Квантовая емкость

Квантовая информация с самой высокой скоростью может быть отправлена ​​через шумный квантовый канал.

В теории квантовой связи квантовая емкость — это наивысшая скорость, с которой квантовая информация может передаваться при многих независимых использованиях зашумленного квантового канала от отправителя к получателю. Он также равен максимальной скорости, с которой может возникнуть запутывание в канале, и прямая классическая связь не может его улучшить. Теорема о квантовой емкости важна для теории квантовой коррекции ошибок и, в более широком смысле, для теории квантовых вычислений . Теорема, дающая нижнюю границу квантовой пропускной способности любого канала, в просторечии известна как теорема LSD, в честь авторов Ллойда , ^[1] Шора , ^[2] и Деветак ^[3] , которые доказали ее с возрастающими стандартами строгости. ^[4]

Хеширование для каналов Паули

Теорема LSD утверждает, что когерентная информация квантового канала — это достижимая скорость для надежной квантовой связи. Для канала Паули связная информация имеет простую форму, ^{и доказательство} ее достижимости также особенно просто ^. Мы ^{[ кто? ]} доказать теорему для этого особого случая, используя случайные коды стабилизатора и исправляя только вероятные ошибки, которые производит канал.

Теорема (ограничение хеширования). Существует стабилизирующий квантовый код исправления ошибок , который достигает предела хеширования для канала Паули следующего вида: где и – энтропия этого вектора вероятности. ${\displaystyle R=1-H\left(\mathbf {p} \right)}$ $${\displaystyle \rho \mapsto p_{I}\rho +p_{X}X\rho X+p_{Y}Y\rho Y+p_{Z}Z\rho Z,}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)}$ ${\displaystyle H\left(\mathbf {p} \right)}$

Доказательство . Рассмотрите возможность исправления только типичных ошибок. То есть рассмотрим определение типичного набора ошибок следующим образом: где — некоторая последовательность, состоящая из букв, и — вероятность того, что канал IID Паули выдаст некоторую ошибку тензорного произведения . Этот типичный набор состоит из вероятных ошибок в том смысле, что для всех и достаточно больших . Условия исправления ошибок ^[5] для кода стабилизатора в этом случае таковы: это исправимый набор ошибок, если $${\displaystyle T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert -{\frac {1}{n}}\log _{2}\left(\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p} \right)\right\vert \leq \delta \right\},}$$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle \left\{I,X,Y,Z\right\}}$ ${\displaystyle \Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}}$ ${\displaystyle E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}}$ $${\displaystyle \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\geq 1-\epsilon ,}$$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}}$

$${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}},}$$для всех пар ошибок и таких , где находится нормализатор . Также рассмотрено математическое ожидание вероятности ошибки при случайном выборе кода стабилизатора. ${\displaystyle E_{a^{n}}}$ ${\displaystyle E_{b^{n}}}$ ${\displaystyle a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}$ ${\displaystyle N({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Поступаем следующим образом: Первое равенство следует по определению — это индикаторная функция, равная единице, если она неисправима ниже нуля, и равна нулю в противном случае. Первое неравенство следует из того, что мы исправляем только типичные ошибки, поскольку набор нетипичных ошибок имеет пренебрежимо малую массу вероятности. Второе равенство получается путем замены математического ожидания и суммы. Третье равенство следует из того, что ожидание индикаторной функции — это вероятность того, что выбранное ею событие произойдет. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{p_{e}\right\}&=\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}\\&\leq \mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right\}+\epsilon .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle E_{a^{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Продолжая, мы имеем: $${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\right\}}$$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{A^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\bigcup \limits _{b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle \leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle =2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)-k/n-3\delta \right]}.}$

Первое равенство следует из условий исправления ошибок для кода квантового стабилизатора, где – нормализатор . Первое неравенство следует из игнорирования любого потенциального вырождения в коде: мы считаем ошибку неисправимой, если она лежит в нормализаторе, а вероятность может быть больше только потому , что . Второе равенство следует из осознания того, что вероятности критерия существования и объединения событий эквивалентны. Второе неравенство получается путем применения оценки объединения. Третье неравенство следует из того факта, что вероятность для фиксированного оператора, не равного тождественному, коммутирующего с операторами стабилизатора случайного стабилизатора, может быть ограничена сверху следующим образом: Аргументация здесь состоит в том, что случайный выбор кода стабилизатора эквивалентен фиксация операторов , ... и выполнение равномерно случайного унитарного метода Клиффорда. Вероятность того, что фиксированный оператор коммутирует с , ..., равна числу нетождественных операторов в нормализаторе ( ), делённому на общее количество нетождественных операторов ( ). После применения приведенной выше оценки мы затем используем следующие границы типичности: Мы заключаем, что, пока скорость , математическое ожидание вероятности ошибки становится сколь угодно малым, так что существует по крайней мере один выбор кода стабилизатора с той же оценкой для вероятность ошибки. ${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$ ${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)}$ ${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}}$ ${\displaystyle \Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}={\frac {2^{n+k}-1}{2^{2n}-1}}\leq 2^{-\left(n-k\right)}.}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{n-k}}$ ${\displaystyle {\overline {Z}}_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {Z}}_{n-k}}$ ${\displaystyle 2^{n+k}-1}$ ${\displaystyle 2^{2n}-1}$ $${\displaystyle \forall a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}:\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]},}$$ $${\displaystyle \left\vert T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\right\vert \leq 2^{n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}.}$$ ${\displaystyle k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta }$

Смотрите также

• Квантовые вычисления

Рекомендации

1. Сет Ллойд (1997). «Пропускная способность шумного квантового канала». Физический обзор А. 55 (3): 1613–1622. arXiv : Quant-ph/9604015 . Бибкод : 1997PhRvA..55.1613L. doi :10.1103/PhysRevA.55.1613. S2CID  5555850.
2. Питер Шор (2002). «Пропускная способность квантового канала и когерентная информация» (PDF) . Конспект лекций, Семинар ИИГС по квантовым вычислениям .
3. Игорь Деветак (2005). «Частная классическая пропускная способность и квантовая пропускная способность квантового канала». Транзакции IEEE по теории информации . 51 : 44–55. arXiv : Quant-ph/0304127 . дои : 10.1109/TIT.2004.839515. S2CID  12246393.
4. Уайльд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Кембридж, Великобритания. ISBN 978-1-316-80997-6. ОКЛК  972292559.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-63503-5.