В математике матричные полугруппы Риса — это особый класс полугрупп , введенный Дэвидом Рисом в 1940 году. Они имеют фундаментальное значение в теории полугрупп, поскольку используются для классификации определенных классов простых полугрупп.
Пусть S — полугруппа, I и Λ — непустые множества , а P — матрица , индексированная I и Λ, с элементами p λ , i , взятыми из S. Тогда полугруппа матриц Риса M ( S ; I , Λ ; P ) — это множество I × S × Λ вместе с умножением
Полугруппы матриц Риса являются важным методом построения новых полугрупп из старых.
В своей работе 1940 года Рис доказал следующую теорему, характеризующую совершенно простые полугруппы :
Полугруппа является совершенно простой тогда и только тогда, когда она изоморфна полугруппе матриц Риса над группой .
То есть, каждая вполне простая полугруппа изоморфна полугруппе вида M ( G ; I , Λ ; P ) для некоторой группы G. Более того, Рис доказал, что если G — группа, а G 0 — полугруппа, полученная из G присоединением нулевого элемента , то M ( G 0 ; I , Λ ; P ) является регулярной полугруппой тогда и только тогда, когда каждая строка и столбец матрицы P содержат элемент, отличный от 0. Если такая M ( G 0 ; I , Λ ; P ) является регулярной, то она также является вполне 0-простой .