Радиус кривизны

Радиус окружности, которая наилучшим образом аппроксимирует кривую в данной точке

Радиус кривизны и центр кривизны

В дифференциальной геометрии радиус кривизны , R , является обратной величиной кривизны . Для кривой он равен радиусу дуги окружности , которая наилучшим образом аппроксимирует кривую в этой точке. Для поверхностей радиус кривизны — это радиус окружности, которая наилучшим образом соответствует нормальному сечению или их комбинациям . ^{[1] [2] [3]}

Определение

В случае пространственной кривой радиус кривизны равен длине вектора кривизны .

В случае плоской кривой R является абсолютным значением [ ^3]

${\displaystyle R\equiv \left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|={\frac {1}{\kappa }},}$

где s — длина дуги от фиксированной точки на кривой, φ — тангенциальный угол , а κ — кривизна .

Формула

В двух измерениях

Если кривая задана в декартовых координатах как y ( x ) , т.е. как график функции , то радиус кривизны равен (предполагая, что кривая дифференцируема до порядка 2)

$${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,}$$

где и | z | обозначает абсолютное значение z . ${\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}$ ${\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

Если кривая задана параметрически функциями x ( t ) и y ( t ) , то радиус кривизны равен

$${\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}$$

где и ${\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}$ ${\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$ ${\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}$ ${\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

Эвристически этот результат можно интерпретировать как ^[2]

$${\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,}$$

где

$${\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.}$$

Внразмеры

Если γ  : ℝ → ℝ ⁿ — параметризованная кривая в ℝ ^{n ,} то радиус кривизны в каждой точке кривой, ρ  : ℝ → ℝ , ​​определяется как ^[3]

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$

В частном случае, если f ( t ) является функцией от ℝ до ℝ , то радиус кривизны ее графика γ ( t ) = ( t , f ( t )) равен

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}$$

Вывод

Пусть γ будет таким, как указано выше, и зафиксируем t . Мы хотим найти радиус ρ параметризованной окружности, которая соответствует γ в ее нулевой, первой и второй производных в t . Очевидно, что радиус не будет зависеть от положения γ ( t ) , а только от скорости γ ′( t ) и ускорения γ ″( t ) . Есть только три независимых скаляра , которые можно получить из двух векторов v и w , а именно v · v , v · w , и w · w . Таким образом, радиус кривизны должен быть функцией трех скаляров | γ ′( t ) | ² , | γ ″( t ) | ² и γ ′( t ) · γ ″( t ) . ^[3]

Общее уравнение для параметризованной окружности в ℝ ⁿ имеет вид

$${\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }$$

где c ∈ ℝ ⁿ — центр окружности (не имеет значения, так как исчезает в производных), a , b ∈ ℝ ⁿ — перпендикулярные векторы длины ρ (то есть a · a = b · b = ρ ² и a · b = 0 ), а h  : ℝ → ℝ — произвольная функция, дважды дифференцируемая в точке t .

Соответствующие производные g получаются следующими:

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Если теперь приравнять эти производные g к соответствующим производным γ в точке t, то получим

$${\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}$$

Эти три уравнения с тремя неизвестными ( ρ , h ′( t ) и h ″( t ) ) можно решить относительно ρ , получив формулу для радиуса кривизны:

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,}$$

или, опуская параметр t для удобства чтения,

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$

Примеры

Полукруги и круги

Для полукруга радиуса a в верхней полуплоскости с ${\textstyle R=|-a|=a\,,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\\y''&={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,.\end{aligned}}}$$

Эллипс (красный) и его эволюта (синий). Точки — вершины эллипса, в точках наибольшей и наименьшей кривизны.

Для полукруга радиуса a в нижней полуплоскости $${\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,.}$$

Окружность радиуса a имеет радиус кривизны , равный a .

Эллипсы

В эллипсе с большой осью 2a и малой осью 2b вершины на большой оси имеют наименьший радиус кривизны среди всех точек, а вершины на малой оси имеют наибольший радиус кривизны среди всех точек , R = ⁠ ${\textstyle R={b^{2} \over a}}$а ²/б⁠ .

Радиус кривизны эллипса, как функция параметра t ( амплитуда Якоби ), равен ^[4]

$${\displaystyle R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}\,,}$$

где ${\textstyle \theta =\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {y}{x}}{\Big )}=\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {b}{a}}\;\tan \;t{\Big )}\,.}$

Радиус кривизны эллипса, как функция θ , равен

$${\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}$$

где эксцентриситет эллипса , e , определяется выражением

$${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,.}$$

Приложения

• Для использования в дифференциальной геометрии см. уравнение Чезаро .
• Для радиуса кривизны Земли (приблизительно сплющенного эллипсоида); см. также: измерение дуги
• Радиус кривизны также используется в трехчастном уравнении изгиба балок .
• Радиус кривизны (оптика)
• Тонкопленочные технологии
• Печатная электроника
• Минимальный радиус кривой железнодорожного пути
• Зонд АСМ

Напряжение в полупроводниковых структурах

Напряжение в полупроводниковой структуре, включающей напыленные тонкие пленки, обычно возникает из-за термического расширения (термического напряжения) в процессе производства. Термическое напряжение возникает, поскольку осаждение пленки обычно производится при температуре выше комнатной. При охлаждении от температуры осаждения до комнатной температуры разница в коэффициентах термического расширения подложки и пленки вызывает термическое напряжение. ^[5]

Внутреннее напряжение возникает из-за микроструктуры, созданной в пленке, когда атомы осаждаются на подложке. Растягивающее напряжение возникает из-за микропустот (небольших отверстий, считающихся дефектами) в тонкой пленке из-за притягивающего взаимодействия атомов через пустоты.

Напряжение в тонкопленочных полупроводниковых структурах приводит к короблению пластин. Радиус кривизны напряженной структуры связан с тензором напряжений в структуре и может быть описан модифицированной формулой Стоуни. ^[6] Топография напряженной структуры, включая радиусы кривизны, может быть измерена с помощью методов оптического сканирования. Современные инструменты сканера имеют возможность измерять полную топографию подложки и измерять оба главных радиуса кривизны, обеспечивая при этом точность порядка 0,1% для радиусов кривизны 90 метров и более. ^[7]

Смотрите также

• Радиус базовой кривизны
• Радиус изгиба
• Степень кривизны (гражданское строительство)
• Соприкасающийся круг
• Кривая перехода пути

Ссылки

1. Weisstien, Eric. "Радиус кривизны". Wolfram Mathworld . Получено 15 августа 2016 г. .
2. Kishan, Hari (2007). Дифференциальное исчисление. Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.
3. Лав, Клайд Э .; Рейнвилл, Эрл Д. (1962). Дифференциальное и интегральное исчисление (шестое изд.). Нью-Йорк: MacMillan.
4. Weisstein, Eric W. "Эллипс". mathworld.wolfram.com . Получено 2022-02-23 .
5. "Управление напряжением в тонких пленках". Flipchips.com . Получено 22.04.2016 .
6. "Определение напряжения пленки при изгибе подложки: формула Стоуни и ее пределы" (PDF) . Qucosa.de . Архивировано из оригинала (PDF) 2017-08-08 . Получено 2016-04-22 .
7. Питер Валецки. "Model X". Zebraoptical.com . Получено 22.04.2016 .

Дальнейшее чтение

• ду Кармо, Манфредо (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.

Внешние ссылки

• Центр геометрии: главные кривизны
• 15.3 Кривизна и радиус кривизны Архивировано 29.04.2021 на Wayback Machine
• Вайсштейн, Эрик В. «Главные кривизны». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Главный радиус кривизны». MathWorld .