В математике полугруппа — это непустое множество вместе с ассоциативной бинарной операцией . Специальный класс полугрупп — это класс полугрупп , удовлетворяющих дополнительным свойствам или условиям. Таким образом, класс коммутативных полугрупп состоит из всех тех полугрупп, в которых бинарная операция удовлетворяет свойству коммутативности, что ab = ba для всех элементов a и b в полугруппе. Класс конечных полугрупп состоит из тех полугрупп, для которых базовое множество имеет конечную мощность . Члены класса полугрупп Брандта должны удовлетворять не только одному условию, но и набору дополнительных свойств. Было определено большое количество специальных классов полугрупп, хотя не все из них изучались одинаково интенсивно.
В алгебраической теории полугрупп при построении специальных классов внимание уделяется только тем свойствам, ограничениям и условиям, которые могут быть выражены в терминах бинарных операций в полугруппах, а иногда и мощности и аналогичным свойствам подмножеств базового множества . Базовые множества не предполагают наличия каких-либо других математических структур, таких как порядок или топология .
Как и в любой алгебраической теории, одной из основных проблем теории полугрупп является классификация всех полугрупп и полное описание их структуры. В случае полугрупп, поскольку бинарная операция требуется для удовлетворения только свойства ассоциативности, задача классификации считается чрезвычайно сложной. Получены описания структур для некоторых специальных классов полугрупп. Например, полностью известна структура множеств идемпотентов регулярных полугрупп. Описания структур представлены в терминах более известных типов полугрупп. Наиболее известным типом полугрупп является группа .
Ниже представлен (обязательно неполный) список различных специальных классов полугрупп. По возможности определяющие свойства формулируются в терминах бинарных операций в полугруппах. Ссылки указывают на места, откуда берутся определяющие свойства.
При описании определяющих свойств различных специальных классов полугрупп приняты следующие условные обозначения.
Например, определение xab = xba следует читать как:
В третьем столбце указано, образует ли этот набор полугрупп многообразие . И образует ли набор конечных полугрупп этого специального класса многообразие конечных полугрупп . Обратите внимание, что если этот набор является многообразием, то его набор конечных элементов автоматически является многообразием конечных полугрупп.