x \over \hbar })+B\exp({-ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\D\exp({ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

где волновая функция в классически запрещенной области является приближением ВКБ, но пренебрегающим растущей экспонентой. Это справедливое предположение для широких потенциальных барьеров, через которые волновая функция, как ожидается, не будет расти до больших величин.

В силу требования непрерывности волновой функции и ее производных можно показать следующее соотношение: $${\displaystyle {\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

где и . ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$

Используя, выражаем значения без знаков как: ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})}$

${\textstyle J_{\text{inc.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{ref.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{trans.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|E|^{2})}$

Таким образом, коэффициент пропускания определяется как:

$${\displaystyle T={\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

где , и . Результат можно записать как , где . ^[10] ${\textstyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}}$ ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$ ${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$ ${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Функция Эйри
• Метод Эйнштейна–Бриллюэна–Келлера
• Полевая электронная эмиссия
• Инстантон
• коррекция Лангера
• индекс Маслова
• Метод доминирующего баланса
• Метод согласованных асимптотических разложений
• Метод наискорейшего спуска
• Старая квантовая теория
• Методы возмущения
• Квантовое туннелирование
• Медленно меняющаяся аппроксимация огибающей
• Суперсимметричное приближение ВКБ

Ссылки

1. Холл 2013 Раздел 15.1
2. Дингл, Роберт Балсон (1973). Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация . Academic Press. ISBN 0-12-216550-0.
3. Адриан Э. Гилл (1982). Динамика атмосферы и океана . Academic Press. стр. 297. ISBN 978-0-12-283522-3. Лиувилль-Грин WKBJ WKB.
4. Ренато Спиглер и Марко Вианелло (1998). "Обзор приближения Лиувилля–Грина (ВКБ) для линейных дифференциальных уравнений второго порядка". В Saber Elaydi; I. Győri & GE Ladas (ред.). Достижения в области дифференциальных уравнений: труды Второй международной конференции по дифференциальным уравнениям: Веспрем, Венгрия, 7–11 августа 1995 г. CRC Press. стр. 567. ISBN 978-90-5699-521-8.
5. Филиппи, Пол (1999). Акустика: основы физики, теории и методы. Academic Press. стр. 171. ISBN 978-0-12-256190-0.
6. Кеворкян, Дж.; Коул, Дж. Д. (1996). Методы множественных масштабов и сингулярных возмущений . Springer. ISBN 0-387-94202-5.
7. Бендер, Карл М.; Орсзаг , Стивен А. (1999). Передовые математические методы для ученых и инженеров . Springer. С. 549–568. ISBN 0-387-98931-5.
8. Winitzki, S. (2005). "Космологическое рождение частиц и точность приближения ВКБ". Phys. Rev. D. 72 ( 10): 104011, 14 стр. arXiv : gr-qc/0510001 . Bibcode : 2005PhRvD..72j4011W. doi : 10.1103/PhysRevD.72.104011. S2CID  119152049.
9. Холл 2013 Раздел 15.4
10. Zettili, Nouredine (2009). Квантовая механика: концепции и приложения (2-е изд.). Чичестер: Wiley. ISBN 978-0-470-02679-3.
11. Цвибах, Бартон. "Квазиклассическое приближение" (PDF) .
12. Bransden, BH; Joachain, Charles Jean (2003). Физика атомов и молекул. Prentice Hall. стр. 140–141. ISBN 978-0-582-35692-4.
13. Холл 2013 Раздел 15.5
14. Ramkarthik, MS; Pereira, Elizabeth Louis (2021-06-01). «Airy Functions Demystified — II». Resonance . 26 (6): 757–789. doi :10.1007/s12045-021-1179-z. ISSN  0973-712X.
15. Холл 2013 Раздел 15.2
16. Холл 2013 Теорема 15.8
17. Холл 2013 Заключение 15.5
18. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд. (World Scientific, 2012).
19. Вайнберг, Стивен (2015-09-10). Лекции по квантовой механике (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 204. doi :10.1017/cbo9781316276105. ISBN 978-1-107-11166-0.
20. Сакурай, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47322-4.

Современные ссылки

• Бендер, Карл ; Орсзаг, Стивен (1978). Продвинутые математические методы для ученых и инженеров . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X.
• Чайлд, М.С. (1991). Полуклассическая механика с молекулярными приложениями . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-855654-3.
• Фрёман, Н.; Фрёман, П.-О. (1965). Приближение JWKB: вклад в теорию . Амстердам: Северная Голландия.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Либофф, Ричард Л. (2003). Введение в квантовую механику (4-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5.
• Олвер, Фрэнк Уильям Джон (1974). Асимптотики и специальные функции . Academic Press. ISBN 0-12-525850-X.
• Разави, Мохсен (2003). Квантовая теория туннелирования . World Scientific. ISBN 981-238-019-1.
• Сакурай, Дж. Дж. (1993). Современная квантовая механика . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-53929-2.

Исторические справки

• Карлини, Франческо (1817). Ричерш сулла конвергенция серии, которая служит решению проблемы Кеплеро . Милан.
• Лиувилл, Жозеф (1837). «О развитии функций и серий». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 :16–35.
• Грин, Джордж (1837). «О движении волн в переменном канале малой глубины и ширины». Труды Кембриджского философского общества . 6 : 457–462.
• Рэлей, Лорд (Джон Уильям Страт) (1912). «О распространении волн через слоистую среду, с особым акцентом на вопрос об отражении». Труды Королевского общества A . 86 (586): 207–226. Bibcode :1912RSPSA..86..207R. doi : 10.1098/rspa.1912.0014 .
• Ганс, Ричард (1915). «Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium». Аннален дер Физик . 47 (14): 709–736. Бибкод : 1915АнП...352..709Г. дои : 10.1002/andp.19153521402.
• Джеффрис, Гарольд (1924). «О некоторых приближенных решениях линейных дифференциальных уравнений второго порядка». Труды Лондонского математического общества . 23 : 428–436. doi :10.1112/plms/s2-23.1.428.
• Бриллюэн, Леон (1926). «La mécanique ondulatoire Шрёдингера: общий метод разрешения последовательных приближений». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 183 : 24–26.
• Крамерс, Хендрик А. (1926). «Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung». Zeitschrift für Physik . 39 (10–11): 828–840. Бибкод : 1926ZPhy...39..828K. дои : 10.1007/BF01451751. S2CID  122955156.
• Вентцель, Грегор (1926). «Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik». Zeitschrift für Physik . 38 (6–7): 518–529. Бибкод : 1926ZPhy...38..518W. дои : 10.1007/BF01397171. S2CID  120096571.

Внешние ссылки

• Фицпатрик, Ричард (2002). «Приближение ВКБ».(Применение приближения ВКБ к рассеянию радиоволн от ионосферы.)